El análisis funcional es la rama de las matemáticas, y específicamente del análisis, tratado al estudio de los espacios de vector y de los operadores que actúan sobre ellos. Tiene sus raíces históricas en el estudio de las transformaciones funcionales de los espacios particularmente de las funciones, tal como el Fourier transforma, así como en el estudio del diferencial y de las ecuaciones integrales . Este uso funcional del de la palabra vuelve al cálculo de las variaciones, implicando una función cuya discusión sea una función. Su uso en general se ha atribuido al matemático y el Vito Volterra y su fundación del físico se atribuye en gran parte al Stefan Banach del matemático.

Espacios de vector de Normed

En la visión moderna, el análisis funcional se considera como el estudio de los espacios de vector completos de Normed sobre el los números complejos verdaderos de o . Tales espacios se llaman los espacios de Banach que un ejemplo importante es un espacio de Hilbert, donde la norma se presenta de un producto interno . Estos espacios son de importancia fundamental en muchas áreas, incluyendo la formulación matemática de los mecánicos de Quantum . Más generalmente, el análisis funcional incluye el estudio de los espacios de Fréchet y de otros espacios de vector topológicos no dotados con una norma.

Un objeto importante del estudio en el análisis funcional es los operadores lineares continuo definido en Banach y los espacios de Hilbert. Éstos llevan naturalmente a la definición C*-algebras y de otras álgebra del operador

Los espacios de Hilbert

Los espacios de Hilbert pueden ser clasificados totalmente: hay un espacio de Hilbert único hasta el isomorfismo para cada cardinalidad de la base. Puesto que los espacios de Hilbert finito-dimensionales se entienden completamente en la álgebra linear, y puesto que el Morphisms de los espacios de Hilbert se puede dividir siempre en morphisms de espacios con dimensionalidad Aleph-nula (ℵ₀), el análisis funcional de los espacios de Hilbert trata sobre todo del espacio de Hilbert único de la dimensionalidad Aleph-nulo, y de sus morphisms. Uno de los problemas abiertos en análisis funcional es probar que cada operador en un espacio de Hilbert tiene un subespacio invariante apropiado. Muchos casos especiales se han probado ya.

Espacios de Banach

Los espacios de Banach generales son más complicados. No hay definición clara de qué constituiría una base, por ejemplo.

Para cualquier ≥ 1 del p del número verdadero, un ejemplo de un espacio de Banach es dado por el " todo el cuyo p de s del valor absoluto funciones Lebesgue-mensurable '- la energía del th tiene integral" finito; (véase los espacios de de L ^{'' p '').}

En los espacios de Banach, una parte grande del estudio implica el espacio dual : el espacio de todos los functionals lineares continuos . El dual del dual no es siempre isomorfo al espacio original, pero hay un monomorfismo natural de un espacio en su dual se dobla siempre. Esto se explica en el artículo del espacio dual .

También, la noción del derivado se puede ampliar a las funciones arbitrarias entre los espacios de Banach. Ver, por ejemplo, el artículo derivado de Fréchet .

Resultados importantes y fundacionales

Los resultados importantes del análisis funcional incluyen:
El principio del boundedness del uniforme (también conocido como teorema de Banach-Steinhaus) se aplica a los sistemas de operadores con los límites apretados.
Uno de los teoremas espectrales (hay de hecho más de uno) da una fórmula integral para los operadores normales en un espacio de Hilbert. Este teorema es de importancia central para la formulación matemática de los mecánicos de Quantum .
El teorema de Hahn-Banach amplía functionals de un subespacio al espacio completo, en una manera norma-que preserva. Una implicación es la no-trivialidad de espacios duales.
El teorema de trazado abierto y el cerraron el teorema del gráfico.

El considera también : Lista de los asuntos del análisis funcional.

Fundaciones de las consideraciones de las matemáticas

La mayoría de los espacios considerados en análisis funcional tienen dimensión infinita. Para demostrar la existencia de una base del espacio de vector para tales espacios puede requerir el lema de Zorn. Muchos teoremas muy importantes requieren el teorema de Hahn-Banach, probado generalmente usar el axioma de la opción, aunque el teorema ideal primero boleano de un terminantemente más débil sea suficiente.

Puntos de vista

El análisis funcional en su forma del presente incluye las tendencias siguientes:
Análisis suave del . Un acercamiento al análisis basado en los anillos topológicos topológico de los grupos y los espacios de vector topológicos
Geometría del de los espacios de Banach '. Un acercamiento combinatorio sobre todo debido al Jean Bourgain ;
no conmutativo de la geometría de . Convertido por el Alain Connes, empleando en parte nociones anteriores, tales como acercamiento de s de Mackey George 'a la teoría ergódica ;
Conexión de con el de los mecánicos de Quantum . Definido estrecho como en la física matemática, o interpretado amplio cerca, e. Israel Gelfand, para incluir la mayoría de los tipos de la teoría de la representación.

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