absurdum de anuncio de Reductio del ( latino del : " de ; reducción al absurd") también conocido como discusión apagogical, el anuncio impossibile del reductio del, o la prueba del por la contradicción, es un tipo de que la discusión lógica donde uno asume una demanda por la discusión, deriva un resultado absurdo o ridículo, y después concluye que la asunción original debe haber sido incorrecta como ella llevó a un resultado absurdo.
Hace uso de la ley de la no-contradicción - una declaración no puede ser verdad y falsa. Puede también hacer uso en algunos casos de la ley del medio excluido - una declaración debe ser verdad o falsa. La frase es detectable de nuevo al griego (apagōgḗ del átopon del eis del hē del ), significando el " reducción al absurd", de uso frecuente por el Aristotle .
El absurdum de anuncio de Reductio del es también de uso frecuente describir una discusión donde una conclusión se deriva en la creencia que cada una (o por lo menos ésas que son discutidas contra) aceptará que es falso o absurdo. Sin embargo, ésta es una forma débil del reductio del, pues la decisión para rechazar la premisa requiere que la conclusión está aceptada como siendo absurda. Aunque una contradicción formal sea por definición absurda (inaceptable), una discusión débil del absurdum de anuncio de reductio del puede ser rechazada simplemente aceptando la conclusión presumiblemente absurda. Tales discusiones pueden también incorporar comúnmente la súplica para poner en ridículo, un error informal causado cuando una discusión o una teoría es torcida por el lado de oposición para aparecer ridícula.
Explicación
En lógica formal, se utiliza el absurdum de anuncio de reductio del cuando una contradicción formal se puede derivar de una premisa, permitiendo que uno concluya que la premisa sea falsa. Si una contradicción se deriva de un sistema de premisas, ésta demuestra que por lo menos una de las premisas es falsa, pero otros medios se deben utilizar para determinar cuál. Las pruebas matemáticas son construidas a veces usar el absurdum de anuncio de reductio del, primero si se asume que el contrario del teorema que el presentador desea probar, después del razonamiento lógicamente de esa asunción hasta presentado con una contradicción. Sobre alcanzar la contradicción, se refuta la asunción y por lo tanto su opuesto, debido a la ley del medio excluido, debe ser verdad. Tales pruebas en matemáticas a veces se llaman el las pruebas informales, pero no son ninguÌn menos válido que un " formal" la prueba matemática llegó la reducción directa a la igualdad.
Hay una idea falsa bastante común que el absurdum de anuncio de reductio del denota simplemente el " un argument" tonto; y está sí mismo un error formal . Sin embargo, esto no está correcto; un reductio correctamente construido del constituye una discusión correcta. Cuando el del absurdum de anuncio de reductio es en error, está debido a un error en el razonamiento usado para llegar la contradicción, no el acto de la reducción sí mismo.
Ejemplos
Una prueba clásica del reductio de las matemáticas griegas es la prueba que la raíz cuadrada de 2 es irracional. Si era racional, podría ser expresada como de la fracción un /un b en los términos más bajos, donde están números enteros el un y el b positivos. Pero si un /un b = √ 2, entonces un 2 = 2 b 2. Eso implica el que un 2 es uniforme. Puesto que el cuadrado de un número impar es impar, ése alternadamente implica que el un es uniforme. Si el un es uniforme, después el un 2 es un múltiplo de 4. Si el un 2 es un múltiplo de 4 y un 2 = 2 el b 2, después 2 el b 2 es un múltiplo de 4, y por lo tanto el b 2 es uniforme. Si es el b 2 incluso entonces el b es uniforme. Pero ahora un y el b son ambos incluso. Por lo tanto el de la fracción un /un b es el no en los términos más bajos. Eso es una contradicción. Por lo tanto el assumption&mdash inicial; eso √ 2 es rational— debe ser falso.
rompecabezas del Cubicar--cubo
Un uso más reciente de una discusión del reductio es la prueba que un cubo no se puede cortar en un número finito de cubos más pequeños sin dos los mismos tamaños. Considerar el cubo más pequeño en la cara inferior; en cada uno de sus cuatro lados, un cubo vecino o la frontera del cubo principal se está levantando sobre él. Esto significa que ninguÌn cubo más grande no cabrá encima de él (el " footprint" de tal cubo es demasiado grande). Puesto que diversos cubos no se permiten para tener los mismos tamaños, sólo cubos más pequeños se pueden colocar directo encima de él. Pero por otra parte el más pequeño de éstos sería rodeado además por cubos más grandes, así que podría solamente tener cubos más pequeños directo encima de él … y así sucesivamente, en un infinito regresa, requiriendo un número infinito de cubos, que viola nuestras condiciones. (Esto da lugar a una prueba por la inducción que el rompecabezas del cubicar--cubo es también insoluble en las dimensiones más arriba de tres.)
En matemáticas
Decir que deseamos refutar el p del asunto. El procedimiento es demostrar que eso el asumido p lleva a una contradicción lógica . Así, según la ley de la no-contradicción, el p debe ser falso.
Decir que en lugar de otro deseamos probar el p del asunto. Podemos proceder si se asume que el " no " del p ; (es decir ese p es falso), y demostrar que lleva a una contradicción lógica. Así, según la ley de la no-contradicción, " no " del p ; debe ser falso, y por eso, según la ley del medio excluido, el p es verdad.
En símbolos: Para refutar el p : uno utiliza la tautología (→ del p ( R del ¬ del ∧ del R )) el p del ¬ del →, donde está cualquier asunto y el símbolo el R del ∧ se lleva el " malo; and". El asumido p, uno prueba el R y el ¬R del, y concluye de esto ese → del p (¬R) del ∧ de R. Esto y la tautología junto implican el ¬p del .
