El análisis numérico es el estudio de los algoritmos para los problemas de las matemáticas continuas del (según lo distinguido de las matemáticas discretas ).
Una de las escrituras matemáticas más tempranas es la tableta babilónica YBC 7289, que da a sexagesimal aproximación numérica del \ raíz cuadrada {2} , la longitud de la diagonal en un cuadrado de la unidad. El poder computar los lados de un triángulo (y por lo tanto, pudiendo computar raíces cuadradas) es extremadamente importante, por ejemplo, en carpintería y la construcción. En cuadrado pared sección que es dos metros al lado de dos metros, diagonal viga tiene que ser \ raíz cuadrado {8} \ metros aproximadamente 2. El análisis numérico continúa esta larga tradición de cálculos matemáticos prácticos. Como la aproximación babilónica al \ raíz cuadrada {2} , el análisis numérico moderno no busca respuestas exactas, porque las respuestas exactas son imposibles de obtener en la práctica. En lugar, mucho de análisis numérico se refiere a obtener soluciones aproximadas mientras que mantiene los límites razonables en errores. El análisis numérico encuentra naturalmente usos en todos los campos de la ingeniería y de las ciencias físicas, pero en el siglo XXI, las ciencias de la vida e incluso los artes han adoptado los elementos de cómputos científicos. Las ecuaciones diferenciales ordinarias aparecen en el movimiento de los cuerpos divinos (planetas, estrellas y galaxias); la optimización ocurre en la gerencia de lista; La álgebra linear numérica es esencial para la psicología cuantitativa; Las ecuaciones diferenciales estocásticas y las cadenas de Markov son esenciales en la simulación de las células vivas para la medicina y la biología. Antes de que el advenimiento de los métodos numéricos de las computadoras modernas dependiera a menudo de la interpolación de la mano en tablas impresas grandes. (Después de mediados de vigésimo siglo) estas tablas han caído hoy en día en dejar de usar, porque las computadoras pueden calcular las funciones required. Los algoritmos de la interpolación sin embargo se pueden utilizar como parte del software para solucionar las ecuaciones diferenciales y similares. Introducción general Ahora contornearemos varios temas importantes del análisis numérico. La meta total es el diseño y el análisis de las técnicas para dar soluciones aproximadas a los problemas duros. Para fijar ideas, el lector pudo considerar los problemas y los métodos siguientes: si una compañía quiere poner un anuncio publicitario de la crema dental en la televisión, puede ser que produzca cinco anuncios publicitarios y después elija el mejor probando cada uno en un grupo principal. Éste sería un ejemplo de un método de la optimización de Monte Carlo. Para enviar un cohete a la luna, los científicos del cohete necesitarán un simulador del cohete. Este simulador esencialmente será un integrador para una ecuación diferencial ordinaria . Las compañías de coche pueden mejorar la resistencia del choque de sus vehículos usando simulaciones de computadora de choques de coche. Estas simulaciones esencialmente están solucionando las ecuaciones diferenciales parciales numéricamente. Herramientas del uso de los fondos de cobertura (fondos de la inversión privada) de todos los campos del análisis numérico para calcular el valor de la acción y de derivados más exacto que otros participantes del mercado. Las líneas aéreas utilizan algoritmos de optimización sofisticados para decidir a precios del boleto, las asignaciones del aeroplano y del equipo y las necesidades del combustible. Este campo también se llama la investigación de operaciones . Las compañías de seguros utilizan los programas numéricos para el análisis actuarial . Historia El campo del análisis numérico precede la invención de computadoras modernas por muchos siglos. La interpolación linear era ya hace más de 2000 años funcionando. Análisis numérico preocuparon a muchos grandes matemáticos del pasado, al igual que obvio de los nombres de algoritmos importantes como el método de Newton, la interpolación de Lagrange polinómico, la eliminación gausiana, o el método de Euler. Para facilitar cómputos a mano, los libros grandes fueron producidos con fórmulas y tablas de datos tales como puntos de la interpolación y coeficientes de función. Usar estas tablas, calculadas a menudo hacia fuera a 16 lugares decimales o más para algunas funciones, una podía mirar para arriba valores para tapar en las fórmulas dadas y para alcanzar estimaciones numéricas muy buenas de algunas funciones. El trabajo canónico en el campo es la publicación del NIST corregida por el Abramowitz y Stegun, un libro más de la página 1000 de un número muy grande de fórmulas de uso general y las funciones y sus valores en muchos puntos. Los valores de la función son no más muy útiles cuando una computadora está disponible, pero el listado grande de fórmulas puede todavía ser muy práctico. La calculadora mecánica también fue desarrollada como herramienta para el cómputo de la mano. Estas calculadoras desarrolladas en las computadoras electrónicas en los años 40, y entonces fueron encontrados que estas computadoras eran también útiles para los propósitos administrativos. Pero la invención de la computadora también ahora influenció el campo del análisis numérico, desde más largo y cálculos más complicados podrían ser hechos. Métodos directos e iterativos Discretización e integración numérica En una raza de dos horas, hemos medido la velocidad del coche en tres instantes y los hemos registrado en la tabla siguiente. 