En el análisis funcional, un reflexivo A de la álgebra del operador del es una álgebra del operador que tiene bastantes subespacios invariantes para caracterizarlo. Formalmente, el A es reflexivo si es igual a la álgebra de los operadores limitados que dejan invariante cada subespacio dejado invariante por cada operador en el A .

Esto no se debe confundir con un espacio reflexivo .

Ejemplos

Las álgebra de la jerarquía son ejemplos de las álgebra reflexivas del operador. En dimensiones finitas, éstas son simplemente álgebra de todas las matrices de un tamaño dado cuyas entradas diferentes a cero mientan en un patrón superior-triangular.

De hecho si fijamos cualquier patrón de entradas en un n por la matriz del n que contiene el diagonal, después el sistema de todo el n por las matrices del n cuyas entradas diferentes a cero mienten en formas de este patrón una álgebra reflexiva.

Un ejemplo de una álgebra que sea reflexivo del no es el sistema de 2 al lado de 2 matrices el $del$

l \ se fue \ { \ comenzar {el pmatrix} \ \ 0 y a del a&b \ extremo {pmatrix} \: \ a, b \ en \ mathbb {C} \ derecho \}.

Esta álgebra es más pequeña que la álgebra de la jerarquía el $del$

l \ se fue \ { \ comenzar {el pmatrix} \ \ 0 y c del a&b \ extremo {pmatrix} \: \ a, b, c \ en \ mathbb {C} \ derecho \}

pero tiene los mismos subespacios invariantes, así que no es reflexivo.

Si el T es un fijo n al lado de matriz del n entonces el sistema de todos los polinomios en el T y el operador de identidad forma una álgebra unital del operador. Un teorema de Deddens y de Fillmore indica que esta álgebra es reflexiva si y solamente si los dos bloques más grandes de la forma normal de Jordania T diferencian de tamaño por a lo más uno. Por ejemplo, la álgebra el $del$

l \ se fue \ { \ comenzar {el pmatrix} a y b y 0 \ \ 0 y a y 0 \ \ 0 y 0 y a \ extremo {pmatrix} \: \ a, b \ en \ mathbb {C} \ derecho \}

cuál es igual al sistema de todos los polinomios adentro

$T=\; \backslash \; comienza\; \{el\; pmatrix\}\; 0\; y\; 1\; y\; 0\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; 0\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; 0\; y\; \backslash \; extremo\; \{pmatrix\}$

y la identidad es reflexiva.

Hiperactivo-reflexivity

Dejar el $\backslash \; \{A\}$ mathcal sea una álgebra weak*-closed del operador contenida en el B (H), el sistema de todos los operadores limitados en un H del espacio de Hilbert y para el T cualquie operador en el B (H), dejó $del$

l \ (T, \ mathcal {A}) = beta \ sorbo \ {\| P^ \ perp TP \|\: \ P \ mbox {es una proyección y} P^ \ perp \ mathcal {A} P = (0) \} .

Observar que el P es una proyección implicada en este supremum exacto si la gama del P es un subespacio invariante del $\backslash \; \{A\}\; de$ mathcal.

El $de\; la\; álgebra\; \backslash \; \{A\}\; el$ mathcal es reflexivos si y solamente si para cada T en el B (H) : $del$

l \ (T, \ mathcal {A}) =0 beta \ mbox {implica que} T \ mbox {está adentro} \ {A} mathcal.

Observamos que para cualquie T en el B (H) la desigualdad siguiente es satisfied:

$\backslash \; beta\; (T,\; \backslash \; \{A\})\; mathcal\; \backslash \; le\; \backslash \; mbox\; \{dist\}\; (T,\; \backslash \; mathcal\; \{A\})$.

Aquí $\backslash \; mbox\; \{dist\}\; (T,\; \backslash \; mathcal\; \{A\})$ es la distancia del T de la álgebra, a saber la norma más pequeña de un TA del operador donde A funciona con encima la álgebra. Llamamos el $\backslash \; \{A\}\; el\; mathcal\; hyperreflexive\; de$ si hay un constante K tales que para cada T del operador en el B (H), $del$

l \ mbox {dist} (T, \ {A}) mathcal \ le K \ (T, \ mathcal {A}) beta.

El más pequeño tal K se llama la distancia constante del para el $\backslash \; \{A\}$ mathcal. Una álgebra hiperactivo-reflexiva del operador es automáticamente reflexivo.

En el caso de una álgebra reflexiva de matrices con las entradas diferentes a cero especificadas por un patrón dado, el problema de encontrar el constante de la distancia se puede reformular como problema de matriz-relleno: ¿si llenamos las entradas en el complemento del patrón de las entradas arbitrarias, qué opción de entradas en el patrón da la norma más pequeña del operador?

Ejemplos

cada álgebra finito-dimensional es hiperactivo-reflexivo. Sin embargo, hay ejemplos de las álgebra reflexivas infinito-dimensionales del operador que no son hiperactivo-reflexivas.

la distancia constante para una álgebra unidimensional es 1.
Las álgebra de la jerarquía del

son hiperactivo-reflexivas con el constante 1.

muchas álgebra de Von Neumann es hiperactivo-reflexivo, pero no se sabe si todas son.
La álgebra de Type I von Neumann A es hiperactivo-reflexiva con el constante a lo más 2.

Ver también

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