En las matemáticas, la álgebra multilinear amplía los métodos de la álgebra linear . Apenas mientras que la álgebra linear se emplea el concepto de un vector y desarrolla la teoría de los emplear multilineares de la álgebra de los espacios de vector el concepto de un tensor y desarrolla la teoría de el “tensor espacia”. En usos, los tipos numerosos de tensores se presentan. La teoría intenta ser comprensiva, con una gama correspondiente de espacios y una cuenta de sus relaciones.

Antecedentes históricos del acercamiento a la álgebra multilinear

El tema sí mismo tiene varias raíces el volver a las matemáticas del siglo XIX, en qué entonces fue llamada el análisis del tensor, o el " Cálculo del tensor del quot de los campos de tensor ;. Se convirtió fuera del uso de tensores en la geometría diferenciada, la relatividad general, y muchas ramas de las matemáticas aplicadas . Alrededor del centro del vigésimo siglo el estudio de tensores fue reformulado más abstracto. La álgebra multilinear tratado del grupo de Bourbaki era especialmente &mdash influyente; de hecho la álgebra multilinear término fue acuñada probablemente allí.

Una razón era en ese entonces una nueva área del uso, álgebra Homological . El desarrollo de la topología algebraica durante los años 40 dio el incentivo adicional para el desarrollo de un tratamiento puramente algebraico del producto de tensor . El cómputo de los grupos de la homología del producto de dos espacios implica el producto de tensor; pero solamente en los casos más simples, tales como un toro, está calculaba directo en esa manera (véase el teorema de Künneth). Los fenómenos topológicos eran bastante sutiles necesitar mejores conceptos fundacionales; técnicamente hablando, los functors del Tor tuvieron que ser definidos.

El material a organizar era absolutamente extenso, incluyendo también las ideas que volvían al Hermann Grassmann, las ideas de la teoría de las formas del diferencial que habían llevado al cohomology de De Rham, así como ideas más elementales tales como el producto de cuña que generaliza el producto cruzado .

El resultar relato algo severo del asunto (por el Bourbaki ) rechazó enteramente un acercamiento en el cálculo del vector (la ruta de Quaternion, es decir, en el caso general, la relación con los grupos de mentira ). En lugar de otro aplicaron un acercamiento nuevo usar la teoría de la categoría, con el acercamiento del grupo de mentira visto como cuestión separada. Puesto que esto lleva a un tratamiento mucho más limpio, no había probablemente parte posterior que iba en términos puramente matemáticos. (Terminantemente, el acercamiento universal de la característica fue invocado; esto es algo más general que teoría de la categoría, y la relación entre los dos como las maneras alternas también eran aclaradas, al mismo tiempo.)

Qué fue hecho es de hecho casi exacto explicar que el tensor del espacia es las construcciones requeridas para reducir problemas multilineares a los problemas lineares. Este ataque puramente algebraico no transporta ninguna intuición geométrica.

Su ventaja es ésa por problemas de re-expresión en términos de álgebra multilinear, hay una “mejor solución clara y bien definida”: los apremios que la solución ejerce son exactamente ésos usted necesita en la práctica. En general no hay necesidad de invocar ninguna construcción ad hoc del, idea geométrica, o el recurso a coordina sistemas. En la jerga categoría-teórica, todo es enteramente el natural.

Conclusión en el acercamiento abstracto

En principio el acercamiento abstracto puede recuperar todo hecha vía el acercamiento tradicional. Esto puede no parecer en la práctica tan simple. Por una parte la noción del natural es constante con el principio general de la covariación de la relatividad general . Este 3ultimo se ocupa de los campos de tensor (tensores que varían de punto a punto en un múltiple ), pero la covariación afirma que la lengua de tensores es esencial para la formulación apropiada de la relatividad general.

Algunas décadas la visión algo abstracta que venía de teoría de la categoría fue implicada más adelante con el acercamiento que había sido desarrollado en los años 30 por el Hermann Weyl (en celebrado y difícil el suyo del libro los grupos clásicos ). De una manera esto tomó a teoría el círculo completo, conectando una vez más el contenido de viejos y nuevos puntos de vista.

Asuntos en álgebra multilinear

El tema de la álgebra multilinear se ha desarrollado menos que la presentación abajo de los años. Aquí están otras páginas centralmente relevantes a él:
espacio dual
Operador bilineario
Producto interno
Mapa multilinear
determinante
Regla de Cramer
tratamiento Componente-libre de los tensores
Delta de Kronecker
Contracción del tensor
Tensor mezclado
Símbolo de Levi-Civita
Álgebra, álgebra libre del tensor
Álgebra simétrica, energía simétrica
Álgebra exterior
Derivado exterior
Notación de Einstein
Tensor simétrico
Tensor métrico

Hay también un glosario de la teoría del tensor.

Desde el punto de vista de usos

Consultar estos artículos para algunas de las maneras de las cuales los conceptos multilineares de la álgebra son aplicados, en varios modos:
tratamiento clásico los tensores
Tensor de dos días
Notación del Sujetador-ket
Álgebra geométrica
Álgebra de Clifford
seudoescalar
Pseudovector
Espinor
Producto externo
Número de Hypercomplex

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