1:40 del 1:00 del 0:20 del tiempo kilómetro por hora 140 150 180 Una discretización sería decir que la velocidad del coche era constante de 0:00 al 0:40, entonces del 0:40 al 1:20 y finalmente del 1:20 al 2:00. Por ejemplo, la distancia total viajó en los primeros 40 minutos es aproximadamente (2/3h x 140 kilómetros por hora) =93. Esto permitiría que estimáramos la distancia total viajó como 93.3 kilómetro + 100 kilómetro + 120 kilómetro = 313.3 kilómetros, que es un ejemplo de la integración numérica (véase abajo) usar una suma de Riemann, porque la dislocación es el integral de velocidad. Problema planteado enfermo : Tomar el f ( x ) = 1 de la función ( del x ; − 1).001) = 1000: un cambio en el x de menos de 0.1 vueltas en un cambio en el f ( x ) de casi 1000. El de evaluación f ( x ) cerca del x = 1 es un problema ill-conditioned. el Bien-presentó el problema : Por el contrario, el f de la función (el x)= \ raíz cuadrada {x} es continuo y así que bien-se presenta la evaluación de él. |} Los métodos directos computan la solución a un problema en un número finito de pasos. Estos métodos darían la respuesta exacta si fueron realizados en la precisión infinita aritmético. Los ejemplos incluyen la eliminación gausiana, el método de la facturización QR para solucionar sistemas de las ecuaciones lineares, y del método a una cara de la programación linear . En la práctica, se utiliza la precisión finita y el resultado es una aproximación de la solución verdadera (estabilidad asumida ). En contraste con métodos directos, no se espera que los métodos iterativos terminen en un número de pasos. A partir de una conjetura inicial, los métodos iterativos forman aproximaciones sucesivas que el converge a la solución exacta solamente en el límite. Un criterio de convergencia se especifica para decidir a cuando se ha encontrado una solución suficientemente exacta (esperanzadamente). Incluso en aritmética infinita de la precisión estos métodos no alcanzarían la solución en finito muchos pasos (en general. Los ejemplos incluyen el método de Newton, el método de la bisección, y la iteración de Jacobi. En álgebra de matriz de cómputo, los métodos iterativos son generalmente necesarios para los problemas grandes. Los métodos iterativos son mas comunes que métodos directos en análisis numérico. Algunos métodos son directos en principio pero son generalmente como si no eran, e. el usado GMRES y el método de gradiente conyugal . Para estos métodos el número de pasos necesarios para obtener la solución exacta es tan grande que una aproximación está aceptada de manera semejante en cuanto a un método iterativo. Discretización Además, los problemas continuos se deben substituir a veces por un problema discreto cuya solución se sepa para aproximar el del problema continuo; este proceso se llama la discretización del . Por ejemplo, la solución de una ecuación diferencial es una función. Esta función se debe representar por una cantidad finita de datos, por ejemplo por su valor en un número finito de puntos en su dominio, aunque este dominio es una serie continua. La generación y la propagación de errores El estudio de errores crea a partes importantes de análisis numérico. Hay varias maneras de las cuales el error se puede introducir en la solución del problema. Round-off Los errores Round-off se presentan porque es imposible representar todos los números verdaderos exactamente en una máquina Finite-state (que sea cuáles son todas las calculadoras numéricas práctico). Truncamiento y error de la discretización Se cometen los errores del truncamiento cuando se termina un método iterativo y la solución aproximada diferencia de la solución exacta. Semejantemente, la discretización induce un error de la discretización porque la solución del problema discreto no coincide con la solución del problema continuo. Por ejemplo, en la iteración en la barra lateral para computar la solución de 3x^3+4=28, después de 10 o tan de iteraciones, concluimos que la raíz es áspero 1. Por lo tanto tenemos un error de truncamiento de 0. Una vez que se genera un error, propagará generalmente con el cálculo. Por ejemplo, hemos observado ya que la operación + en una calculadora (o una computadora) es inexacta. Sigue que un cálculo del tipo a+b+c+d+e es aún más inexacto. Estabilidad numérica y posedness bien Esto lleva a la noción de la estabilidad numérica : un algoritmo es numéricamente estable si un error, una vez que se genera, no crece demasiado durante el cálculo. Esto es solamente posible si el problema es bien-condicionado, significando que la solución cambia por solamente una pequeña cantidad si los datos de problema son cambiados por una pequeña cantidad. De hecho, si un problema es ill-conditioned, después cualquier error en los datos crecerá mucho. Sin embargo, un algoritmo que soluciona un problema los mayo o mayo bien-condicionados para no ser numéricamente estable. Un arte del análisis numérico es encontrar un algoritmo estable para solucionar un problema matemático bien-presentado. Por ejemplo, la computación de la raíz cuadrada de 2 (que es áspero 1.41421) es un problema bien-presentado. Muchos algoritmos solucionan este problema comenzando con un inicial x 1 de la aproximación al \ raíz cuadrada {2} , por ejemplo el x 1=1.4, y el mejorado entonces computacional x 2 de las conjeturas, el x 3, etc…. Un tal método es el método babilónico famoso, que es dado por el k del del x +1 = el xk /2 + 1 xk . Otra iteración, que llamaremos el método X, es dada por el k del del x + 1 = (el k 2&minus del del x ; 2)2 + k del del x . Hemos calculado algunas iteraciones de cada esquema en forma de la tabla abajo, con el inicial x de las conjeturas 1 = 1.4 y el x 1 = 1. Campos de estudio El campo del análisis numérico se divide en diversas disciplinas según el problema que debe ser solucionado. Valores de funciones computacionales Interpolación, extrapolación y regresión La interpolación soluciona el problema siguiente: ¿dado el valor de una cierta función desconocida en un número de puntos, qué valor esa función tiene en un cierto otro punto entre los puntos dados? Un método muy simple es utilizar la interpolación linear, que asume que la función desconocida es linear entre cada par de puntos sucesivos. Esto se puede generalizar a la interpolación polinómica, que es a veces más exacta pero sufre del fenómeno de Runge. El otro uso de los métodos de la interpolación localizado funciona como las tiras o las olitas La extrapolación es muy similar a la interpolación, salvo que ahora queremos encontrar el valor de la función desconocida en un punto que sea exterior los puntos dados. La regresión es también similar, pero considera que los datos son imprecisos. Dado algunos puntos, y una medida del valor de una cierta función en estos puntos (con un error), queremos determinar la función desconocida. Los m3inimos cuadr3aticos - el método es una manera popular de alcanzar esto. Solucionar ecuaciones y sistemas de ecuaciones Otro problema fundamental está computando la solución de una cierta ecuación dada. Dos casos son comúnmente distinguidos, dependiendo de si la ecuación es linear o no. Por ejemplo, la ecuación 2x+5=3 es linear mientras que no es 2x^2+5=3. Mucho esfuerzo se ha puesto en el desarrollo de los métodos para solucionar los sistemas de ecuaciones lineares. Los métodos directos de los métodos del estándar es decir que utilizan una cierta descomposición de la matriz son la eliminación gausiana, la descomposición del LU, la descomposición de Cholesky para el simétrico (o el hermitiano) y la matriz Positivo-definida, y la descomposición QR para las matrices del no-cuadrado. Los métodos iterativos tal como el método de Jacobi, método del Gauss-Seidel, sobre-relajación sucesiva y método de gradiente conyugal son generalmente preferred para los sistemas grandes. Los algoritmos de la búsqueda del radical se utilizan para solucionar las ecuaciones no lineares (son así que nombrado puesto que una raíz de una función es una discusión para la cual la función rinde cero). Si la función es el diferenciable y se sabe el derivado, después el método de Newton es una opción popular. La linearización es otra técnica para solucionar ecuaciones no lineares. Solucionar problemas del valor propio o del valor singular Varios problemas importantes se pueden expresar en términos de descomposiciones del valor propio o las descomposiciones del valor singular por ejemplo, el algoritmo espectral de la compresión de imagen se basan en la descomposición del valor singular. La herramienta correspondiente en estadísticas se llama el análisis componente principal . Un uso es encontrar automáticamente los 100 temas superiores de la discusión sobre la tela, y después clasificar cada Web page según qué tema pertenece. Optimización considera también: la optimización (matemáticas) Los problemas de la optimización piden el punto en el cual se maximiza una función dada (o reducido al mínimo). A menudo, el punto también tiene que satisfacer algunos apremios El campo de la optimización está partido más a