Una álgebra de von Neumann del o el W*-algebra es un *-algebra de los operadores limitados en un espacio de Hilbert que se cierre en la topología débil del operador y contenga a operador de identidad. Ella fue introducida original por el John Von Neumann, motivado por el estudio de las solas representaciones de grupo de los operadores, de la teoría ergódica y de los mecánicos de Quantum . Su teorema commutant del doble demuestra que la definición analítica es equivalente puramente a una definición algebraica como álgebra de simetrías.

Dos ejemplos básicos de las álgebra de von Neumann están como sigue. El L ^{&infin del anillo de ;} ( R ) de funciones mensurables esencialmente limitadas en la línea verdadera es una álgebra comutativa de von Neumann, que actúa por la multiplicación del pointwise en el L ² ( R ) del espacio de Hilbert de funciones integrables cuadradas. El B ( H ) de la álgebra de todos los operadores limitados en un H del espacio de Hilbert es una álgebra de von Neumann, no conmutativa si el espacio de Hilbert tiene dimensión por lo menos 2.

Las álgebra de Von Neumann primero fueron estudiadas cerca; él y el Francisco Murray desarrollaron la teoría básica, bajo nombre original de los anillos del de los operadores, en una serie de los papeles escritos en los años 30 y los años 40 (; ), reimpreso en los trabajos recogidos de.

Las cuentas introductorias de las álgebra de von Neumann se dan en las notas en línea de y y los libros cerca, y. El trabajo de tres volúmenes cerca da una cuenta enciclopédica de la teoría. El libro cerca discute asuntos más avanzados.

Definiciones

Hay tres maneras comunes de definir las álgebra de von Neumann.

Primera y la mayoría común de la manera es definirlas según lo cerrado débil * las álgebra de los operadores limitados (en un espacio de Hilbert) que contienen la identidad. En esta definición la topología débil (del operador) se puede casi substituir por el cualquier otra topología común con excepción de la topología de la norma, particularmente por el fuerte, el ultrastrong o las topologías del operador del ultraweak . (* las álgebra de los operadores limitados que se cierran en la topología de la norma son las álgebra de C* tan particularmente cualquier von Neumann que la álgebra es a Álgebra de C*.)

La segunda definición es que una álgebra de von Neumann es un subconjunto de los operadores limitados cerrados debajo * e igual a su doble Commutant, o equivalente el Commutant de un cierto subconjunto cerrado debajo *. El teorema commutant doble de Von Neumann dice que las primeras dos definiciones son equivalentes.

Las primeras dos definiciones definen las álgebra de von Neumann concreto como sistema de operadores que actúan en un cierto espacio de Hilbert dado. demostrado que las álgebra de Von Neumann se pueden también definir abstracto como álgebra de C^* que tengan un Predual ; es decir la álgebra de von Neumann, considerada como espacio de Banach, es la dual de un cierto otro espacio de Banach llamado el predual. El predual de una álgebra de von Neumann es único hasta isomorfismo. Algunos autores utilizan el " algebra" de von Neumann; para las álgebra junto con una acción del espacio de Hilbert, y el " Algebra" de W^*; para el concepto abstracto, así que una álgebra de von Neumann está una álgebra de W^* junto con un espacio de Hilbert y una acción unital fiel conveniente en el espacio de Hilbert. Las definiciones concretas y abstractas de un von Neumann que la álgebra es similar a las definiciones concretas y abstractas de la álgebra del A. ^*, que se pueden definir como norma-cerrado * las álgebra de operadores en un espacio de Hilbert, o como *-algebras de Banach tales que || un a^* de ||=|| un || || a^* ||.

