El análisis complejo, conocido tradicionalmente como la teoría del de funciones de una variable compleja, es la rama de las funciones de investigación de las matemáticas de los números complejos . Es útil en muchas ramas de las matemáticas, incluyendo la teoría de número y las matemáticas aplicadas .

El análisis complejo se refiere particularmente a las funciones analíticas de las variables complejas, que se dividen comúnmente en dos clases principales: las funciones olomorfas y las funciones meromórficas porque el separable las piezas imaginarias verdaderas de y de cualquier función analítica debe satisfacer la ecuación de Laplace, análisis complejo son extensamente aplicables a los problemas de dos dimensiones en la física .

Historia

El análisis complejo es una de las ramas clásicas en matemáticas con sus raíces en el siglo XIX y algún incluso antes. Los nombres importantes están Euler, el gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass, y mucho más en el vigésimo siglo. Tradicionalmente, el análisis complejo, particularmente la teoría de los mappings conformales tiene muchos usos en la ingeniería, pero también se utiliza a través de la teoría de número analítica . En tiempos modernos, llegó a ser muy popular a través de una nueva alza de la dinámica compleja y de los cuadros de los fractales producidos iterando las funciones olomorfas, el ser más popular el fijado Mandelbrot. Otro uso importante del análisis complejo está hoy en la teoría de la secuencia que es una teoría de campo conformally invariante de Quantum .

¡Funciones complejas plano complejo -->

Una función compleja es una función en la cual la variable independiente y la variable dependiente son ambos números complejos. Más exacto, una función compleja es una función cuyo &Omega del dominio ; es un subconjunto del plano complejo y cuya gama está también un subconjunto del plano complejo.

Para cualquier función compleja, la variable independiente y la variable dependiente se pueden separar en el las piezas imaginarias verdaderas de y :

$z\; =\; x\; +\; iy\; \backslash ,$ y
$w\; =\; f\; (z)\; =\; u\; (z)\; +\; intravenoso\; (z)\; \backslash ,$
donde $x,\; y\; \backslash \; en\; \backslash \; mathbb\; \{\}\; \backslash ,\; de\; R$ y $u\; (z),\; v\; (z)\; \backslash ,$ son funciones con valores reales.

Es decir los componentes del f ( z ) de la función, $u\; del$

l = u (x, y) \, $v\; de$ y del
= v (x, y), \,

puede ser interpretado como funciones con valores reales de las dos variables verdaderas, x y y .

Los conceptos básicos de análisis complejo son introducidos a menudo ampliando las funciones verdaderas elementales (e., exponentials, logaritmos, y funciones trigonométricas) en el dominio complejo.

Derivados y las ecuaciones de Cauchy-Riemann

Apenas como en análisis verdadero, un " smooth" el w de la función compleja = el f ( z ) puede tener un derivado en un punto particular en su &Omega del dominio;. De hecho, la definición del derivado

$f^\; \backslash \; prima\; (z)\; =\; \backslash \; frac\; \{dw\}\; \{DZ\}\; =\; \backslash \; lim\_\; \{h\; \backslash \; a\; 0\}\; \backslash \; frac\; \{f\; (z+h)\; -\; f\; (z)\}\; \{\}\; \backslash ,\; de\; h$

es análogo al caso verdadero, con una diferencia muy importante. En análisis verdadero, el límite puede ser acercado solamente moviéndose a lo largo de la línea de número unidimensional. En análisis complejo, el límite se puede acercar de cualquier dirección en el plano complejo de dos dimensiones.

Si este límite, el derivado, existe para cada z del punto en Ω, entonces el f ( z ) reputa diferenciable en Ω. Puede ser demostrado que cualquier diferenciable f ( z ) es el analítico. Esto es un resultado mucho más de gran alcance que el teorema análogo que se puede probar para las funciones con valores reales de números verdaderos. En el cálculo de números verdaderos, podemos construir un f ( x ) de la función que tenga un primer derivado por todas partes, pero para cuál no existe el segundo derivado en uno o más puntos en el dominio de la función. Pero en el plano complejo, si un f ( z ) de la función es diferenciable en una vecindad debe también ser infinitamente diferenciable en esa vecindad. (Véase el " Las funciones olomorfas son " analítico de ; para una prueba.)

Aplicando los métodos del cálculo del vector para computar los derivados parciales u ( x, y ) de dos funciones verdaderas y del v ( x, y ) en las cuales el f (el z ) puede ser descompuesto, y considerando dos trayectorias que llevan a un z del punto en Ω, puede ser demostrado que existe el derivado si y solamente si

$f^\; \backslash \; prima\; (z)\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; u\; parcial\}\; \{\backslash \; x\; parcial\}\; +\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; v\; parcial\}\; de\; i\; \backslash \; del\; frac\; \{\backslash \; v\; parcial\}\; \{\backslash \; x\; parcial\}\; \{\backslash \; y\; parcial\}\; -\; i\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; u\; parcial\}\; \{\backslash \; y\; parcial\}.\; \backslash ,$

Comparando las partes verdaderas e imaginarias de estas dos expresiones obtenemos la formulación tradicional de las ecuaciones de Cauchy-Riemann:

