Álgebra de mentira - Enciclopedia España

En las matemáticas, una álgebra de mentira del es una estructura algebraica cuyo uso principal consiste en estudiar objetos geométricos tales como grupos de mentira y las álgebra de mentira diferenciables de los múltiples fueron introducidas para estudiar el concepto de las transformaciones infinitesimales el " del término; Algebra" de la mentira; (después de la mentira de Sophus, pronunciada /li ː/ (" lee"), no /la ɪ/ (" lie") ) fue introducido por el Hermann Weyl en los años 30 . En más viejos textos, el " conocido; " infinitesimal del grupo ; se utiliza.

Definición y primeras características

Una álgebra de mentira es un tipo de álgebra sobre un campo ; es un $del espacio de vector \ un mathfrak {g}$ sobre un cierto F del campo junto con un $del de la operación binaria : \ mathfrak {g} \ época \ mathfrak {} \ \ mathfrak {g}$ de g

llamó el conmutador o el soporte de la mentira del, que satisface los axiomas siguientes:

Bilinearity : $x del l del + b y, z = z +, \ patio de b z x + b y = x + b y$

l para todo el de los escalares un, b en el F y todo el x, y, z de los elementos en el $\ el mathfrak {g}.$
Anticommutativity del

, o sesgar-simetría: = \, del $del l del$

l para todo el x, y de los elementos en el $\ el mathfrak {g}.$ cuando el F es un campo característico dos, uno tiene que imponer la condición más fuerte: $=0 \$ del

l del

l para todo el x en el $\ el mathfrak {g}.$
La identidad de Jacobi: $del l del ] +] +] = 0 \ patio$

l para todo el x, y, z en el $\ el mathfrak {g}.$

Para cualquie asociativo A de la álgebra con la multiplicación *, una puede construir un L ( A ) de la álgebra de mentira. Como espacio de vector, el L ( A ) es igual que el A . El soporte de la mentira de dos elementos del L ( A ) se define para ser su conmutador en el A : $=a*b-b*a. \$ del

El associativity de la multiplicación * en el A implica la identidad de Jacobi del conmutador en el L ( A ). Particularmente, la álgebra asociativa del del n ; × las matrices del n sobre un F del campo dan lugar al _n linear general del $\ del mathfrak de la álgebra de mentira {gl} (F).$ el asociativo A de la álgebra se llama un que envuelve la álgebra del L ( A ) de la álgebra de mentira. Se sabe que cada álgebra de mentira se puede encajar en una que se presente de una álgebra asociativa de este modo. Ver el universal el envolver de la álgebra .

Homomorphisms, subalgebras, e ideales

El soporte de la mentira no es una operación asociativa que significa generalmente ese '' x '', '' y ''], el '' z no necesita el igual]. No obstante, mucha de la terminología que fue desarrollada en la teoría asociativo suena o álgebra asociativas que se aplica comúnmente a las álgebra de mentira. Un

\ un mathfrak {h}

de un

\ de un mathfrak {g}

de la álgebra de mentira que sea cerrado debajo del soporte de la mentira se llama un subalgebra de la mentira del . Si un

I \ un subseteq \ un mathfrak del subespacio {g}

satisface un más fuerte condicionar eso

del l \ subseteq I,

entonces el I se llama un ideal en el $\ el mathfrak {g} de la álgebra de mentira.$ una álgebra de mentira en la cual el conmutador no sea idénticamente cero y la cual no tenga ninguÌn ideal apropiado se llama el simple. Un homomorfismo entre dos álgebra de mentira (sobre el mismo campo de tierra) es un mapa linear que es compatible con los conmutadores: $f del l : \ mathfrak {} \ \ mathfrak {, \ patio f de g del g'} () =,$