Terminología

Algo de la terminología en teoría de la álgebra de von Neumann puede ser confusa, y los términos tienen a menudo diversos significados fuera del tema.
La álgebra finita del von Neumann del

A es una que es el integral directo de factores finitos. Semejantemente, las álgebra infinitas del von Neumann son correctamente el integral directo de factores correctamente infinitos.
Una álgebra de von Neumann que actúa en un espacio de Hilbert separable se llama el separable. Observar que tales álgebra son raramente el separable en la topología de la norma.
La álgebra generado de von Neumann por un sistema de operadores limitados en un espacio de Hilbert es la álgebra más pequeña de von Neumann que contiene a todos esos operadores.
El producto de tensor del de dos álgebra de von Neumann que actúan en los dos espacios de Hilbert se define para ser la álgebra de von Neumann generada por su producto de tensor algebraico, considerado como operadores en el producto de tensor del espacio de Hilbert de los espacios de Hilbert.

Álgebra Commutative von Neumann

artículo principal del

l : Álgebra Abelian von Neumann

La relación entre las álgebra y los espacios de medida comutativos von Neumann es análoga a ésa entre el comutativo C*-algebras y el localmente compacto álgebra comutativa de los espacios de Hausdorff del cada von Neumann es isomorfo al '' L '' ^∞ ( X ) para un cierto espacio de medida ( X, μ) y para cada σ-finito X del espacio de medida, inversamente, el L ^∞ ( X ) es una álgebra de von Neumann.

Debido a esta analogía, la teoría de las álgebra de von Neumann se ha llamado teoría de medida no conmutativa, mientras que la teoría C*-algebras a veces se llama el la topología no conmutativa .

Proyecciones

E de los operadores en una álgebra de von Neumann la cual el E = el EE = E* se pide las proyecciones ; son exactamente los operadores que dan una proyección ortogonal del H sobre un cierto subespacio cerrado. Un subespacio del H del espacio de Hilbert se dice al pertenece a el M de la álgebra de von Neumann si es la imagen de una cierta proyección en el M . Éstos son informal los subespacios cerrados que se pueden describir usar elementos del M, o que " del M ; knows" sobre. El encierro de la imagen de cualquier operador en el M, o el núcleo de cualquier operador en el M pertenece al M, y el encierro de la imagen de cualquier subespacio que pertenece al M debajo de un operador del M también pertenece al M . Hay una correspondencia del 1:1 entre las proyecciones del M y los subespacios que pertenecen a ella.

La teoría básica de proyecciones fue resuelta cerca. Dos subespacios que pertenecen al M se llaman ( Murray-von Neumann ) el equivalente si hay un isometry parcial trazando el primer isomorphically sobre el otro que es un elemento de la álgebra de von Neumann (informal, si " del M ; knows" que los subespacios son isomorfos). Esto induce una relación de equivalencia natural en proyecciones definiendo el E para ser equivalente al F si los subespacios correspondientes son equivalentes, o es decir si hay un isometry parcial del H que traza la imagen del E isométrico a la imagen del F y es un elemento de la álgebra de von Neumann. Otra manera de indicar esto es que el E es equivalente al F si el E=uu^* y el F=u^*u para un cierto isometry parcial u en el M .

El ~ de la relación de equivalencia definido así es aditivo en el sentido siguiente: Suponer el F ₂ del ~ del F ₁ y del E ₂ del ~ del E ₁. Si &perp del E ₁; &perp del E ₂ y del F ₁; F ₂, entonces E ₁ + F del ~ del E _{2 1} + F ₂. Esto no es verdad en general si uno requiere equivalencia unitaria en la definición del ~, es decir si decimos el E es equivalente al F si u*Eu del = el F para un cierto unitario u .

Los subespacios que pertenecen al M son pedidos por la inclusión, y éste induce un &le parcial de la orden; de proyecciones. Hay también una orden parcial natural en el sistema de las clases de la equivalencia del de proyecciones, inducidas por el &le parcial de la orden; de proyecciones. Si el M es un factor, ≤ es una orden total en las clases de equivalencia de proyecciones, descritas en la sección en rastros abajo.

Un E de la proyección (o subespacio que pertenece al M ) reputa el finito si no hay < del F de la proyección; E que es equivalente al E . Por ejemplo, todas las proyecciones finito-dimensionales (o los subespacios) son finitos (puesto que los isometries entre los espacios de Hilbert salen de la dimensión fijada), solamente el operador de identidad en un espacio de Hilbert infinito-dimensional no son finitos en la álgebra de von Neumann de todos los operadores limitados en ella, puesto que es isométrico isomorfa a un subconjunto apropiado de sí mismo. Sin embargo es posible que los subespacios dimensionales infinitos sean finito.

