En la física, la acción es una cantidad particular en un sistema físico que se pueda utilizar para describir su operación en una manera alternativa al acercamiento generalmente de la ecuación diferencial. La acción no es necesario igual para diversos tipos de sistema.

El acercamiento contemporáneo de la acción para los sistemas físicos rinde los mismos resultados que ésos encontrados usar ecuaciones diferenciales para describir el sistema, pero requiere solamente los estados de la variable física ser especificado en dos puntos, llamados los estados iniciales y finales. Los valores de la variable física en todos los puntos intermedios pueden entonces ser determinados “reduciendo al mínimo” la acción .

Historia del término “acción”

El " del término; action" fue definido de varias (ahora) maneras obsoletas durante su desarrollo.
El Gottfried Leibniz, el Juan Bernoulli y el Pedro Louis Maupertuis definieron el " action" para la luz como el integral de su velocidad (o de la velocidad inversa) a lo largo de su longitud de trayectoria.
El Leonhard Euler (y, posiblemente, Leibniz) lo definió para una partícula material como el integral de la velocidad de la partícula a lo largo de su trayectoria a través de espacio.
Maupertuis introdujo vario el ad hoc y definiciones contradictorias del " action" dentro de un solo artículo, definiendo la acción como energía potencial, como energía cinética virtual, y como híbrido extraño que aseguró la conservación del ímpetu en colisiones.

Conceptos

Las leyes físicas se expresan lo más a menudo posible como ecuaciones diferenciales que especifiquen cómo un variable físico cambia de su valor actual con infinitesimal los pequeños cambios a tiempo o posición o una cierta otra variable. Agregando encima de estos pequeños cambios, una ecuación diferencial proporciona una receta para determinar el valor de la variable física en cualquier momento, dado solamente su valor inicial en un punto y posiblemente algunos derivados iniciales.

La acción toma un acercamiento diverso pero equivalente que rinda los mismos resultados que la ecuación diferencial pero requiere solamente los estados de la variable física ser especificada en dos puntos, llamados los estados iniciales y finales. Los valores de la variable física en todos los puntos intermedios pueden entonces ser determinados “reduciendo al mínimo” la acción . La equivalencia de estos dos acercamientos se contiene en principio de s de Hamilton el 'que indica que las ecuaciones del movimiento diferenciales para el cualquier sistema físico de se pueden reformular como ecuación integral equivalente . Se aplica no sólo a los mecánicos clásicos de una sola partícula, pero también a los campos clásicos tal como el los campos gravitacionales electromágneticos de y .

El principio de Hamilton también se ha ampliado a los mecánicos de Quantum y a la teoría de campo de Quantum .

Definición matemática

Expresado en lengua matemática, usar el cálculo de las variaciones, la evolución de un sistema físico (es decir cómo el sistema progresa realmente a partir de un estado a otro) corresponde a un extremo (generalmente, un mínimo) de la acción .

Varias diversas definiciones “de la acción” están en de uso común en la física:

la acción es generalmente un integral en un cierto plazo. Pero para la acción referente a coloca, él puede ser integrado sobre variables espaciales también. En algunos casos, la acción es integrada a lo largo de la trayectoria seguida por el sistema físico.

que la evolución de un sistema físico entre dos estados es determinada requiriendo la acción se reduzca al mínimo o, más generalmente, sea el inmóvil para las pequeñas perturbaciones sobre la evolución verdadera. Este requisito lleva a las ecuaciones diferenciales que describen la evolución verdadera.

inversamente, un principio de la acción del es un método para reformular ecuaciones del diferencial del movimiento para un sistema físico como ecuación integral equivalente del . Aunque se hayan definido varias variantes (véase abajo), el principio más de uso general de la acción es el principio de Hamilton .

un principio anterior, menos informativo de la acción es el principio, que de Maupertuis es llamado a veces por su nombre histórico (menos correcto), el principio de menos acción .