fondo en varios subcampos, dependiendo de la forma de la función objetiva y del constreñimiento. Por ejemplo, la programación linear trata del caso que la función objetiva y los apremios son lineares. Un método famoso en la programación linear es el método a una cara . El método de los multiplicadores de Lagrange se puede utilizar para reducir problemas de la optimización con apremios a los problemas de optimización libres. Integrales de evaluación considera también: numérico de la integración La integración numérica, a veces también conocida como cuadratura numérica, pide el valor de un definido integral. Los métodos populares utilizan uno de las fórmulas de los Newton-Corrales (como la regla de punto mediano o la regla de Simpson) o de la cuadratura gausiana . Estos métodos confían en un " divisoria y conquer" estrategia, por el que un integral en un sistema relativamente grande esté analizado en integrales en sistemas más pequeños. En dimensiones más altas, donde estos métodos llegan a ser prohibitivo costosos en términos de esfuerzo de cómputo, uno puede utilizar el Monte Carlo o los métodos de Quasi-Monte Carlos (véase la integración de Monte Carlo), o, en dimensiones modesto grandes, el método de las rejillas escasas Ecuaciones diferenciales artículos principales del del de : Ecuaciones diferenciales ordinarias numéricas, ecuaciones diferenciales parciales numéricas . El análisis numérico también se refiere a computar (de una manera aproximada) la solución de las ecuaciones diferenciales ambas ecuaciones diferenciales ordinarias y las ecuaciones diferenciales parciales Las ecuaciones diferenciales parciales son solucionadas primero individualizando la ecuación, trayéndolo en un subespacio finito-dimensional. Esto se puede hacer por un método de elemento finito, un método de la diferencia finita, o (particularmente en la ingeniería) un método finito del volumen. La justificación teórica de estos métodos implica a menudo teoremas del análisis funcional . Esto reduce el problema a la solución de una ecuación algebraica. Software considera también: Lista de l software de análisis numérico Desde el último vigésimo siglo, se ejecutan la mayoría de los algoritmos y funcionamiento en una computadora. El depósito de Netlib contiene varias colecciones de rutinas del software para los problemas numéricos, sobre todo en FORTRAN y C . Los productos comerciales que ejecutan muchos diversos algoritmos numéricos incluyen el IMSL y bibliotecas de la QUEJA ; una alternativa libre es la biblioteca científica del GNU. El MATLAB es un lenguaje de programación comercial popular para los cálculos científicos numéricos, pero hay alternativas comerciales tales como S-PLUS y IDL, o alternativo semi-libre Scilab así como alternativas de la fuente libre y abierta tales como FreeMat, octava del GNU (similar a Matlab), IT++ (biblioteca del A. ++), R (similar a S-PLUS) y ciertas variantes del pitón . El funcionamiento varía extensamente: mientras que las operaciones del vector y de la matriz son generalmente rápidas, los lazos escalares varían en velocidad por más que una orden de la magnitud. Muchos sistemas de la álgebra de la computadora tal como Mathematica o arce (sistemas del software libre incluyen el SABIO, los máximos, el axioma, y el Yacas ), se pueden también utilizar para los cómputos numéricos. Sin embargo, su fuerza miente típicamente en cómputos simbólicos. También, cualquier software de la hoja de balance se puede utilizar para solucionar problemas simples referente a análisis numérico. Ver también computacional científico del Lista de los asuntos del análisis numérico Gramo-Schmidt de proceso Problema que para Diferenciación numérica . ZenithicStuffy StewartRandom links:Rudolf Ewald Stier | Stavanger Aftenblad | Roy Cochran | Cenador del resorte, Michigan (CDP) | Ártico de USNS (T-AOE-8)
El análisis numérico continúa esta larga tradición de cálculos matemáticos prácticos. Como la aproximación babilónica al \ raíz cuadrada {2} , el análisis numérico moderno no busca respuestas exactas, porque las respuestas exactas son imposibles de obtener en la práctica. En lugar, mucho de análisis numérico se refiere a obtener soluciones aproximadas mientras que mantiene los límites razonables en errores.
El análisis numérico encuentra naturalmente usos en todos los campos de la ingeniería y de las ciencias físicas, pero en el siglo XXI, las ciencias de la vida e incluso los artes han adoptado los elementos de cómputos científicos. Las ecuaciones diferenciales ordinarias aparecen en el movimiento de los cuerpos divinos (planetas, estrellas y galaxias); la optimización ocurre en la gerencia de lista; La álgebra linear numérica es esencial para la psicología cuantitativa; Las ecuaciones diferenciales estocásticas y las cadenas de Markov son esenciales en la simulación de las células vivas para la medicina y la biología.
