Ángulo - Enciclopedia España

En la geometría y trigonometría, un ángulo (en por completo, ángulo plano ) es la figura formada por dos rayos que comparten una punto final común, llamada la cima del ángulo. La magnitud del ángulo es el " cantidad de rotation" que separa los dos rayos, y puede ser medido considerando la longitud del arco circular barrida hacia fuera cuando un rayo se gira sobre la cima para coincidir con el otro (véase el " Angles" de medición;, abajo).

El ángulo del de la palabra viene del angulus latino del de la palabra, significando el " un corner". El angulus del de la palabra es un diminutivo, cuyo la forma primitiva, angus, no ocurre en latín. Las palabras cognadas son el angere latino del, significando el " para comprimir en un bend" o " al strangle", y el griego (ankylοs), significando el " torcido, curved" ; ambos están conectados con el *ank- del de la raíz de la EMPANADA, significando el " al bend" o " bow".

Historia

El Euclid define un ángulo plano como la inclinación el uno al otro, en un plano, de dos líneas que se encuentren, y no miente derecho con respecto a uno a. Según el Proclus un ángulo debe ser una calidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue utilizado por el Eudemus, que miró un ángulo como desviación de una línea recta ; el segundo por el carpo de Antioch, que lo miró como el intervalo o el espacio entre las líneas de intersección; Euclid adoptó el tercer concepto, aunque sus definiciones de ángulos correctos, agudos, y obtusos sean ciertamente cuantitativas.

¡Angles< de medición! -- ligado del grado (ángulo) -->

Para medir un ángulo θ, un arco circular centrado en la cima del ángulo se dibuja, e. con un par de los compases . La longitud del arco s entonces es dividida por el radio del círculo r, y multiplicada posiblemente por un escalamiento k constante (que dependa de las unidades de medida se eligen que): = \ frac {s} {r} (k) del $\ de la theta del l El valor de$ θ definido así es independiente del tamaño del círculo: si la longitud del radio entonces se cambia la longitud de arco cambia en la misma proporción, así que el s / r del cociente es inalterado. En muchas situaciones geométricas, los ángulos que diferencian por un múltiplo exacto de un círculo completo son con eficacia equivalente (no diferencia ninguÌn cuántas veces una línea se gira a través de un círculo completo porque termina siempre para arriba en el mismo lugar). Sin embargo, éste no es siempre el caso. Por ejemplo, al remontar una curva tal como un espiral usar los coordenadas polares, una vuelta completa adicional da lugar a un punto absolutamente diverso en la curva.

