El afina la geometría es una forma de la geometría que ofrece la línea paralela única característica (véase el el postulado paralelo ) pero donde está indefinida la noción del ángulo y las longitudes no se pueden comparar en diversas direcciones (es decir, los postulados de Euclid las terceras y las cuartas son sin setido). Primero identificado por el Euler, muchos afinar las características son familiar de la geometría euclidiana, pero también se aplican en el espacio de Minkowski. Esas características de la geometría euclidiana que son preservadas por la proyección paralela a partir de un plano a otro son afinan. En efecto, afinar la geometría es una generalización de la geometría euclidiana caracterizada por distorsiones de la inclinación y de la escala. La geometría descriptiva es más general que afina puesto que puede ser derivada de espacio descriptivo por el " specializing" cualquie un plano.
En la lengua del programa de Erlangen de Klein, la simetría subyacente adentro afina geometría es el grupo de las afinidades, es decir, el grupo de transformaciones cuyo collinearity del coto.
Afinar la geometría puede ser convertido en términos de geometría de los vectores con o sin la noción de coordenadas. Un espacio de afinación es distinguido de un espacio de vector de la misma dimensión “olvidando” el 0 del origen (conocido a veces como vectors libremente ). Así, afinar la geometría puede ser visto como parte de la álgebra linear .
Historia
El Euler acuñó el de la palabra afina (del alemán, del affin del ). Solamente después programa de s Erlangen de Klein Felix de 'estaba afina la geometría reconocida para ser una generalización de la geometría euclidiana .
Los axiomas para afinan geometría
Un tratamiento axiomático de afina geometría se puede construir de los axiomas de la geometría pedida por la adición de dos axiomas adicionales. el
(el afina el axioma del paralelismo ) dado un punto A y una línea r, no con A, allí es a lo más una línea con A que no resuelva el
El concepto de la afinación de paralelismo forma una relación de equivalencia en líneas.
Afinar las transformaciones
considera también: El afina el
la transformación
Geométrico, afinar el collinearity del coto de las transformaciones (afinidades). Transforman tan líneas paralelas en líneas paralelas y preservan cocientes de distancias a lo largo de líneas paralelas. Las afinidades admiten solamente dos tipos de Isometry : mitad-da vuelta y las traducciones . Ambo mitad-da vuelta y las traducciones son tipos de las dilataciones o de homothecy.
Identificamos mientras que el afina los teoremas cualquier resultado geométrico que sea invariante bajo afine el grupo (en programa de Erlangen de s de Klein Felix el 'esto es su grupo subyacente que de las transformaciones de la simetría para afinan geometría). Considerar en un V, el grupo linear general GL ( V ) del espacio de vector. No es el entero afina el grupo porque debemos permitir también las traducciones por el v de los vectores en el V . (Tal traducción traza cualquier w en el V al w + v .) Las traducciones genera el grupo linear general y y es de hecho su . (Aquí pensamos en el V como grupo bajo su operación de la adición, y utilizamos la representación de definición de GL ( V ) en el V para definir el producto semidirecto.)
Por ejemplo, el teorema de la geometría plana de triángulos sobre la concurrencia de las líneas que ensamblan cada cima al punto mediano del lado opuesto (en el del centro de figura del o el Barycentre del ). La idea del punto mediano del es una afinación invariante. Otros ejemplos incluyen los teoremas Ceva, Menelaus .
Afinar los invariants puede también asistir a cálculos. Por ejemplo, las líneas que dividen el área de un triángulo en dos mitades iguales forman un sobre dentro del triángulo. Cociente de área de sobre a área de triángulo es afinan invariante, y tan solamente necesidad ser calculado de simple caso por ejemplo unidad isósceles en ángulo recto triángulo dar , es decir 0.019860… o menos el de 2%, para todos los triángulos.
Afinar el espacio
considera también: El afina el
l espacio
Afinar la geometría puede ser visto como la geometría del afinan el espacio, de un dado n de la dimensión, coordinatized sobre un K del campo . Hay también (en dos dimensiones) una generalización combinatoria de coordinatized afina el espacio, según lo convertido en la geometría finita sintético. En geometría descriptiva, el afina medios del espacio el complemento de los puntos (el hiperplano ) en el infinito (véase también el espacio descriptivo ). El afina el espacio se puede también ver como espacio de vector con la substracción y las operaciones escalares de la multiplicación. Ésa es una manera exacta de la cual “olvidar el origen”.
El sintético, afina los planos que son de 2 dimensiones afinan las geometrías definidas en términos de relaciones entre los puntos y las líneas (o a veces, en dimensiones, hiperplanos más altos). Definiendo afinar (y) las geometrías descriptivas como configuraciones de puntos y las líneas (o los hiperplanos) en vez de usar los coordenadas, uno consiguen ejemplos sin campos coordinados. Una característica importante es que todos tales ejemplos tienen dimensión 2. que los ejemplos finitos en la dimensión 2 (el finito afina los planos ) han tenido valores en el estudio de configuraciones en infinito afinan espacios, en la teoría de grupo, y en la combinatoria .
A pesar de ser menos generales que el acercamiento basado en la configuración, los otros acercamientos discutidos han sido muy acertados en la iluminación de las partes de geometría que se relacionan con la simetría .
Usos y relaciones
Las nociones de afinan geometría tienen usos, por ejemplo en la geometría diferenciada . Dado la estrecha relación con la álgebra linear, los usos son abundantes.
Ver también
Geometría No-EuclidianaEl afina
El afina el espacio
Geometría pedida
Geometría euclidiana
Programa de Erlangen
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