Antes de que el advenimiento de los métodos numéricos de las computadoras modernas dependiera a menudo de la interpolación de la mano en tablas impresas grandes. (Después de mediados de vigésimo siglo) estas tablas han caído hoy en día en dejar de usar, porque las computadoras pueden calcular las funciones required. Los algoritmos de la interpolación sin embargo se pueden utilizar como parte del software para solucionar las ecuaciones diferenciales y similares.
si una compañía quiere poner un anuncio publicitario de la crema dental en la televisión, puede ser que produzca cinco anuncios publicitarios y después elija el mejor probando cada uno en un grupo principal. Éste sería un ejemplo de un método de la optimización de Monte Carlo. Para enviar un cohete a la luna, los científicos del cohete necesitarán un simulador del cohete. Este simulador esencialmente será un integrador para una ecuación diferencial ordinaria . Las compañías de coche pueden mejorar la resistencia del choque de sus vehículos usando simulaciones de computadora de choques de coche. Estas simulaciones esencialmente están solucionando las ecuaciones diferenciales parciales numéricamente. Herramientas del uso de los fondos de cobertura (fondos de la inversión privada) de todos los campos del análisis numérico para calcular el valor de la acción y de derivados más exacto que otros participantes del mercado. Las líneas aéreas utilizan algoritmos de optimización sofisticados para decidir a precios del boleto, las asignaciones del aeroplano y del equipo y las necesidades del combustible. Este campo también se llama la investigación de operaciones . Las compañías de seguros utilizan los programas numéricos para el análisis actuarial .
El campo del análisis numérico precede la invención de computadoras modernas por muchos siglos. La interpolación linear era ya hace más de 2000 años funcionando. Análisis numérico preocuparon a muchos grandes matemáticos del pasado, al igual que obvio de los nombres de algoritmos importantes como el método de Newton, la interpolación de Lagrange polinómico, la eliminación gausiana, o el método de Euler.
Para facilitar cómputos a mano, los libros grandes fueron producidos con fórmulas y tablas de datos tales como puntos de la interpolación y coeficientes de función. Usar estas tablas, calculadas a menudo hacia fuera a 16 lugares decimales o más para algunas funciones, una podía mirar para arriba valores para tapar en las fórmulas dadas y para alcanzar estimaciones numéricas muy buenas de algunas funciones. El trabajo canónico en el campo es la publicación del NIST corregida por el Abramowitz y Stegun, un libro más de la página 1000 de un número muy grande de fórmulas de uso general y las funciones y sus valores en muchos puntos. Los valores de la función son no más muy útiles cuando una computadora está disponible, pero el listado grande de fórmulas puede todavía ser muy práctico.
La calculadora mecánica también fue desarrollada como herramienta para el cómputo de la mano. Estas calculadoras desarrolladas en las computadoras electrónicas en los años 40, y entonces fueron encontrados que estas computadoras eran también útiles para los propósitos administrativos. Pero la invención de la computadora también ahora influenció el campo del análisis numérico, desde más largo y cálculos más complicados podrían ser hechos.
En una raza de dos horas, hemos medido la velocidad del coche en tres instantes y los hemos registrado en la tabla siguiente.
1:40 del 1:00 del 0:20 del tiempo kilómetro por hora 140 150 180
Una discretización sería decir que la velocidad del coche era constante de 0:00 al 0:40, entonces del 0:40 al 1:20 y finalmente del 1:20 al 2:00. Por ejemplo, la distancia total viajó en los primeros 40 minutos es aproximadamente (2/3h x 140 kilómetros por hora) =93. Esto permitiría que estimáramos la distancia total viajó como 93.3 kilómetro + 100 kilómetro + 120 kilómetro = 313.3 kilómetros, que es un ejemplo de la integración numérica (véase abajo) usar una suma de Riemann, porque la dislocación es el integral de velocidad.