Desambiguación del " action" en la física clásica

En la física clásica, la acción del término tiene por lo menos ocho significados distintos.

Acción (funcional)

Lo más comúnmente posible, el término se utiliza para un $funcional\; \backslash \; \{S\}\; un$ mathcal que tome una función del tiempo y (para el coloca ) un espacio como entrada y vuelve un escalar. Específicamente, en los mecánicos clásicos, la función de entrada es el $de\; la\; evolución\; \backslash \; el\; mathbf\; \{q\}\; (t)$ del sistema entre el $t\_\; de\; dos\; puntos\; del\; tiempo\; \{1\}$ y el $t\_\; \{2\}$, donde el $\backslash \; el\; mathbf\; \{q\}$ representan los coordenadas generalizados el $de\; la\; acción\; \backslash \; \{S\}\; el$ mathcal se define como el integral de Lagrange $L$ para una evolución de la entrada entre los dos puntos del tiempo

$\backslash \; mathcal\; \{S\}\; =\; \backslash \; ^\; del\; int\_\; \{t\_1\}\; \{t\_2\}\; L\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t$

donde están fijas y definidas las puntos finales de la evolución como = \ mathbf {q} (t_ {1} del _ del $\backslash \; del\; mathbf\; \{q\}\; 1\}\; \{)$ y = \ mathbf {q} (t_ {2}) del _ del $\backslash \; del\; mathbf\; \{q\}\; \{2\}.\; Según\; el\; principio\; de\; Hamilton,\; el\; \_\; verdadero\; del$ \backslash \; del\; mathbf\; de\; la\; evolución\; \{q\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{verdad\}\}\; (t)$es\; una\; evolución\; para\; la\; cual\; el$ de\; la\; acción\; \backslash \; \{S\}\; el$mathcal\; es\; el\; inmóvil\; (un\; mínimo,\; máximo,\; o\; un\; punto\; de\; silla\; de\; montar).\; Este\; principio\; da\; lugar\; a\; las\; ecuaciones\; del\; movimiento\; en\; los\; mecánicos\; des\; Lagrange\; .$

Acción abreviada (funcional)

Denotado generalmente como $\backslash \; \_\; mathcal\; \{S\}\; \{0\}$, esto es también un funcional. Aquí la función de entrada es la trayectoria del seguida por el sistema físico sin consideración alguna hacia su parametrización por tiempo. Por ejemplo, la trayectoria de una órbita planetaria es una elipse, y la trayectoria de una partícula en un campo gravitacional uniforme es una parábola; en ambos casos, la trayectoria no depende de cómo rápidamente la partícula atraviesa la trayectoria. El $abreviado\; de\; la\; acción\; \backslash \; el\; \_\; mathcal\; \{S\}\; \{0\}$ se define como el integral de los ímpetus generalizados a lo largo de una trayectoria en los coordenadas generalizados

$\backslash \; mathcal\; \_\; \{S\}\; \{0\}\; =\; \backslash \; internacional\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathrm\; \{\}\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\; de\; d$

Según el principio de Maupertuis, la trayectoria verdadera es una trayectoria para la cual el $abreviado\; de\; la\; acción\; \backslash \; el\; \_\; mathcal\; \{S\}\; \{0\}$ es el inmóvil.

Función principal de Hamilton

La función principal de Hamilton es definida por las ecuaciones (HJE), otra formulación alternativa de Hamilton-Jacobi de los mecánicos clásicos . Esta función $S$ es relacionada con el $funcional\; \backslash \; \{S\}\; el$ mathcal fijando el $t\_\; inicial\; deltiempo\{1\}$ de$y\; de\; la\; punto\; final\; \backslash \; el\; \_\; del\; mathbf\; \{q\}\; \{1\}$ y permitiendo que el $t\_\; de\; los\; límites\; superiores\; \{2\}$ y el segundo _ del $\backslash \; del\; mathbf\; de\; la\; punto\; final\; \{q\}\; \{2\}$ varíen; estas variables son las discusiones de la función $S$. Es decir la función $S$ de la acción es el integral indefinido del de Lagrange con respecto a tiempo.

