Adjoint hermitiano - Enciclopedia España

En las matemáticas, específicamente en el análisis funcional, cada operador linear en un espacio de Hilbert tiene un operador de adjoint correspondiente del . Adjoints de operadores generaliza la conjugación transporta de las situaciones infinito-dimensionales cuadradas de las matrices (posiblemente). Si uno piensa en operadores en un espacio de Hilbert como " numbers" complejo generalizado;, entonces el adjoint de un operador desempeña el papel de la conjugación del complejo de un número complejo.

El adjoint de un A del operador también se llama el el adjoint hermitiano (después de que Charles Hermite ) del A y es denotado a veces por el † (estes 3ultimo del ^{del A ^* o del A especialmente cuando está utilizado conjuntamente con la notación del Sujetador-ket).}

¡Definición para los operadores limitados

Suponer que el H es un espacio de Hilbert, con, \ cdot \ rangle del $\ del langle \ del cdot del producto interno . Considerar un continuo de el A del operador linear : H del → del H (éste es igual que un operador limitado ). Usar el teorema de la representación de Riesz, uno puede demostrar que existe un operador linear continuo único A* : H del → del H con la característica siguiente: el del l \ el hacha del lang, y \ sonaron = \ lang x, A^* y \ sonaron \ patio \ el mbox {para todos} x, y \ en H$

Este A del operador * es el adjoint del A .

Características

Características inmediatas: A ** =

DEL A Si el A es inversible, está tan el A *. Entonces, ( A *) ^{− 1} = (^{&minus del A ; 1}) *

( A + B ) * = A * + B *

( A del λ) * = A del λ* *, donde el λ* denota la conjugación del complejo del

del λ del número complejo ( AB ) * = B * A *

Si definimos la norma del operador A por el $del \| A \| _ {de Op.}: = \ sorbo \ {\|Hacha \| : \| x \| \ le 1 \}$ entonces $del \| A^* \| del _ = {de Op.} \| A \| _$ {de Op. Por otra parte, $del \| A^* A \| del _ = {de Op.} \| A \| _ ^2 {de Op.}$

El sistema de operadores lineares limitados en un H del espacio de Hilbert junto con la operación del adjoint y la norma del operador forman el prototipo de una álgebra de C*.

La relación entre la imagen de $A$ y el núcleo de su adjoint se da cerca: $del \ ker A^* = \ = \ overline {\ operatorname {im} \ A}$ (\ operatorname {im} \ A \ derecho) del ^ \ bot del $dejado del \ (\ ker A^* \ derecho) del ^ dejado \ del bot Prueba de la primera ecuación: el del \ comienza {alinear} Y \ iff de A^* x = 0 \ langle A^*x, y \ rangle = 0 \ patio \ forall y \ en \ \ y \ iff de H \ langle x, Ay \ rangle = 0 \ patio \ forall y \ en \ \ y \ iff de H x \ \ bot \ \ operatorname {im} \ A \ extremo {alinear}$

La segunda ecuación sigue del primera tomando el espacio ortogonal en ambos lados. Observar que la imagen no necesita generalmente ser cerrada, pero el núcleo de un operador continuo está siempre.

Operadores hermitianos

Un A del operador limitado: El H del → del H se llama el Uno mismo-adjoint Hermitian o si el A del = el A * cuál es equivalente al $del \ al hacha del lang, y \ sonó = \ lang x, A y \ sonó \ el mbox {para todos} x, y \ en H.$

En un cierto sentido, estos operadores desempeñan el papel de los números verdaderos (siendo igual a su propio " conjugate" complejo;). Sirven como el modelo de los Observables con valores reales en los mecánicos de Quantum . Ver el artículo sobre los operadores del Uno mismo-adjoint para un tratamiento completo.

Adjoints de operadores ilimitados

Muchos operadores de la importancia no son continuos y se definen solamente en un subespacio de un espacio de Hilbert. En esta situación, uno puede todavía definir un adjoint, como se explica en el artículo sobre los operadores del Uno mismo-adjoint

Otros adjoints

El hacha del $\ del lang del de la ecuación, y \ sonó = \ lang x, A^* y \ sonó$ es formalmente similar a las características la definición de pares de los functors de Adjoint en la teoría de la categoría, y aquí es adonde los functors del adjoint consiguieron su nombre.

Ver también

Conceptos matemáticos del

Álgebra linear
Producto interno
Espacio de Hilbert
Operador hermitiano
Norma
Norma del operador
Uso físico Espacio dual
Notación del Sujetador-ket
Mecánicos de Quantum
observable

Zenithic

Liu Xuqing

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