Para probar el p : uno utiliza la tautología (→ del p del ¬ ( R del ¬ del ∧ del R )) p del → donde está cualquier asunto el R . El asumido p, uno del ¬ prueba el R y el R del ¬, y concluye de esto ese → del p del ¬ ( R del ¬ del ∧ del R ). Esto y la tautología junto implican el p .
Por un ejemplo simple de la primera clase, considerar el " del asunto; no hay número racional más pequeño mayor que 0". En una discusión del absurdum de anuncio de reductio del, comenzaríamos si se asume que el contrario: ese allí es al número racional más pequeño, por ejemplo, .
Ahora dejar = \ frac {r_0} del . Entonces el x es un número racional, y es mayor de 0; y el x es más pequeño que . (En la discusión simbólica antedicha, " el x es el number" racional más pequeño; ser el R y " el r (que es diferente del x ) es el number" racional más pequeño; ser el R del ¬.) Pero eso contradice nuestra asunción inicial que era el número racional más pequeño del . Podemos concluir tan que el asunto original debe ser verdad - " no hay número racional más pequeño mayor que 0".
No es infrecuente utilizar este primer tipo de discusión con asuntos tales como el arriba, referente al no - existencia de un cierto objeto matemático. Uno asume que existe tal objeto, y después prueba que éste llevaría a una contradicción; así, tal objeto no existe. Para otros ejemplos, ver la prueba que la raíz cuadrada de 2 no es la discusión diagonal racional del chantre de y.
Por una parte, es también campo común para utilizar discusiones del segundo tipo referente a la existencia del de un cierto objeto matemático. Uno asume que no existe el objeto, y después prueba que éste llevaría a una contradicción; así, tal objeto debe existir. Aunque se utilice absolutamente libremente en pruebas matemáticas, no cada escuela del pensamiento matemático acepta esta clase de discusión como universal válida. En escuelas tales como Intuitionism, la ley del medio excluido no se toma como verdad. De este modo de ver, hay una diferencia muy significativa entre probar que algo existe demostrando que sería absurdo si no lo hizo; y probando que algo existe construyendo un ejemplo real de tal objeto. Estas escuelas todavía, sin embargo, aceptarán discusiones de la primera clase referente a no existencia. Un ejemplo famoso de la segunda clase es Brouwer 's posee la prueba de su teorema del punto fijo, que demuestra que es imposible que no existan ciertos puntos fijos, sin poder demostrar cómo obtener uno en el caso general.
Para formar una prueba válida, debe ser demostrado que la asunción que es hecha por la discusión implica una característica que sea realmente falsa en el sistema matemático que es utilizado. El peligro aquí es el error lógico de la discusión de la carencia de la imaginación, donde se prueba que la asunción implica una característica qué mira falso, pero no es realmente probado a ser falso. Tradicional (pero incorrecto!) los ejemplos de este error incluyen pruebas falsas postulado (a. del de s de Euclid de el 'quinto el postulado del paralelo) de los otros postulados.
La razón que estos ejemplos no son ejemplos de este error es realmente que la noción de la prueba era diferente en el siglo XIX ; La geometría (euclidiana) fue considerada como siendo una reflexión “verdadera” de la realidad física, y así que la deducción de una contradicción concluyendo algo físicamente inverosímil (como los ángulos de un triángulo que no es 180 grados) era aceptable. Dudas sobre la naturaleza de la geometría de los matemáticos llevados universo tales como Bolyai, gauss, Lobachevsky, Riemann, entre otros, preguntar y aclarar qué constituyó realmente “geometría”. Fuera del trabajo de estos hombres, geometría No-Euclidiana resultada . Para otra exposición de estos malentendidos ver el Morris Kline, pensamiento matemático del : de antiguo al tiempos modernos .
En lógica matemática
En la lógica matemática, se representa el absurdum de anuncio de reductio del como:l si entonces
o
l si
En el antedicho, el p es el asunto que deseamos probar o refutar; y el S es un sistema de las declaraciones se dan que pues verdad - éstos podrían ser, por ejemplo, los axiomas de la teoría que estamos trabajando adentro, o de teoremas anteriores podemos construir sobre. Consideramos el p, o la negación del p, además del S ; si esto lleva a un lógico F de la contradicción, después podemos concluir que las declaraciones en el S llevan a la negación del p, o el p sí mismo, respectivamente.
Observar que la unión fijar-teórica, en algunos contextos estrechamente vinculados a la separación lógica (o), está utilizada aquí para los sistemas de declaraciones de una manera tal que esté relacionado más con la conjunción lógica (y).
Notación
Prueba por de reductio de anuncio del absurdum el " del extremo a menudo; ¡Contradicción! ", o " Cuál es un contradiction. La carretilla y Baermann de Isaac utilizó la notación Q., para el " absurdum" del est del quod; (" cuál es absurd"), a lo largo de las líneas Q., pero de esta notación se utiliza raramente hoy. Un símbolo gráfico usado a veces para las contradicciones es hacia abajo zigzaguea " de la flecha; lightning" símbolo (U+21AF: ↯), por ejemplo en Davey y Priestley
Cotizaciones
En las palabras G. robusto ( apología de un matemático), " del ; El absurdum de anuncio de Reductio, que Euclid amó tanto, es una de las armas más finas de un matemático. Es un gambito lejos más fino que cualquier gambito del ajedrez : un jugador de ajedrez puede ofrecer el sacrificio de un empeño o aún de un pedazo, pero ofertas de un matemático el game.| Random links: | Emilio Theodor Kocher | Brookline, Missouri | Hemer | Wheeler Peak (Nevada) | Lista de asuntos de la construcción |