Función característica de Hamilton

Cuando se conserva la energía total $E$, el HJE se puede solucionar con el $W\; independiente\; del\; tiempo\; de\; la\; función\; (1\},\; \backslash \; puntea,\; q\_\; \{N\}\; del\; q\_\; \{)\; =\; S\; (1\},\; \backslash \; puntea\; del\; q\_\; \{,\; el\; q\_\; \{N\},\; t)\; -\; E\; \backslash \; el\; cdot\; t$, que se llama la función característica de Hamilton. (Véase las ecuaciones de Hamilton-Jacobi: Separación de las variables .)

Otras soluciones de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi

Las ecuaciones de Hamilton-Jacobi son solucionadas a menudo por la posibilidad de separación aditiva; en algunos casos, los términos individuales de la solución, e., $S\_\; \{k\}\; (q\_\; \{k\})$, también se llaman un " action".

Acción de un coordenada generalizado

Esto es un solo $J\_\; variable\; \{k\}$ en los coordenadas del Acción-ángulo, definidos integrando un solo ímpetu generalizado alrededor de una trayectoria cerrada en el espacio de fase, correspondiendo a la rotación o al movimiento oscilante

$J\_\; \{k\}\; =\; \backslash \; p\_\; del\; oint\; \{k\}\; \backslash \; q\_\; del\; mathrm\; \{d\}\; \{k\}$

El $J\_\; variable\; \{k\}$ se llama el " action" del $q\_\; coordinado\; generalizado\; \{k\}$; la conjugación canónica correspondiente de la variable al $J\_\; \{k\}$ es su " angle" el $w\_\; \{k\}$, porque las razones describieron más completamente bajo coordenadas del Acción-ángulo. La integración está solamente sobre un solo $q\_\; variable\; \{k\}$ y, por lo tanto, desemejante del producto de punto integrado en el integral de acción abreviado arriba. La variable del $J\_\; \{k\}$ iguala el cambio en el $S\_\; \{k\}\; (q\_\; \{k\})$ mientras que el $q\_\; \{k\}$ se varía alrededor de la trayectoria cerrada. Para varios sistemas físicos de interés, el $J\_\; \{k\}$ es un constante o varía muy lentamente; por lo tanto, el $J\_\; variable\; \{k\}$ es de uso frecuente en cálculos de la perturbación y en la determinación de los invariants adibáticos

Acción para un flujo hamiltoniano

Ver la uno-forma tautológica .

Ecuaciones de Euler-Lagrange para el integral de acción

Según lo observado arriba, el requisito que el integral de acción sea el inmóvil bajo pequeñas perturbaciones de la evolución es equivalente a un sistema de las ecuaciones diferenciales (llamadas las ecuaciones de Euler-Lagrange) que pueden ser resueltas usar el cálculo de las variaciones . Ilustramos esta derivación aquí usar solamente un coordenada, x ; la extensión a los coordenadas múltiples es directa.

Adoptando el principio de Hamilton, asumimos que el de Lagrange L (el integrando del integral de acción) depende solamente del coordinado x ( t ) y de su dx derivado ( t ) del del tiempo/de despegue del, y no dependemos el tiempo explícitamente. En ese caso, el integral de acción puede ser escrito