Unidades

Los ángulos se consideran sin dimensiones, puesto que se definen como el cociente de longitudes. Hay, sin embargo, varias unidades usadas para medir ángulos, dependiendo de la opción del k constante en la fórmula arriba. Con la excepción notable del radián, la mayoría de las unidades de medida angular se definen tales que un círculo completo (es decir una revolución) es igual a las unidades del n, para un cierto n del número entero (por ejemplo, en el caso de grados, n = 360). Esto es equivalente al k del ajuste = el π n /2 en la fórmula arriba. (Para ver porqué, observar que un círculo completo corresponde a un arco igual en longitud a la circunferencia del círculo, que es el πr de 2, tan s de = πr 2 . El substituir, conseguimos el θ del = los ks / r del de = el πk 2 . Pero si un círculo completo es tener un valor angular numérico del n, después nosotros necesitar el θ del = el n . Esto es alcanzada fijando el k = el π n /2.) el grado del, denotado por un pequeño círculo potencia (°) es 1/360 de un círculo completo, así que un círculo completo es 360°. Una ventaja de esta subunidad sexagesimal del viejo es que muchos ángulos comunes en geometría simple son en conjunto número medido de grados. (El problema del tener todo el " de ; interesting" los ángulos medidos como números enteros son por supuesto insolubles.) Las fracciones de un grado se pueden escribir en la notación decimal normal (e.5° para tres y grados de una mitad), solamente las subunidades sexagesimales siguientes del " grado-minuto-second" el sistema es también funcionando, especialmente para los coordenadas geográficos y en la astronomía y la balística : El minuto del del arco (o MOA, el arco minuto, o apenas el minucioso) es 1/60 de un grado. Es denotado por una sola prima ( ′ ). Por ejemplo, 3° 30′ es igual a 3 + 30/60 grado, o 3. Un formato mezclado con las fracciones decimales también se utiliza a veces, e.72′ = 3 + 5. Una milla náutica fue definida históricamente como minuto del arco a lo largo de un gran círculo de la tierra. El del del arco (o el arcsecond, o apenas el segundos ) es en segundo lugar 1/60 de un minuto del arco y 1/3600 de un grado. Es denotado por una prima doble ( ″ ). Por ejemplo, 3° 7′ 30″ es igual a 3 + 7/60 + 30/3600 grado, o 3. El radián del es el ángulo subtendido por un arco de un círculo que tenga la misma longitud que el radio del círculo (k = 1 en la fórmula dada anterior). Un círculo completo es 2 radianes del π del, y un radián es 180/los grados del π del, o cerca de 57. El radián es el abreviado rad, aunque este símbolo se omite a menudo en los textos matemáticos, donde los radianes se asumen salvo especificación de lo contrario. El radián se utiliza en virtualmente todo el trabajo matemático más allá de la geometría práctica simple, debida, por ejemplo, al agrado y al " natural" características que la exhibición de las funciones trigonométricas cuando sus discusiones están en radianes. El radián es la unidad (derivada) de medida angular en el sistema del SI . el milipulgada es el aproximadamente igual a un miliradián . Hay varias definiciones. el círculo completo (o la revolución, la rotación, la vuelta completa del o el ciclo ) es una revolución completa. La revolución y la rotación son el abreviado rev y la putrefacción del, respectivamente, pero apenas el r en el RPM (revoluciones del por minuto). 1 círculo = 360° llenos de = π 2 rad = 400 gobierno de Nigeria = 4 ángulos rectos. el de ángulo recto es 1/4 de un círculo completo. Es la unidad usada en los elementos de Euclid. 1 = 90° de ángulo recto = del π /2 del ; rad = 100 gobierno de Nigeria. el ángulo del del triángulo equilateral es 1/6 de un círculo completo. Era la unidad usada por los babilónico y es especialmente fácil construir con la regla y los compases. El grado, minuto del arco y del arco es en segundo lugar subunidades sexagesimales de la unidad babilónica. 1 unidad = 60° = babilónicos del π /3 del ; ≈ 1.047197551 del rad; rad. el graduado del, también llamado el grado, gradian del, o el gobierno de Nigeria es 1/400 de un círculo completo, así que un círculo completo es 400 graduados y el de ángulo recto es 100 graduados. Es una subunidad decimal del de ángulo recto. Un kilómetro fue definido históricamente como Centi - el gobierno de Nigeria del arco a lo largo de un gran círculo de la tierra, así que el kilómetro es el análogo decimal a la milla náutica sexagesimal. Utilizan al gobierno de Nigeria sobre todo en la triangulación . el punto, usado en la navegación, es 1/32 de un círculo completo. Es una subunidad binaria del círculo completo. Nombrando los 32 puntos en una rosa de compás se llama " que encajona el " del compás ;. 1 punto = 1/8 de un de ángulo recto = 11.5 gobierno de Nigeria. el ángulo de hora astronómico del es 1/24 de un círculo completo. Las subunidades sexagesimales fueron llamadas minuto del del tiempo y en segundo lugar del tiempo (aunque son unidades de ángulo). 1 hora = 15° = del π /12 del ; rad = 1/6 right ≈ 16.667 del ángulo; gobierno de Nigeria. el grado binario, también conocido como el radián binario (o clavito ), es 1/256 de un círculo completo. El grado binario se utiliza en la computación para poder representar eficientemente un ángulo en un solo octeto . el grado del de una cuesta, o el gradiente, no es verdad una medida del ángulo (a menos que se da explícitamente grados, al igual que de vez en cuando el caso). En lugar es igual a la tangente del ángulo, o a veces al seno . Los gradientes se expresan a menudo como porcentaje. Para los pequeños valores generalmente encontrados (menos el de 5%), el grado de una cuesta es aproximadamente la medida de un ángulo en radianes.

Ángulos positivos y negativos

Una convención adoptada universal en la escritura matemática es que los ángulos dados una muestra son los ángulos del positivo del si el medido a la izquierda, y la negativa del pesca con caña si el medido a la derecha, de una línea dada. Si no se especifica ninguna línea, puede ser asumido para ser el X-axis en el plano de cartesiano . En muchas situaciones geométricas un ángulo negativo del − el θ del es con eficacia equivalente a un ángulo positivo del " una rotación completa menos " del θ del ;. Por ejemplo, una rotación a la derecha de 45° (es decir, un ángulo de − 45°) es a menudo con eficacia equivalente a una rotación a la izquierda de 360° − 45° (es decir, un ángulo de 315°). En geometría tridimensional, " clockwise" y " counterclockwise" no tener ninguÌn significado absoluto, así que la dirección de ángulos positivos y negativos se debe definir concerniente a una cierta referencia, que es típicamente un vector que pasa a través de la cima y del perpendicular del ángulo al plano en el cual los rayos de la mentira del ángulo. En la navegación, los cojinetes se miden de del norte, aumentando a la derecha, así que un cojinete de 45 grados está de nordeste. Los cojinetes negativos no se utilizan en la navegación, así que el noroeste es 315 grados.

Aproximaciones

el 1° es aproximadamente la anchura de un dedo rosado en la longitud del brazo 10° es aproximadamente la anchura de un puño cerrado en la longitud del brazo. 20° es aproximadamente la anchura de un handspan en la longitud del brazo.