Las proyecciones ortogonales son análogos no conmutativos de las funciones del indicador en el L ^{&infin de ;} ( R ). L ^{&infin de ;} ( R ) es ||· ||_∞ -closure del subespacio generado por el indicador funciona. Semejantemente, una álgebra de von Neumann es generada por sus proyecciones; ésta es una consecuencia del teorema espectral para los operadores del uno mismo-adjoint.

Factores

Un N de la álgebra de von Neumann cuyo de centro consiste solamente en los múltiplos del operador de identidad se llama un factor . demostrado que cada álgebra de von Neumann en un espacio de Hilbert separable es isomorfa a un integral directo de factores. Esta descomposición es esencialmente única. Así, el problema de clasificar clases del isomorfismo de álgebra de von Neumann en los espacios de Hilbert separables se puede reducir a el de clasificar clases del isomorfismo de factores.

demostrado que cada factor tiene uno de 3 tipos como descrito más abajo. El tipo clasificación se puede extender a las álgebra de von Neumann que no son factores, y una álgebra de von Neumann es del tipo X si puede ser descompuesta como integral directo del tipo factores de X; por ejemplo, cada álgebra comutativa de von Neumann tiene tipo I₁. Cada álgebra de von Neumann puede ser escrita únicamente como suma de álgebra de von Neumann de tipos I, II, e III.

Hay varias otras maneras de dividir factores en las clases que se utilizan a veces:
El factor del

A se llama el discreto (o de vez en cuando el doméstico) si tiene tipo I, y el continuo (o de vez en cuando el salvaje) si tiene tipo II o III.
El factor del

A se llama el semifinite si tiene tipo I o II, y el puramente infinito si tiene tipo III.
El factor del

A se llama el finito si la proyección 1 es finita y el correctamente infinito de otra manera. Los factores de tipos I e II pueden ser o finitos o correctamente infinito, pero los factores del tipo III son siempre correctamente infinitos.

Mecanografiar los factores de I

Un factor reputa del tipo I si hay una proyección mínima, es decir un E de la proyección tales que no hay otro F de la proyección con 0 < F < E. Cualquier factor del tipo I es isomorfo a la álgebra de von Neumann del todos los operadores limitados de en un cierto espacio de Hilbert; puesto que hay un espacio de Hilbert para cada número cardinal, las clases del isomorfismo de factores de tipo correspondo exactamente a los números cardinales. Puesto que muchos autores consideran las álgebra de von Neumann solamente en los espacios de Hilbert separables, es acostumbrado llamar a los operadores limitados en un espacio de Hilbert del finito n de la dimensión un factor del tipo I_n, y a los operadores limitados en un espacio de Hilbert infinito-dimensional separable, un factor del tipo I_∞.

Tipo factores de II

Un factor reputa del tipo II si hay proyecciones finitas diferentes a cero, pero cada E de la proyección se puede partir en dos en el sentido que hay el equivalente F de las proyecciones y el G tales que el E = el F + el G . Si el operador de identidad en un tipo factor de II es finito, el factor reputa del tipo II₁; si no, reputa del tipo II_∞. Los mejores factores entendidos del tipo II son el tipo factor del hyperfinite de II₁ y el tipo factor del hyperfinite de II_∞, encontró cerca. Éstos son los factores únicos del hyperfinite de los tipos II₁ e II_∞; hay un número no numerable de otro factores de estos tipos que son el tema del estudio intensivo. probó el resultado fundamental eso un factor del tipo II₁ tiene un estado tracial finito único, y el sistema de rastros de proyecciones es.

Un factor del tipo II_∞ tiene un rastro del semifinite, único hasta el rescaling, y el sistema de rastros de proyecciones es. El sistema de λ de los números verdaderos tales que hay un automorfismo rescaling el rastro por un factor de λ se llama el grupo fundamental del tipo factor de II_∞.