$\backslash \; mathcal\; \{S\}\; =\; \backslash \; int\_\; \{t\_1\}\; ^\; \{t\_2\}\; \backslash ;\; L\; (x,\; \backslash )\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\; del\; punto\; \{x\}$

donde los tiempos iniciales y finales ($t\_\; \{1\}$ y $t\_\; \{2\}$) y las posiciones finales e iniciales se especifican por adelantado como el $x\_\; \{1\}\; =\; x\; (t\_\; \{1\})$ y $x\_\; \{2\}\; =\; x\; (t\_\; \{2\})$. Dejar el $x\_\; \{\backslash \; mathrm\; \{verdad\}\}\; (t)$ representan la evolución verdadera que buscamos, y dejan el $x\_\; \{\backslash \; mathrm\; \{por\}\}\; (t)$ sea una versión levemente perturbada de ella, no obstante con las mismas puntos finales, $x\_\; \{\backslash \; mathrm\; \{por\}\}\; (t\_\; \{1\})\; el\; =x\_\; \{1\}$ y $x\_\; \{\backslash \; mathrm\; \{por\}\}\; (t\_\; \{2\})\; el\; =x\_\; \{2\}$. La diferencia entre esta dos evolución, que llamaremos el $\backslash \; el\; varepsilon\; (t)$, es infinitesimal pequeño siempre

$\backslash \; varepsilon\; (t)\; =\; x\_\; \{\backslash \; mathrm\; \{por\}\}\; (t)\; -\; x\_\; \{\backslash \; mathrm\; \{verdad\}\}\; (t)$

En las puntos finales, la diferencia desaparece, = \ varepsilon (t_ {2} es decir, del $\backslash \; del\; varepsilon\; (t\_\; \{1\}))\; =\; 0$.

Ampliado a la primera orden, la diferencia entre los integrales de acciones para la dos evolución es el $del$

l \ comienza {alinear} \ delta \ mathcal &= {S} \ int_ {t_1} ^ {t_2} \; \ L dejado (x_ {\ mathrm {verdad}} + \ varepsilon, \ + \ punto \ varepsilon) - L (x_ del x_ del punto {\ mathrm {verdad}} {\ mathrm {verdad}}, \ x_ del punto {\ mathrm {verdad}}) \ del rightdt \ \ &= \ int_ {t_1} ^ {t_2} \; \ ido (\ varepsilon {\ L parcial \ sobre \ x parcial} + \ punto \ varepsilon {\ L parcial \ sobre \ parcial \ punto x} \) derecho \, \ mathrm {d} t \ extremo {alinear}

La integración por las partes del último período, junto con el $de\; lascondicionesde\; límite\; \backslash \; =\; \backslash \; varepsilon\; (t\_\; \{2\}\; del\; varepsilon\; (t\_\; \{1\}))\; =\; 0$, rinde la ecuación

$\backslash \; delta\; \backslash \; mathcal\; \{S\}\; =\; \backslash \; int\_\; \{t\_1\}\; ^\; \{t\_2\}\; \backslash ;\; \backslash \; ido\; (\; \backslash \; varepsilon\; \{\backslash \; L\; parcial\; \backslash \; sobre\; \backslash \; x\; parcial\}\; -\; \backslash \; varepsilon\; \{d\; \backslash \; sobre\; despegue\}\; \{\backslash \; L\; parcial\; \backslash \; sobre\; \backslash \; parcial\; \backslash \; punto\; x\}\; \backslash )\; derecho\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; T.$

El requisito que el $\backslash \; \{S\}$ mathcal sean el inmóvil implica que el $del\; cambio\; \backslash \; el\; deltade\; primer\; orden\backslash \; \{S\}\; el$ mathcal deben ser cero para el cualquier $de\; la\; perturbación\; de\; \backslash \; varepsilon\; posibles\; (t)$ sobre la evolución verdadera. Esto puede ser verdad solamente si

style=" del $del\; \{\backslash \; parcial\; L\; \backslash \; sobre\; \backslash \; parcial\; x\}\; -\; \{\backslash \; mathrm\; \{\}\; \backslash \; sobre\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\; de\; d\; \{\backslash \; L\; parcial\; \backslash \; sobre\; \backslash \; parcial\; \backslash \; punto\; \{x\}\}\; =\; 0$      Euler-Lagrange equation