Problema planteado enfermo : Tomar el f ( x ) = 1 de la función ( del x ; − 1).001) = 1000: un cambio en el x de menos de 0.1 vueltas en un cambio en el f ( x ) de casi 1000. El de evaluación f ( x ) cerca del x = 1 es un problema ill-conditioned.
el Bien-presentó el problema : Por el contrario, el f de la función (el x)= \ raíz cuadrada {x} es continuo y así que bien-se presenta la evaluación de él. |}
Los métodos directos computan la solución a un problema en un número finito de pasos. Estos métodos darían la respuesta exacta si fueron realizados en la precisión infinita aritmético. Los ejemplos incluyen la eliminación gausiana, el método de la facturización QR para solucionar sistemas de las ecuaciones lineares, y del método a una cara de la programación linear . En la práctica, se utiliza la precisión finita y el resultado es una aproximación de la solución verdadera (estabilidad asumida ).
En contraste con métodos directos, no se espera que los métodos iterativos terminen en un número de pasos. A partir de una conjetura inicial, los métodos iterativos forman aproximaciones sucesivas que el converge a la solución exacta solamente en el límite. Un criterio de convergencia se especifica para decidir a cuando se ha encontrado una solución suficientemente exacta (esperanzadamente). Incluso en aritmética infinita de la precisión estos métodos no alcanzarían la solución en finito muchos pasos (en general. Los ejemplos incluyen el método de Newton, el método de la bisección, y la iteración de Jacobi. En álgebra de matriz de cómputo, los métodos iterativos son generalmente necesarios para los problemas grandes.
Los métodos iterativos son mas comunes que métodos directos en análisis numérico. Algunos métodos son directos en principio pero son generalmente como si no eran, e. el usado GMRES y el método de gradiente conyugal . Para estos métodos el número de pasos necesarios para obtener la solución exacta es tan grande que una aproximación está aceptada de manera semejante en cuanto a un método iterativo.
Además, los problemas continuos se deben substituir a veces por un problema discreto cuya solución se sepa para aproximar el del problema continuo; este proceso se llama la discretización del . Por ejemplo, la solución de una ecuación diferencial es una función. Esta función se debe representar por una cantidad finita de datos, por ejemplo por su valor en un número finito de puntos en su dominio, aunque este dominio es una serie continua.
El estudio de errores crea a partes importantes de análisis numérico. Hay varias maneras de las cuales el error se puede introducir en la solución del problema.
Los errores Round-off se presentan porque es imposible representar todos los números verdaderos exactamente en una máquina Finite-state (que sea cuáles son todas las calculadoras numéricas práctico).
Se cometen los errores del truncamiento cuando se termina un método iterativo y la solución aproximada diferencia de la solución exacta. Semejantemente, la discretización induce un error de la discretización porque la solución del problema discreto no coincide con la solución del problema continuo. Por ejemplo, en la iteración en la barra lateral para computar la solución de 3x^3+4=28, después de 10 o tan de iteraciones, concluimos que la raíz es áspero 1. Por lo tanto tenemos un error de truncamiento de 0.
Una vez que se genera un error, propagará generalmente con el cálculo. Por ejemplo, hemos observado ya que la operación + en una calculadora (o una computadora) es inexacta. Sigue que un cálculo del tipo a+b+c+d+e es aún más inexacto.
Esto lleva a la noción de la estabilidad numérica : un algoritmo es numéricamente estable si un error, una vez que se genera, no crece demasiado durante el cálculo. Esto es solamente posible si el problema es bien-condicionado, significando que la solución cambia por solamente una pequeña cantidad si los datos de problema son cambiados por una pequeña cantidad. De hecho, si un problema es ill-conditioned, después cualquier error en los datos crecerá mucho.