El producto de tensor de un factor de tipo II₁ y un infinito el tipo factor de I tiene el tipo II_∞, e inversamente cualquier factor de mecanografiar II_∞ puede ser construido como esto. El grupo fundamental de un tipo El factor de II₁ se define para ser el grupo fundamental de su producto de tensor con el factor (separable) infinito del tipo I. que era durante muchos años un problema abierto para encontrar un tipo factor de II cuyo grupo fundamental no era el grupo de todos los reals positivos, pero el Connes después demostró que la álgebra del grupo de von Neumann de un grupo discreto contable con la característica T de Kazhdan (la representación trivial se aísla en el espacio dual), por ejemplo SL₃ ( Z ), tiene un grupo fundamental contable. Sorin Popa demostró posteriormente que el grupo fundamental puede ser trivial para ciertos grupos, incluyendo el producto semidirecto del Z ² por SL₂ ( Z ).

Un ejemplo de un tipo factor de II₁ es la álgebra del grupo de von Neumann de un grupo discreto infinito contable tales que cada clase no trivial del conjugacy es infinita. encontró a familia no numerable de tales grupos con álgebra no-isomorfas del grupo de von Neumann, así demostrando a la existencia uncountably de muchos diverso tipo separable factores de II₁.

Tipo factores de III

Pasado, el tipo factores del de III es los factores que no contienen ninguna proyecciones finita diferente a cero en absoluto. En su primer papel no podían deciden independientemente de si ella existieron; los primeros ejemplos fueron encontrados más adelante cerca. Puesto que el operador de identidad es siempre infinito en esos factores, eran a veces el tipo llamado III_∞ en el pasado, pero esa notación ha sido reemplazada recientemente por la notación III_λ, donde está un número el λ verdadero en el intervalo. Más exacto, si el espectro de Connes (de su grupo modular) es 1 entonces el factor es del tipo III₀, si el espectro de Connes es todas las energías integrales del λ para 0<λ <1, entonces el tipo es III_λ, y si el espectro de Connes es todos los reals positivos entonces el tipo es III₁. (El espectro de Connes es un subgrupo cerrado de los reals positivos, así que éstas son las únicas posibilidades.) El único rastro en el tipo factores de III toma el ∞ del valor en todos los elementos positivos diferentes a cero, y cualquier dos proyecciones diferentes a cero ser equivalente. Contemporáneamente el tipo factores de III era considerado ser objetos insuperables, pero la teoría de Tomita-Takesaki ha llevado a una buena teoría de la estructura. Particularmente, cualquier tipo factor de III se puede escribir en una manera canónica como el producto cruzado de un tipo factor de II_∞ y los números verdaderos.

El predual

Cualquier M de la álgebra de von Neumann tiene un predual M _* del, que es el espacio de Banach de todos los functionals lineares ultraweakly continuos en el M . Pues el nombre sugiere, el M es (como espacio de Banach) el dual de su predual. El predual es único en el sentido que cualquier otro espacio de Banach cuyo dual sea el M es canónico isomorfo al M _*. demostrado que la existencia de un predual caracteriza las álgebra de von Neumann entre las álgebra de C*.

La definición del predual dado arriba parece depender de la opción del espacio de Hilbert que actúa el M encendido, como esto determina la topología del ultraweak. No obstante el predual puede también ser definida sin usar el espacio de Hilbert que actúa el M encendido, definiéndolo para ser el espacio generado por todos los functionals lineares positivos del normal en el M . (Aquí " normal" significa que preserva suprema cuando está aplicado a las redes cada vez mayores de los operadores de adjoint del uno mismo; o equivalente a las secuencias de aumento de proyecciones.)