para todo el x de los elementos y el y en el $\ el mathfrak {g}.$ como en la teoría de los anillos asociativos, ideales son exacto los núcleos de homomorphisms, dados un $\ un mathfrak {g}$ de la álgebra de mentira y un ideal I en él, uno construye el $\ el mathfrak {g} /I,$ de la álgebra del factor del y los primeros asimientos del teorema del isomorfismo para las álgebra de mentira. $de dos álgebra de mentira \ mathfrak dados {g}$ y $\ mathfrak {el g'},$ su suma directa es el espacio de vector $\ mathfrak {} \ oplus \ mathfrak {g'}$ de g que consiste en el $de los pares (x, \, del x') x \ en \ mathfrak {g}, en \ mathfrak {g'},$ del x'\ con la operación $del l = (,), \ patio x, y \ en \, \, del mathfrak {g} en \ mathfrak {g'}.$ del y'\ de x',

Acercamiento categórico

Una composición del

f de dos homomorphisms: \ mathfrak {} \ \ mathfrak de g {g'}

g: \ mathfrak {el g'} \ \ mathfrak {} de g

es un homomorfismo del

g \ del circ f de las álgebra de mentira: \ mathfrak {} \ \ mathfrak {g } de g.

si un

f del homomorfismo: \ mathfrak {} \ \ mathfrak de g {g'}

es el Bijective, después es el inversible y se llama un isomorfismo, y estas álgebra de mentira se llaman el isomorfo. Para muchos propósitos, las álgebra de mentira isomorfas son indistinguibles. El mapa de la identidad en cualquier álgebra de mentira es un isomorfismo de la álgebra de mentira consigo mismo.

Ejemplos

cualquier V del espacio de vector dotado con el soporte idénticamente cero de la mentira se convierte en una álgebra de mentira. Tales álgebra de mentira se llaman el abeliano, cf. Cualquier álgebra de mentira unidimensional sobre un campo es abeliana, por el antisymmetry del soporte de la mentira.

el tridimensional R ³ del espacio euclidiano con el soporte de la mentira dado por el producto cruzado de los vectores se convierte en una álgebra de mentira tridimensional.

la álgebra de Heisenberg es una álgebra de mentira tridimensional con el x, y, el z de los generadores, cuyas relaciones de conmutación tienen el del
de la forma $=z de , \, \ patio =0 del patio =0. \,$

cualquier G del grupo de mentira define un =Lie verdadero asociado del $\ del mathfrak de la álgebra de mentira {g} (G).$ la definición en general es algo técnico, pero en el caso de los grupos verdaderos de la matriz puede ser formulado vía el mapa exponencial, o el exponente de la matriz. El $de la álgebra de mentira \ el mathfrak {g}$ consiste en el X de esas matrices para el cual del
$\ exp () \ en del tX G \, de$ para todo el t de los números verdaderos. El soporte de la mentira del $\ del mathfrak {g}$ es dado por el conmutador de matrices. Como ejemplo concreto, considerar el el grupo linear especial SL ( n, R ), consistiendo en todo el del n ; × matrices del n con las entradas y el determinante verdaderos 1. Esto es un grupo de mentira de la matriz, y su álgebra de mentira consiste en todo el del n ; × matrices del n con las entradas y el rastro verdaderos 0.

el espacio de vector verdadero de todo el del n ; × las matrices Sesgar-hermitianas del n son cerradas debajo del conmutador y forman un denotado verdadero u ( n ) de la álgebra de mentira. Ésta es la álgebra de mentira del grupo unitario U (n).

una clase importante de álgebra de mentira verdaderas infinito-dimensionales se presenta en la topología diferenciada . El espacio de los campos de vector lisos en un diferenciable M del múltiple forma una álgebra de mentira, donde el soporte de la mentira se define para ser el conmutador de los campos de vector. Una forma de expresar el soporte de la mentira está con el formalismo de los derivados de la mentira que identifica un X del campo de vector con un operador diferenciado parcial de la primera orden que el L X del _{de que actúa en funciones lisas dejando el L X} ( f ) del _{de sea el derivado direccional del f de la función en la dirección del X . El soporte de la mentira de dos campos de vector es el campo de vector definido con su acción en funciones por la fórmula: f=L_X de L_ del $del l del {} (L_Y f) - L_Y (L_X f). \,$ ¡derecho es de hecho un campo de vector. --> el esta álgebra de mentira se relaciona con el Pseudogroup Diffeomorphisms del M .}