Tipos de ángulo

Una definición formal

Usar funciones trigonométricas

Un ángulo euclidiano es determinado totalmente por el triángulo correcto correspondiente. Particularmente, si el

\ theta

es un ángulo euclidiano, es verdad que

{x^2 + y^2}}

de la theta

y = \ frac {y} {\ raíz cuadrada {x^2 + y^2}} del $\ del pecado \ de la theta del l para dos números x y y . Un ángulo en el plano euclidiano se puede dar tan legítimo por dos números x y y .$

Al $\ frac {y} {x}$ del cociente corresponden dos ángulos en < \ theta de la gama geométrica $0 < 2 \ pi$ , desde entonces = \ frac del $\ del frac del l {\ pecado \ theta} {\ lechuga romana \ theta} {\ frac {y} {\ raíz cuadrada {x^2 + y^2}}} {\ frac {x} {\ raíz cuadrada {x^2 + y^2}}} = \ = \ frac del frac {y} {x} {- y} {- = \ frac de x} {\ pecado (\ + \ pi de la theta)}{\ lechuga romana (\ + \ pi de la theta)}$

Usar rotaciones

Suponer que tenemos el

\ vec de dos unidades {u}

de los vectores y el

\ el vec {v}

en el

\ el mathbb planos euclidianos {R} ^2

. Entonces existe un isometry positivo (una rotación), y uno solamente, del

\ del mathbb {R} ^2

\ al mathbb {R} ^2

ese los mapas

u

sobre

v

. Dejar el r ser tal rotación. Entonces relación

\ vec {a} \ mathcal {R} \ vec {b}

definido por

\ vec {b} =r (\ vec {a})

es de equivalencia relación y nosotros llaman ángulo de rotación r de equivalencia clase

\ mathbb {}/\ de T {R}

mathcal, donde el

\ el mathbb {T}

denota el círculo de unidad del

\ del mathbb {R} ^2

. El ángulo entre dos vectores será simplemente el ángulo de la rotación esa los mapas uno sobre el otro. No tenemos ninguna manera numérica de determinar un ángulo todavía. Para hacer esto, elegimos el

del vector (1.0)

, después para cualquier punto M en el

\ el mathbb {T}

en el

\ theta

de la distancia del

(1.0)

(en el círculo), dejamos = \ overrightarrow {OM} del

\ del vec {u}. Si llamamos el r_ \ theta la rotación que transforma el (1.0) en \ el vec {u}, después el \ se fue \ el mapsto \ theta es un bijection, que los medios nosotros pueden identificar cualquier ángulo con un número entre 0 y 2 \ pi .

Ángulos entre las curvas

El ángulo entre una línea y una curva (ángulo mezclado) o entre dos curvas de intersección (ángulo curvilíneo) se define para ser el ángulo entre las tangentes actualmente la intersección. Los varios nombres (ahora raramente, si nunca, utilizado) se han dado a los casos particulares: — amphicyrtic (GR. ἀμφί del, en ambos lados, el κυρτόσ del, convexo) o el cissoidal (GR. κισσόσ, hiedra), biconvexa; xystroidal o sistroidal (GR. ξυστρίσ del, una herramienta para raspar), concavo-convex; amphicoelic (GR. κοίλη del, un hueco) o lunularis del angulus del, bicóncavos.

El producto de punto y la generalización

En el plano euclidiano, el θ del ángulo entre dos el u de los vectores y el v es relacionado con su producto de punto y sus longitudes por la fórmula

$\ mathbf {} \ cdot \ mathbf {v} de u = \ de lechuga romana (\ theta) \ \|\ mathbf {de u} \|\ \|\ mathbf {de v} \|.$

Esto permite que uno defina ángulos en cualquier espacio verdadero del producto interno, substituyendo el producto de punto euclidiano · por el producto interno del espacio de Hilbert <·,·>.

Ángulos en geometría Riemannian

En la geometría Riemannian, el tensor métrico se utiliza para definir el ángulo entre dos tangentes donde están vectores el U y el V de la tangente y el ij del del _{de g del es los componentes del métrico G del tensor,

$\ lechuga romana \ = \ frac {g_ {ij} U^iV^j} de la theta {\ raíz cuadrada {\ dejado| g_ {ij} U^iU^j \ derecho| \ ido| g_ {ij} V^iV^j \ derecho|}}.$

Ángulos en la geografía y la astronomía
En la geografía especificamos la localización de cualquier punto en la tierra usar un sistema coordinado geográfico del . Este sistema especifica la latitud y la longitud de cualquier localización, en términos de ángulos subtendidos en el centro de la tierra, usar el ecuador y (generalmente) el meridiano de Greenwich como referencias.
En la astronomía, especificamos semejantemente un punto dado en la esfera celestial usar cualesquiera de varios sistemas coordinados astronómicos del, donde las referencias varían según el sistema particular.
Los astrónomos pueden también medir la separación angular de dos estrellas imaginándose dos líneas a través del centro de la tierra, cada uno que interseca una de las estrellas. El ángulo entre esas líneas se puede medir, y es la separación angular entre las dos estrellas.
Los astrónomos también miden el tamaño evidente del de objetos. Por ejemplo, la Luna Llena tiene una medida angular de aproximadamente 0.5°, cuando está vista de la tierra. Uno podía decir, " La luna subtiende un ángulo de la mitad de un degree." La fórmula Small-angle se puede utilizar para convertir una medida tan angular en un cociente de la distancia/tamaño.
Zenithic
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