Sin embargo, un algoritmo que soluciona un problema los mayo o mayo bien-condicionados para no ser numéricamente estable. Un arte del análisis numérico es encontrar un algoritmo estable para solucionar un problema matemático bien-presentado. Por ejemplo, la computación de la raíz cuadrada de 2 (que es áspero 1.41421) es un problema bien-presentado. Muchos algoritmos solucionan este problema comenzando con un inicial x 1 de la aproximación al \ raíz cuadrada {2} , por ejemplo el x 1=1.4, y el mejorado entonces computacional x 2 de las conjeturas, el x 3, etc…. Un tal método es el método babilónico famoso, que es dado por el k del del x +1 = el xk /2 + 1 xk . Otra iteración, que llamaremos el método X, es dada por el k del del x + 1 = (el k 2&minus del del x ; 2)2 + k del del x . Hemos calculado algunas iteraciones de cada esquema en forma de la tabla abajo, con el inicial x de las conjeturas 1 = 1.4 y el x 1 = 1. Campos de estudio El campo del análisis numérico se divide en diversas disciplinas según el problema que debe ser solucionado. Valores de funciones computacionales Interpolación, extrapolación y regresión La interpolación soluciona el problema siguiente: ¿dado el valor de una cierta función desconocida en un número de puntos, qué valor esa función tiene en un cierto otro punto entre los puntos dados? Un método muy simple es utilizar la interpolación linear, que asume que la función desconocida es linear entre cada par de puntos sucesivos. Esto se puede generalizar a la interpolación polinómica, que es a veces más exacta pero sufre del fenómeno de Runge. El otro uso de los métodos de la interpolación localizado funciona como las tiras o las olitas La extrapolación es muy similar a la interpolación, salvo que ahora queremos encontrar el valor de la función desconocida en un punto que sea exterior los puntos dados. La regresión es también similar, pero considera que los datos son imprecisos. Dado algunos puntos, y una medida del valor de una cierta función en estos puntos (con un error), queremos determinar la función desconocida. Los m3inimos cuadr3aticos - el método es una manera popular de alcanzar esto. Solucionar ecuaciones y sistemas de ecuaciones Otro problema fundamental está computando la solución de una cierta ecuación dada. Dos casos son comúnmente distinguidos, dependiendo de si la ecuación es linear o no. Por ejemplo, la ecuación 2x+5=3 es linear mientras que no es 2x^2+5=3. Mucho esfuerzo se ha puesto en el desarrollo de los métodos para solucionar los sistemas de ecuaciones lineares. Los métodos directos de los métodos del estándar es decir que utilizan una cierta descomposición de la matriz son la eliminación gausiana, la descomposición del LU, la descomposición de Cholesky para el simétrico (o el hermitiano) y la matriz Positivo-definida, y la descomposición QR para las matrices del no-cuadrado. Los métodos iterativos tal como el método de Jacobi, método del Gauss-Seidel, sobre-relajación sucesiva y método de gradiente conyugal son generalmente preferred para los sistemas grandes. Los algoritmos de la búsqueda del radical se utilizan para solucionar las ecuaciones no lineares (son así que nombrado puesto que una raíz de una función es una discusión para la cual la función rinde cero). Si la función es el diferenciable y se sabe el derivado, después el método de Newton es una opción popular. La linearización es otra técnica para solucionar ecuaciones no lineares. Solucionar problemas del valor propio o del valor singular Varios problemas importantes se pueden expresar en términos de descomposiciones del valor propio o las descomposiciones del valor singular por ejemplo, el algoritmo espectral de la compresión de imagen se basan en la descomposición del valor singular. La herramienta correspondiente en estadísticas se llama el análisis componente principal . Un uso es encontrar automáticamente los 100 temas superiores de la discusión sobre la tela, y después clasificar cada Web page según qué tema pertenece. Optimización considera también: la optimización (matemáticas) Los problemas de la optimización piden el punto en el cual se maximiza una función dada (o reducido al mínimo). A menudo, el punto también tiene que satisfacer algunos apremios El campo de la optimización está partido más a fondo en varios subcampos, dependiendo de la forma de la función objetiva y del constreñimiento. Por ejemplo, la programación linear trata del caso que la función objetiva y los apremios son lineares. Un método famoso en la programación linear es el método a una cara . El método de los multiplicadores de Lagrange se puede utilizar para reducir problemas de la optimización con apremios a los problemas de optimización libres. Integrales de evaluación considera también: numérico de la integración La integración numérica, a veces también conocida como cuadratura numérica, pide el valor de un definido integral. Los métodos populares utilizan uno de las fórmulas de los Newton-Corrales (como la regla de punto mediano o la regla de Simpson) o de la cuadratura gausiana . Estos métodos confían en un " divisoria y conquer" estrategia, por el que un integral en un sistema relativamente grande esté analizado en integrales en sistemas más pequeños. En dimensiones más altas, donde estos métodos llegan a ser prohibitivo costosos en términos de esfuerzo de cómputo, uno puede utilizar el Monte Carlo o los métodos de Quasi-Monte Carlos (véase la integración de Monte