¡pedacito de una capacidad de destrucción superior al de las fuerzas enemigas, y levemente incorrecto El espacio de vector de los campos de vector izquierdo-invariantes en un grupo de mentira es cerrado bajo esta operación y es por lo tanto una álgebra de mentira dimensional finita. Uno puede pensar alternativo en el espacio de vector subyacente de la álgebra de mentira que pertenece a un grupo de mentira como el espacio de tangente en el elemento de identidad del grupo. La multiplicación es el diferencial del conmutador del grupo, ( un, el b ) → ^{&minus del aba del ; 1} ^{&minus del b ; 1}, en el elemento de identidad. --->
Las relaciones de conmutación entre los componentes del x, del y, y del z del operador del ímpetu angular en los mecánicos de Quantum forman una representación de una álgebra de mentira tridimensional compleja, que es la complejación de la álgebra de mentira tan (3) del grupo tridimensional de la rotación: del
$L_y = i \ hbar L_z = i \ hbar L_x = i \ L_y hbar de del$
de L_z del
de L_x

Teoría y clasificación de la estructura

Cada álgebra de mentira verdadera o compleja finito-dimensional tiene una representación fiel al lado de las matrices (teorema de la dificultad). Los teoremas fundamentales de la mentira describen una relación entre los grupos de mentira y las álgebra de mentira. Particularmente, cualquier grupo de mentira da lugar a una álgebra de mentira canónico resuelta, e inversamente, para cualquier álgebra de mentira hay un grupo de mentira conectado correspondiente (teorema de la mentira tercer). No determinan a este grupo de mentira únicamente, sin embargo, cualquier dos grupos de mentira conectados con la misma álgebra de mentira son el localmente isomorfo, y particularmente, tener la misma cubierta universal . Por ejemplo, el grupo ortogonal especial ASÍ QUE (3) y el grupo unitario especial SU (2) ambos dan lugar a la misma álgebra de mentira, que es isomorfa al R ³ con el cruz-producto, y al SU (2) es una cubierta doble simple-conectada de TAN (3). Las álgebra de mentira verdaderas y complejas se pueden clasificar hasta cierto punto, y esto es a menudo un paso importante hacia la clasificación de los grupos de mentira.

Un $de la álgebra de mentira \ un mathfrak {g}$ es el abeliano si el soporte de la mentira desaparece, es decir = 0, para todo el x y el y en el $\ el mathfrak {g}$ . Las álgebra de mentira abelianas corresponden abeliano) a los grupos de mentira conectados comutativos (o el . Una clase más general de álgebra de mentira es definida por la desaparición de todos los conmutadores de la longitud dada. Un $de la álgebra de mentira \ un mathfrak {g}$ es el nilpotent si la serie central más baja $del l \ mathfrak {g} > > \ mathfrak {g}, \, \ mathfrak {g del mathfrak {g}] > [\, \ mathfrak {g} del mathfrak {g}], \, \ mathfrak {g del mathfrak {g}] >…$

se convierte cero eventual. Por el teorema de Engel, una álgebra de mentira es nilpotent si y solamente si para cada u en el $\ el mathfrak {g}$ el endomorphism de Adjoint $ad del l (u): \ mathfrak {} \ de g \, \ patio \ operatorname {anuncio} (u) v=$ del mathfrak {g}

es nilpotent. Más generalmente aún, un $de la álgebra de mentira \ un mathfrak {g}$ reputa el soluble del si el derivó la serie : $del l \ mathfrak {g} > >, \ mathfrak {g} \ del mathfrak {g}], [\, \ mathfrak {g} del mathfrak {g} > [\, \ mathfrak {g} del mathfrak {g}], [\, \ mathfrak {g} del mathfrak {g}]], [[\, \ mathfrak {g} del mathfrak {g}], [\, \ mathfrak {g} del mathfrak {g}] >…$

se convierte cero eventual. Cada álgebra de mentira tiene un ideal soluble máximo único, llamado su radical. Bajo correspondencia de la mentira, (respectivamente, soluble) los grupos de mentira conectados nilpotent corresponden (respectivamente, soluble) a las álgebra de mentira nilpotent.