El predual M _* es un subespacio cerrado del dual M ^* (que consiste en todos los functionals lineares norma-continuos en el M ) pero es generalmente más pequeño. La prueba que el M _* es (generalmente) no igual que el M ^* es nonconstructive y utiliza el axioma de la opción de una manera esencial; es muy duro exhibir los elementos explícitos del M ^* que no están en el M _*. Por ejemplo, las formas lineares positivas exóticas en el von Neumann que el l ^∞ ( Z ) de la álgebra es dado por el ultrafiltran libremente ; corresponden a los *-homomorphisms exóticos en el C y describen el compactification de la Piedra-Cech Z .

Ejemplos: El predual del L ^{&infin de la álgebra de von Neumann de ;} ( R ) de funciones esencialmente limitadas en el R es el L ¹ ( R ) del espacio de Banach de funciones integrables.

El predual del B ( H ) de la álgebra de von Neumann de operadores limitados en un H del espacio de Hilbert es el espacio de Banach de todos los operadores de la clase del rastro con la norma del rastro || A ||= Tr (| A |). El espacio de Banach de los operadores de la clase del rastro es sí mismo el dual del C*-algebra de los operadores compactos (que no es una álgebra de von Neumann).

Pesos, estados, y rastros.

Los pesos y sus estados y rastros de los casos especiales se discuten detalladamente adentro.
El ω del peso del

A en una álgebra de von Neumann es un mapa linear del sistema de los elementos positivos (los del aa^* de la forma) a.

El funcional linear positivo del

A es un peso con el ω (1) finito (o algo la extensión del ω a la álgebra entera por linearidades).
El estado del

A es un peso con el ω (1)=1.
El rastro del

A es un peso con el =ω del ω ( aa^* ) ( a^*a ) para todo el al .
El estado tracial del

A es un rastro con el ω (1)=1.

Cualquier factor tiene un rastro tales que el rastro de una proyección diferente a cero es diferente a cero y el rastro de una proyección es infinito si y solamente si la proyección es infinita. Tal rastro es único hasta rescaling. Para los factores que son separables o finitos, dos proyecciones son equivalentes si y solamente si tienen el mismo rastro. El tipo de un factor se puede leer apagado en los valores posibles de este rastro como sigue:
Tipo I_n: 0, x, 2 x ,…., nx del para un cierto positivo x (normalizado generalmente para ser 1 n o 1).
Tipo I_∞: 0, x, 2 x ,…., ∞ para un cierto positivo x (normalizado generalmente para ser 1).
Tipo II₁: para un cierto positivo x (normalizado generalmente para ser 1).
Tipo II_∞: .
Tipo III: 0, ∞

Si una álgebra de von Neumann actúa en un espacio de Hilbert que contiene un v del vector de la norma 1, entonces el funcional un &rarr de ; ( sistema de pesos americano, v ) es un estado normal. Esta construcción se puede invertir para dar una acción encendido un espacio de Hilbert de un estado normal: ésta es la construcción GNS para los estados normales.

Módulos sobre un factor

Dado un factor separable abstracto, uno puede pedir una clasificación sus módulos, significando los espacios de Hilbert separables en los cuales actúa. Se da la respuesta como sigue: cada tal H del módulo se puede dar un M - dimensionar el M ( H ) (no su dimensión del dim como espacio de vector complejo) tales que los módulos son isomorfos si y solamente si tienen la misma dimensión. El M - dimensión es aditivo, y un módulo es isomorfo a un subespacio de otro módulo si y solamente si tiene más pequeño o igual M - dimensión.

Un módulo se llama el estándar si tiene un vector de separación cíclico. Cada factor tiene una representación estándar, que es única hasta isomorfismo. La representación estándar tiene un antilinear J de la involución tales que el JMJ = M′ . Para los factores finitos el módulo estándar es dado por la construcción GNS aplicada al estado tracial normal único y el M - dimensión es normalizado de modo que el módulo estándar tenga M - dimensionar 1, mientras que para los factores infinitos el módulo estándar es el módulo con el M - dimensionan el igual al ∞.

