En las matemáticas y computación, el algoritmo de Levenberg-Marquardt del (o el LMA ) proporciona una solución numérica al problema de reducir al mínimo una función, generalmente no linear, sobre un espacio de los parámetros de la función. Estos problemas de la minimización se presentan especialmente en el ajuste de curvas de los m3inimos cuadr3aticos y la programación no linear .
El LMA interpola entre el algoritmo (GNA) de Gauss-Newton y el método de la pendiente del gradiente. El LMA es más robusto que el GNA, así que significa que en muchos casos encuentra una solución incluso si comienza muy lejos del mínimo final. Por una parte, para las funciones well-behaved y los parámetros que comienzan razonables, el LMA tiende a ser un pedacito más lento que el GNA.
El LMA es un algoritmo muy popular de la curva-guarnición; la mayoría del software con capacidades genéricas de la curva-guarnición proporciona una puesta en práctica de él.
El problema
Su uso principal está en el problema del ajuste de curvas de los m3inimos cuadr3aticos: dado un sistema de los pares de los datos empíricos (el i del del i , del y del del t ), optimizar el p de los parámetros del modelo f ( t de la curva | p ) de modo que la suma de los cuadrados de las desviaciones llega a ser mínimo. (Palabra de A en la notación: evitamos el x de la letra porque se utiliza a veces en el lugar de nuestro p, a veces en el lugar de nuestro t ). Como otros algoritmos numéricos de la minimización, el algoritmo de Levenberg-Marquardt es un procedimiento iterativo . Para comenzar una minimización, el usuario tiene que proporcionar una conjetura inicial para el p del vector del parámetro. En muchos casos, una conjetura estándar mal informada como el p T= (1.1,…, 1) trabajarán muy bien; en otros casos, el algoritmo converge solamente si la conjetura inicial está ya algo cerca de la solución final. En cada paso de la iteración, el p del vector del parámetro es substituido por un nuevo del p de la estimación; + q . Para determinar el q, el i donde está el el J Jacobian del f en el p . En un mínimo de la suma de los cuadrados , el gradiente de con respecto al q es 0. que distinguen el cuadrado del lado derecho de la ecuación sobre y la determinación a cero lleva a: ¡ de qué q puede ser obtenido invirtiendo el J del J T. El sello dominante del LMA es substituir esta ecuación por una “versión humedecida” ¡ donde está la matriz el I de identidad, dando como el q del incremento al estimado p del vector del parámetro El &lambda (no negativo) del factor que humedece; se ajusta en cada iteración. Si la reducción de S es rápida un valor más pequeño se puede utilizar trayendo el algoritmo más cercano al GNA, mientras que si una iteración da la reducción escasa en el &lambda residual; puede ser aumentado dando un paso más cercano a la dirección de pendiente del gradiente. Un factor que humedece similar aparece en la regularización de Tikhonov, que se utiliza para solucionar los problemas Enfermo-presentados linear, así como en la regresión de Ridge, una técnica de la valoración en las estadísticas . Si se aborta el calculado q de la longitud de paso, o la reducción de la suma de reducción de los cuadrados del último p del vector del parámetro + el q, caída debajo de límites predefinidos, la iteración y el pasado p del vector del parámetro se considera ser la solución. Los valores absolutos de cualquier opción dependen de como de bien-escalaron el problema inicial son. Marquardt recomendó el comenzar con un &lambda del valor; 0 y un &nu del factor; >1. Inicialmente determinación de λ =λ 0 y computación de la suma residual del S ( p ) de los cuadrados después de un paso del punto de partida con el factor que humedece de λ =λ 0 y en segundo lugar con λ /ν. Si ambos éstos son peores que el punto inicial entonces el humedecer es aumentado en la multiplicación sucesiva por ν hasta un mejor punto se encuentra con un nuevo factor que humedece de λ ν k para un cierto k . Si uso del &lambda del factor que humedece; /ν los resultados en una reducción en residual ajustada entonces esto se toman como el nuevo valor del λ (y la nueva localización óptima se toma como ésa obtenida con este factor que humedece) y el proceso continúa; si usa λ /ν dado lugar al una residual peor, pero usar λ dado lugar a un mejor &lambda de la residual entonces; se va sin cambiar y se toma el nuevo grado óptimo mientras que el valor obtenido con λ como factor que humedece. La solución
Opción de humedecer parámetro
Las varias discusiones más o menos heurísticas se han propuesto para la mejor opción para el &lambda del parámetro que humedecía;. Las discusiones teóricas existen demostrando porqué algunas de estas opciones garantizaron la convergencia local del algoritmo; sin embargo estas opciones pueden hacer que la convergencia global del algoritmo sufre de las características indeseables de la escarpado-pendiente, particularmente convergencia muy lenta cerca del grado óptimo. Ejemplo
En este ejemplo intentamos caber el usar el algoritmo del de Levenberg-Marquardt (Lev-Marcha) ejecutado adentro Octava del GNU como la función del leasqr del . 3 la guarnición progresivamente mejor de la demostración del higo 1.3 de los gráficos para el de los parámetros un =100, b =102 utilizó en la curva inicial. Solamente cuando los parámetros en el higo 3 se eligen lo más cerca posible a la original, está el ajuste de curvas exactamente. Esta ecuación es un ejemplo de las condiciones iniciales muy sensibles para el algoritmo de Lev-Marcha.
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