Una álgebra de mentira es " " simple ; si no tiene ninguÌn ideal no trivial y no es abeliano. Un $de la álgebra de mentira \ un mathfrak {g}$ se llama el semisimple del si su radical es cero. Equivalente, el $\ el mathfrak {g}$ es semisimple si no contiene ninguna ideales abeliana diferente a cero. Particularmente, una álgebra de mentira simple es semisimple. Inversamente, puede ser probado que cualquier álgebra de mentira del semisimple es la suma directa de sus ideales mínimos, que son álgebra de mentira simples canónico resueltas.

En gran medida, las clases de semisimple y las álgebra de mentira solubles están en los extremos contrarios del espectro completo de las álgebra de mentira. La descomposición de Levi expresa una álgebra de mentira arbitraria como producto semidirecto de su radical soluble y una álgebra de mentira del semisimple, casi en una manera canónica. Las álgebra de mentira de Semisimple sobre un campo algebraico cerrado se han clasificado totalmente a través de sus sistemas de la raíz que la clasificación de las álgebra de mentira solubles es un problema “salvaje”, y no se pueden lograr en general.

El criterio de Cartan da las condiciones para un agebra de la mentira para ser nilpotent, soluble, o el semisimple. Se basa en la noción de la forma, una forma bilinearia simétrica de la matanza en el $\ el mathfrak {g}$ definida por el $K del de la fórmula (u, v)= \ el operatorname {tr} (\ operatorname {anuncio} (u) \ operatorname {anuncio} (v)),$ donde el tr denota el rastro de un operador linear . Un $de la álgebra de mentira \ un mathfrak {g}$ es nilpotent si y solamente si la forma de la matanza es idénticamente cero, y semisimple si y solamente si la forma de la matanza es el Nondegenerate. Un $de la álgebra de mentira \ un mathfrak {g}$ es solubles si y solamente si el $K (\ mathfrak {g},) =0.$

El concepto de semisimplicity para las álgebra de mentira es estrechamente vinculado con la reducibilidad completa de sus representaciones. Cuando el de tierra F del campo tiene característico cero, el semisimplicity de un $\ de un mathfrak {g}$ de la álgebra de mentira sobre el F es equivalente a la reducibilidad completa de todas las representaciones finito-dimensionales del $\ del mathfrak {g}.$ una prueba temprana de esta declaración procedió vía la conexión con los grupos compactos (truco unitario de Weyl), pero pruebas enteramente algebraicas posteriores fueron encontradas.

Relación a los grupos de mentira

Aunque las álgebra de mentira se estudien a menudo en el su derecho propio, se presentaron históricamente como los medios de estudiar a grupos de mentira. Dado un grupo de mentira, una álgebra de mentira se puede asociar a ella dotando el espacio de tangente a la identidad al diferencial del mapa de Adjoint, o considerando los campos de vector izquierdo-invariantes según lo mencionado en los ejemplos. Esta asociación es Functorial, significando que los homomorphisms de los grupos de mentira levantan a los homomorphisms de las álgebra de mentira, y las varias características son satisfechas por esta elevación: conmuta con la composición, él traza subgrupos de la mentira, núcleos, cocientes y cokernels de los grupos de mentira a los subalgebras, a los núcleos, a los cocientes y a los cokernels de las álgebra de mentira, respectivamente.