El posible M - las dimensiones de módulos se dan como sigue:
Mecanografiar el n ( n de I _{finito): El M - la dimensión puede ser cualquiera de 0 n, 1 n, 2 n, 3 n ,…, ∞. El módulo estándar tiene el M - dimensión 1 (y complejo n ² de la dimensión.)
Mecanografiar el &infin del de I; el M - la dimensión puede ser cualquiera de 0, 1, 2, 3,…, ∞. La representación estándar del B ( H ) es &otimes del H ; H ; su M - la dimensión es ∞.
Mecanografiar a de II 1 : El M - la dimensión puede estar cualquier cosa en ∞. Es normalizada de modo que el módulo estándar tenga M - dimensión 1. El M - la dimensión también se llama el que junta constante del H del módulo.
Mecanografiar el &infin del de II; : El M - la dimensión puede estar cualquier cosa en ∞. No hay en general manera canónica de normalizarla; el factor puede tener automorfismos externos el multiplicar del M - dimensión por constantes. La representación estándar es la que está con el M - dimensionar el ∞.
Tipo III: El M - la dimensión puede ser 0 o ∞. Cualquier dos módulos diferentes a cero son isomorfos, y todos los módulos diferentes a cero son estándar.}

Álgebra Amenable von Neumann

y otros probaron que las condiciones siguientes en un M de la álgebra de von Neumann en un separable H del espacio de Hilbert son todos equivalentes:
el M del

es el hyperfinite o el AFD o el dimensional aproximadamente finito o el aproximadamente finito: esto significa que la álgebra contiene una secuencia ascendente de subalgebras dimensionales finitos con la unión densa. (Advirtiendo: algunos autores utilizan el " hyperfinite" para significar el " AFD y finite".)
el M del

es el favorable: esto significa que las derivaciones M con valores en un bimodule dual normal de Banach son todo internas.
el M del

tiene característica P de Schwartz: para cualquier T del operador limitado en el H el casco convexo cerrado norma del uTu^* de los elementos contiene un elemento que conmuta con el M .
el M del

es el semidiscrete : esto significa que el mapa de la identidad del M a el M es un límite débil del pointwise de mapas totalmente positivos de la fila finita.
el M del

tiene la característica E o la característica de la extensión de Hakeda-Tomiyama del : esto significa que hay una proyección de la norma 1 de operadores limitados en el H a el M '.
el M del

es el inyectivo: cualquier mapa linear totalmente positivo de cualquier subespacio cerrado adjoint del uno mismo que contiene 1 de cualquier unital A de C^*-algebra a el M se puede extender a un mapa totalmente positivo del A a el M .

No hay término generalmente aceptado para la clase de álgebra arriba; Connes ha sugerido que el favorable sea el término estándar.

Se han clasificado los factores favorables: hay único de cada uno de los tipos n , I_∞, II₁, II_∞, III_λ de I_{, para 0<λ≤ 1, y los que está del tipo III0 corresponder a cierto ergódico flujos. (Para el tipo III0 que llama esto una clasificación es un poco engañoso, pues se sabe que no hay manera fácil de clasificar los flujos ergódicos correspondientes.) Los que está del tipo I e II1 fueron clasificados cerca, y el permanecer fueron clasificados cerca, a excepción del tipo caso de III0 cuál fue terminado por Haagerup.}

Todos los factores favorables se pueden construir usar el ''' de la construcción del espacio de la grupo-medida del ''' Murray y Von Neumann para una transformación ergódica del solo . De hecho son exacto los factores que se presentan como productos cruzados por acciones ergódicas libre del n del _{del Z o del Z en el abeliano L ^∞ ( X ) de las álgebra de von Neumann. El tipo factores de I ocurre cuando el X del espacio de medida es el atómico y la acción transitiva. Cuando el X es difuso o el no atómico, es el equivalente como a espacio de medida . El tipo factores de II ocurre cuando el X admite un medida finita (II1) o infinita de equivalente (II∞, ), $Z$ inferior invariante. El tipo factores de III ocurre en los casos restantes donde no hay medida invariante, pero solamente una clase invariante de la medida: estos factores se llaman los factores de Kreiger del .}

