Un análisis del multiresolution del (MRA) o la aproximación del multiscale del (MSA) es el método de diseño la mayor parte de prácticamente relevante que la olita discreta transforma (DWT) y la justificación para el algoritmo de la olita rápida transforma (FWT). Fue introducida en este contexto en 1988/89 por el Stephane Mallat y el Yves Meyer y tiene precursores en el análisis de Microlocal en la teoría de las ecuaciones diferenciales (el método que plancha ) y de los métodos de la pirámide del tratamiento de la imagen según lo introducido en 1981/83 por Peter J. Adelson y James Crowley.

Definición

Un análisis del multiresolution del del espacio $L^2\; (\backslash \; mathbb\; \{R\})$ consiste en una secuencia de los subespacios jerarquizados

$\backslash \; punto\; \backslash \; subconjunto\; V\_0\; \backslash \; subconjunto\; V\_1\; \backslash \; subconjunto\; \backslash \; punto\; \backslash \; subconjunto\; V\_n\; \backslash \; subconjunto\; V\_\; \{n+1\}\; \backslash \; subconjunto\; \backslash \; puntos\; \backslash \; subconjunto\; L^2\; (\backslash \; R)$

eso satisface cierto a tiempo/espacio y escala/frecuencia de las relaciones de la uno mismo-semejanza, así como lo completo y las relaciones de la regularidad.
la Uno mismo-semejanza del

en el tiempo del exige que cada V_k del subespacio sea invariante bajo cambios por los múltiplos del número entero 2^-k . Es decir, para cada $f\; \backslash \; en,\; \backslash ;\; de\; V\_k\; m\; \backslash \; en\; \backslash \; mathbb\; Z$ allí es un $g\; \backslash \; en\; V\_k$ con el $\backslash \; el\; forall\; x\; \backslash \; en\; \backslash \; mathbb\; R:\backslash ;\; f\; (x)=g\; (x+m2^\; \{-\; k\})$.
la Uno mismo-semejanza del en la escala del exige que todo el

regularidad exige que modelo subespacio V₀ sea generado como el casco linear ( algebraico o aún topológico cerrado) de los cambios del número entero de uno o de un número finito de, $\backslash \; phi$ de las funciones de generación o $\backslash \; phi\_1\; \backslash \; puntea,\; \backslash \; phi\_r$. Esos cambios del número entero deben por lo menos formar un marco para el subespacio $V\_0\; \backslash \; subconjunto\; L^2\; (\backslash \; R)$, que impone ciertas condiciones ante el decaimiento en el infinito. Las funciones de generación también se saben como las funciones del escalamiento del o las olitas del padre del . En la mayoría de los casos uno exige de esas funciones ser el por trozos continuo con la ayuda del acuerdo.
lo completo del

exige que ésos los subespacios jerarquizados llenen el espacio entero, es decir, su unión debe ser el denso en $L^2\; (\backslash \; mathbb\; \{R\})$, y que no son demasiado redundantes, es decir, su intersección deben contener solamente el elemento cero.

Conclusiones importantes

En el caso de un continuo (o por lo menos con la variación limitada) compacto apoyado escalando la función con los cambios ortogonales, uno puede hacer un número de deducciones. La prueba de la existencia de esta clase de funciones es debido al Ingrid Daubechies .

Allí es, debido a $V\_0\; \backslash \; subconjunto\; V\_1$, finito secuencia de coeficiente $a\_k=2\; \backslash \; langle\; \backslash \; phi\; (x),\; \backslash \; phi\; (2x-k)\; \backslash \; rangle$, para el $|k|\backslash \; leq\; N$ y $a\_k=0$ para el $|k|>N$, tal que $del\; \backslash \; phi\; (a\_k\; del\; ^N\; del\; x)=\; \backslash \; del\; sum\_\; \{k=-N\}\; \backslash \; phi\; (2x-k).$

Definiendo otra función, conocida como la olita de la madre del o apenas la olita $\backslash \; PSI\; del$

l (x): = \ sum_ {k=-N} ^N (- ^k de 1) a_ {1-k} \ phi (2x-k),

uno puede ver que el espacio $W\_0\; \backslash \; el\; subconjunto\; V\_1$, se define que mientras que el casco linear del número entero de las olitas de la madre cambia de puesto, es el complemento ortogonal a $V\_0$ dentro de $V\_1$. O puesto diferentemente, $V\_1$ es la suma ortogonal de $W\_0$ y de $V\_0$. Por uno mismo-semejanza, hay las versiones escaladas $W\_k$ de $W\_0$ y por lo completo uno tiene

$L^2\; (\backslash \; mathbb\; R)=\; \backslash \; mbox\; \{encierro\; del\}\; \backslash \; bigoplus\_\; \{k\; \backslash \; en\; \backslash \; Z\}\; W\_k,$

así el sistema $del$

l \ {\ psi_ {k, n} (x)= \ sqrt2^k \ PSI (2^kx-n): \; k, n \ en \ Z \}

es una base ortonormal de la olita completo contable en $L^2\; (\backslash \; R)$.

Ver también

Multiscale que modela
Espacio de la escala

.

Zenithic

Homenaje

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