El functor que lleva cada grupo de mentira su álgebra de mentira y cada homomorfismo a su diferencial es un functor exacto lleno y fiel. Este functor no es inversible; diversos grupos de mentira pueden tener la misma álgebra de mentira, por ejemplo ASÍ QUE (3) y el SU (2) tienen álgebra de mentira isomorfas. Incluso peor, algunas álgebra de mentira no necesitan tener cualquier grupo de mentira asociado . Sin embargo, cuando la álgebra de mentira es finito-dimensional, hay siempre por lo menos un grupo de mentira cuya álgebra de mentira es la que está bajo discusión, y un grupo de mentira preferred puede ser elegido. Cualquier grupo de mentira conectado finito-dimensional de tiene una cubierta universal . Este grupo puede ser construido como la imagen de la álgebra de mentira debajo del mapa exponencial . Más generalmente, tenemos que la álgebra de mentira es el homeomórfico a una vecindad de la identidad. Pero global, si el grupo de mentira es compacto, el exponencial no será el inyectivo, y si el grupo de mentira no está conectado, el simplemente conectado o el compacto, el mapa exponencial no necesita ser el Surjective.

Si la álgebra de mentira es infinito-dimensional, la edición es más sutil. En muchos casos, el mapa exponencial no es incluso localmente un homeomorfismo (por ejemplo, en Diff ( S ¹), uno puede encontrar los diffeomorphisms arbitrariamente cerca de la identidad que no están en la imagen del exp). Además, algunas álgebra de mentira infinito-dimensionales no son la álgebra de mentira de cualquier grupo.

La correspondencia entre las álgebra de mentira y los grupos de mentira se utiliza en varias maneras, incluyendo en la clasificación de los grupos de mentira y la materia relacionada de la teoría de la representación de los grupos de mentira. Cada representación de una álgebra de mentira levanta únicamente a una representación de la correspondencia conectada, grupo de mentira simplemente conectado, y cada representación de cualquier grupo de mentira induce inversamente una representación de la álgebra de mentira del grupo; las representaciones están en una a una correspondencia. Por lo tanto, saber las representaciones de una álgebra de mentira resuelve la cuestión de las representaciones del grupo. En cuanto a la clasificación, puede ser demostrado que cualquier grupo de mentira conectado con una álgebra de mentira dada es isomorfo a la MOD universal de la cubierta al subgrupo central discreto. Tan clasificar a grupos de mentira se convierte en simplemente una cuestión de contar los subgrupos discretos del centro, una vez que la clasificación de las álgebra de mentira se sabe (solucionado por el Cartan y otros en el caso de Semisimple ).

Definición teórica de la categoría

Usar la lengua de la teoría de la categoría, una álgebra de mentira del se puede definir como A del objeto en el Vec, la categoría de los espacios de vector junto con un Morphism : &otimes del A ; &rarr del A ; A, donde ⊗ refiere al producto monoidal del Vec, tal que
$del \ cdot \ circ (\ + \ tau_ {A, A} del mathrm {identificación}) = 0$
$\ cdot \ circ (\ cdot \ otimes \) \ circ del mathrm {identificación} (\ mathrm {identificación} + \ + de la sigma \ sigma^2) = 0$

donde τ ( &otimes de un ; b ): = &otimes del b ; un y un σ es el trenzado de la permutación cíclica (&otimes de la identificación; τ &DEG DEL A, DEL A DEL _{); (τ A, &OTIMES DEL _{DEL A}; identificación). En la forma diagramática :}

Ver también

class=" del
Representación de Adjoint de una álgebra de mentira
Álgebra de mentira de Anyonic
Cohomology de la álgebra de mentira
Bialgebra de la mentira
Coalgebra de la mentira
Superalgebra de la mentira
Forma de la matanza
La física de partícula y teoría de la representación
Álgebra de Poisson
El Cuasi-Miente la álgebra
Representación de una álgebra de mentira

Zenithic

Renata Tebaldi

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