Productos de tensor de las álgebra de von Neumann

El producto de tensor del espacio de Hilbert de los dos espacios de Hilbert es la terminación de su producto de tensor algebraico. Uno puede definir un producto de tensor de las álgebra de von Neumann (una terminación del producto de tensor algebraico de las álgebra consideradas como anillos), que es otra vez una álgebra de von Neumann, y del acto en el producto de tensor de los espacios de Hilbert correspondientes. El producto de tensor de dos álgebra finitas es finito, y el producto de tensor de una álgebra infinita y de una álgebra diferente a cero es infinito. El tipo del producto de tensor de dos álgebra de von Neumann (I, II, o III) es el máximo de sus tipos. El teorema de la conmutación del para los productos de tensor indica ese $del\; (M\; \backslash \; otimes\; N)^\; \backslash \; prima\; =\; M^\; \backslash \; prima\; \backslash \; otimes\; N^\; \backslash \; prime$ (donde &prime del M ; denota el Commutant del M ).

El producto de tensor de un número infinito de álgebra de von Neumann, si está hecho ingenuo, es generalmente una álgebra inseparable ridículo grande. En lugar demostrado que uno debe elegir un estado en cada uno de las álgebra de von Neumann, utilizar esto para definir un estado en el producto de tensor algebraico, que se puede utilizar al producto un espacio de Hilbert y álgebra de a (razonablemente pequeña) von Neumann. estudió el caso donde están álgebra todos los factores de matriz finitas; estos factores se llaman los factores de las Araki-Maderas o los factores ITPFI (ITPFI representa " producto de tensor infinito del tipo finito factors" de I;). El tipo del producto de tensor infinito puede variar dramáticamente mientras que se cambian los estados; por ejemplo, el producto de tensor infinito de un número infinito de tipo factores de I₂ puede tener cualquier tipo dependiendo de la opción de estados. Particularmente encontró una familia no numerable de tipo no-isomorfo III_{&lambda del hyperfinite; factores de} para 0<λ <1, llamado factores de energías del, tomando un producto de tensor infinito de mecanografiar los factores de I₂, cada uno con el estado dado cerca: Todas las álgebra de von Neumann del hyperfinite no del tipo III₀ son isomorfas a los factores de las Araki-Maderas, pero hay uncountably muchos del tipo III₀ que no son.

Bimodules y subfactors

A bimodule (o correspondencia) es un H del espacio de Hilbert con acciones del módulo de dos álgebra de conmutación de von Neumann. Bimodules tiene una estructura mucho más rica que el de módulos. Cualquier bimodule sobre dos factores da siempre un Subfactor puesto que uno de los factores se contiene siempre en el commutant del otro. Hay también una operación relativa sutil del producto de tensor debido al Connes en bimodules. La teoría Subfactors iniciado por el Vaughan Jones, reconcilia estos dos puntos de vista aparentemente diversos.

Bimodules es también importante para el M de la álgebra del grupo de von Neumann de un $discreto\; \backslash \; Gamma$ del grupo. De hecho si el V es cualquier representación unitaria del $\backslash \; Gamma$, después, con respecto al $\backslash \; Gamma$ como el subgrupo diagonal del $\backslash \; Gamma$ del $\backslash \; Gamma$ x, correspondiente indujo la representación en el l ² (el $\backslash \; Gamma$, V) es naturalmente un bimodule para dos copias de conmutación del M . Las características teóricas de la representación importante del $\backslash \; Gamma$ se pueden formular enteramente en términos de bimodules y por lo tanto para tener sentido para la álgebra de von Neumann sí mismo. Por ejemplo el Connes y el Jones dieron una definición de un análogo de la característica T de Kazhdan para las álgebra de von Neumann de esta manera.