$\backslash \; frac\; \{\backslash \; u\; parcial\}\; \{\backslash \; x\; parcial\}\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; v\; parcial\}\; \{\backslash \; y\; parcial\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; u\; parcial\}\; \{\backslash \; y\; parcial\}\; =\; -\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; v\; parcial\}\; \{\backslash \}\; parcial\; \backslash ,\; de\; x\; u\_y=-v\_x\; de$ o, en otra notación común, $u\_x=v\_y\; \backslash \; del\; qquad.\; \backslash ,$

Distinguiendo este sistema de dos ecuaciones diferenciales parciales primero con respecto al x, y entonces con respecto al y, podemos demostrar fácilmente eso

$\backslash \; +\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial^2\; u\}\; \{\backslash \; y^2\; parcial\}\; =\; 0\; \backslash \; +\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial^2\; v\}\; \{\backslash \; y^2\; parcial\}\; =\; 0\; \backslash ,\; del\; qquad\; del\; frac\; \{\backslash \; partial^2\; u\}\; \{\backslash \; x^2\; parcial\}\; \backslash \; del\; frac\; \{\backslash \; partial^2\; v\}\; \{\backslash \; x^2\; parcial\}$ o, en otra notación común, $u\_\; \{xx\}\; +\; u\_\; \{yy\}\; =\; v\_\; \{xx\}\; +\; v\_\; \{yy\}\; =\; 0.\; \backslash ,$

Es decir las partes verdaderas e imaginarias de una función diferenciable de una variable compleja son las funciones armónicas porque satisfacen la ecuación de Laplace.

Funciones olomorfas

considera también:

olomorfo de la función Las funciones olomorfas son las funciones complejas definidas en un subconjunto abierto del plano complejo que son el diferenciable. El differentiability complejo tiene consecuencias mucho más fuertes que differentiability (verdadero) generalmente. Por ejemplo, las funciones olomorfas son infinitamente diferenciables, un hecho que esté lejos de verdad para las funciones diferenciables verdaderas. La mayoría de las funciones elementales, incluyendo la función exponencial, las funciones trigonométricas y todas las funciones polinómicas, son olomorfas.

El considera también : La función analítica, la gavilla olomorfa y el Vector los paquetes

Resultados importantes

Una herramienta central en análisis complejo es la línea integral . El integral alrededor de una trayectoria cerrada de una función que sea olomorfa por todas partes dentro del área limitada por la trayectoria cerrada es siempre cero; éste es el teorema integral de Cauchy. Los valores de una función olomorfa dentro de un disco se pueden computar por cierto integral de la trayectoria en el límite del disco (fórmula integral de Cauchy). Los integrales de la trayectoria en el plano complejo son de uso frecuente determinar integrales verdaderos complicados, y aquí la teoría de los residuos entre otros es útil (véase los métodos de la integración del contorno). Si una función tiene un poste del o singularidad del en un cierto punto, es decir, en ese punto su " de los valores; hacer saltar el " y no tener ningún valor finito, después uno puede computar el residuo de la función en ese poste, y estos residuos se pueden utilizar para computar los integrales de la trayectoria que implican la función; éste es el contenido del teorema de gran alcance del residuo. El comportamiento notable de funciones olomorfas cerca de singularidades esenciales es descrito por el teorema de Weierstrass-Casorati. Las funciones que tienen solamente postes pero ningunas singularidades esenciales se llaman el meromórfico. Las series de Lorenzo son similares a la serie de Taylor pero se pueden utilizar para estudiar el comportamiento de funciones cerca de singularidades.

Una función limitada que es olomorfa en el plano complejo entero debe ser constante; éste es el teorema de Liouville. Puede ser utilizado para proporcionar una prueba natural y corta para el teorema fundamental de la álgebra que indica que el campo de números complejos es el algebraico cerrado.

Una característica importante de funciones olomorfas es que si una función es olomorfa a través de un dominio simplemente conectado entonces sus valores son determinados completamente por sus valores en cualquier subdomain más pequeño. La función en el dominio más grande reputa el analítico continuo de sus valores en el dominio más pequeño. Esto permite la extensión de la definición de las funciones tales como la función de zeta de Riemann que se definen inicialmente en términos de sumas infinitas que casi converjan solamente en dominios limitados al plano complejo entero. A veces, como en el caso del logaritmo natural, es imposible continuar analítico una función olomorfa a un dominio non-simply conectado en el plano complejo pero es posible extenderlo a una función olomorfa en una superficie estrechamente vinculada conocida como Riemann superficial.

Todo el esto refiere a análisis complejo en una variable. Hay también una teoría muy rica del análisis complejo en más de una dimensión compleja donde las características analíticas tales como extensión de serie de energía todavía siguen siendo verdades mientras que la mayor parte de las características geométricas de funciones olomorfas en una dimensión compleja (tal como conformalidad ) son no más verdades. El Riemann que traza el teorema sobre la relación conformal de ciertos dominios en el plano complejo, que puede ser el resultado más importante de la teoría unidimensional, falla dramáticamente en dimensiones más altas.

También se aplica en muchos temas a través de la ingeniería, particularmente en la ingeniería de energía .

Ver también

varias variables complejas
Teorema de Runge
Lista de los asuntos complejos del análisis
Análisis verdadero

.

Zenithic

Robert Schneider

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