factores No-favorables

las álgebra de von Neumann del tipo I son siempre favorables, pero para los otros tipos hay un número no numerable de diversos factores no-favorables, que parecen muy duros de clasificar, o aún distingue de uno a. Sin embargo el Voiculescu ha demostrado que la clase de factores no-favorables que vienen de la construcción del espacio de la grupo-medida es desune de la clase que viene de las álgebra de von Neumann del grupo de grupos libres. Narutaka posterior Ozawa probó que las álgebra de von Neumann del grupo de los grupos hiperbólicos rinden a el tipo primero factores de de II₁, es decir unos que no se pueden descomponer en factores como productos de tensor del tipo factores de II₁, un resultado primero probado por Leeming Ge para los factores libres del grupo usar la entropía de Voiculescu libremente. El trabajo de Popa sobre los grupos fundamentales de factores no-favorables representa otro avance significativo. La teoría del " de los factores; más allá del hyperfinite" se está ampliando rápido actualmente, con muchos nuevos y asombrosamente resultados; tiene acoplamientos cercanos con los fenómenos de la rigidez en la teoría de grupo geométrica y la teoría ergódica .

Ejemplos

las funciones esencialmente limitadas en una forma de espacio σ-finita de medida (tipo I₁) una álgebra comutativa de von Neumann que actúa en el L ² funciona. Para ciertos espacios de medida no-σ-finitos, generalmente considerado el patológico, L ^{&infin de ;} ( X ) no es una álgebra de von Neumann; por ejemplo, la σ-álgebra de sistemas mensurables pudo ser la álgebra Contable-cocountable en un sistema no numerable.

los operadores limitados en cualquie forma de espacio de Hilbert una álgebra de von Neumann, de hecho un factor, del tipo I.

si tenemos cualquier representación unitaria de un G del grupo en un H del espacio de Hilbert entonces los operadores limitados el conmutar con el G para formar un &prime de G del de la álgebra de von Neumann;, cuyas proyecciones corresponden exactamente a los subespacios cerrados del inferior invariante G del H . El &prime commutant doble de G del ; ′ del G es también una álgebra de von Neumann.

la álgebra del grupo de von Neumann del de un discreto G del grupo es la álgebra de todos los operadores limitados en el H = el l ² ( G ) que conmuta con la acción del G en el H con la multiplicación correcta. Uno puede demostrar que ésta es la álgebra de von Neumann generada por los operadores que corresponden a la multiplicación de la izquierda con un &isin de g del elemento; G . Es un factor (del tipo II₁) si cada clase no trivial del conjugacy del G es infinita (por ejemplo, un grupo libre no-abeliano), y es el factor del hyperfinite del tipo II₁ si además el G es una unión de subgrupos finitos (por ejemplo, el grupo de todas las permutaciones de los números enteros que fijan todos pero un número finito de elementos).

el producto de tensor de dos álgebra de von Neumann, o de un número contable con los estados, es una álgebra de von Neumann según lo descrito en la sección arriba.

el producto cruzado de una álgebra de von Neumann de un grupo discreto (o más generalmente localmente compacto) se puede definir, y es una álgebra de von Neumann. Los casos especiales son la construcción del espacio de la grupo-medida del de Murray y Von Neumann y los factores de Krieger del .

las álgebra de von Neumann de una relación de equivalencia mensurable y de un mensurable Groupoid puede ser definido. Estos ejemplos generalizan las álgebra del grupo de von Neumann y la construcción del espacio de la grupo-medida.

Ver también

por el que olvida sobre la topología en una álgebra de von Neumann, podemos considerar la el *-algebra (unital) de a, o apenas un anillo. Las álgebra de Von Neumann son el semihereditary: cada submódulo finito generado de un módulo descriptivo es sí mismo descriptivo. Ha habido varias tentativas de axiomatize los anillos subyacentes de las álgebra de von Neumann, incluyendo los *-rings de Baer y las álgebra AW*
El *-algebra de los operadores afiliados de una álgebra finita de von Neumann es un anillo regular de Von Neumann. (La álgebra sí mismo de von Neumann está en asiduo de general no von Neumann.)
Las álgebra de Von Neumann han encontrado usos en áreas diversas de las matemáticas como la teoría de nudo, los mecánicos estadísticos, la teoría de campo de Quantum, la física de quántum local, la probabilidad libre, la geometría no conmutativa, la teoría de la representación, la geometría, y la probabilidad .

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