Carlo), o, en dimensiones modesto grandes, el método de las rejillas escasas Ecuaciones diferenciales artículos principales del del de : Ecuaciones diferenciales ordinarias numéricas, ecuaciones diferenciales parciales numéricas . El análisis numérico también se refiere a computar (de una manera aproximada) la solución de las ecuaciones diferenciales ambas ecuaciones diferenciales ordinarias y las ecuaciones diferenciales parciales Las ecuaciones diferenciales parciales son solucionadas primero individualizando la ecuación, trayéndolo en un subespacio finito-dimensional. Esto se puede hacer por un método de elemento finito, un método de la diferencia finita, o (particularmente en la ingeniería) un método finito del volumen. La justificación teórica de estos métodos implica a menudo teoremas del análisis funcional . Esto reduce el problema a la solución de una ecuación algebraica. Software considera también: Lista de l software de análisis numérico Desde el último vigésimo siglo, se ejecutan la mayoría de los algoritmos y funcionamiento en una computadora. El depósito de Netlib contiene varias colecciones de rutinas del software para los problemas numéricos, sobre todo en FORTRAN y C . Los productos comerciales que ejecutan muchos diversos algoritmos numéricos incluyen el IMSL y bibliotecas de la QUEJA ; una alternativa libre es la biblioteca científica del GNU. El MATLAB es un lenguaje de programación comercial popular para los cálculos científicos numéricos, pero hay alternativas comerciales tales como S-PLUS y IDL, o alternativo semi-libre Scilab así como alternativas de la fuente libre y abierta tales como FreeMat, octava del GNU (similar a Matlab), IT++ (biblioteca del A. ++), R (similar a S-PLUS) y ciertas variantes del pitón . El funcionamiento varía extensamente: mientras que las operaciones del vector y de la matriz son generalmente rápidas, los lazos escalares varían en velocidad por más que una orden de la magnitud. Muchos sistemas de la álgebra de la computadora tal como Mathematica o arce (sistemas del software libre incluyen el SABIO, los máximos, el axioma, y el Yacas ), se pueden también utilizar para los cómputos numéricos. Sin embargo, su fuerza miente típicamente en cómputos simbólicos. También, cualquier software de la hoja de balance se puede utilizar para solucionar problemas simples referente a análisis numérico. Ver también computacional científico del Lista de los asuntos del análisis numérico Gramo-Schmidt de proceso Problema que para Diferenciación numérica . ZenithicStuffy StewartRandom links:Rudolf Ewald Stier | Stavanger Aftenblad | Roy Cochran | Cenador del resorte, Michigan (CDP) | Ártico de USNS (T-AOE-8)
El campo del análisis numérico se divide en diversas disciplinas según el problema que debe ser solucionado.
La interpolación soluciona el problema siguiente: ¿dado el valor de una cierta función desconocida en un número de puntos, qué valor esa función tiene en un cierto otro punto entre los puntos dados? Un método muy simple es utilizar la interpolación linear, que asume que la función desconocida es linear entre cada par de puntos sucesivos. Esto se puede generalizar a la interpolación polinómica, que es a veces más exacta pero sufre del fenómeno de Runge. El otro uso de los métodos de la interpolación localizado funciona como las tiras o las olitas
La extrapolación es muy similar a la interpolación, salvo que ahora queremos encontrar el valor de la función desconocida en un punto que sea exterior los puntos dados.
La regresión es también similar, pero considera que los datos son imprecisos. Dado algunos puntos, y una medida del valor de una cierta función en estos puntos (con un error), queremos determinar la función desconocida. Los m3inimos cuadr3aticos - el método es una manera popular de alcanzar esto.
Otro problema fundamental está computando la solución de una cierta ecuación dada. Dos casos son comúnmente distinguidos, dependiendo de si la ecuación es linear o no. Por ejemplo, la ecuación 2x+5=3 es linear mientras que no es 2x^2+5=3.
Mucho esfuerzo se ha puesto en el desarrollo de los métodos para solucionar los sistemas de ecuaciones lineares. Los métodos directos de los métodos del estándar es decir que utilizan una cierta descomposición de la matriz son la eliminación gausiana, la descomposición del LU, la descomposición de Cholesky para el simétrico (o el hermitiano) y la matriz Positivo-definida, y la descomposición QR para las matrices del no-cuadrado. Los métodos iterativos tal como el método de Jacobi, método del Gauss-Seidel, sobre-relajación sucesiva y método de gradiente conyugal son generalmente preferred para los sistemas grandes.
Los algoritmos de la búsqueda del radical se utilizan para solucionar las ecuaciones no lineares (son así que nombrado puesto que una raíz de una función es una discusión para la cual la función rinde cero). Si la función es el diferenciable y se sabe el derivado, después el método de Newton es una opción popular. La linearización es otra técnica para solucionar ecuaciones no lineares.
Varios problemas importantes se pueden expresar en términos de descomposiciones del valor propio o las descomposiciones del valor singular por ejemplo, el algoritmo espectral de la compresión de imagen se basan en la descomposición del valor singular. La herramienta correspondiente en estadísticas se llama el análisis componente principal . Un uso es encontrar automáticamente los 100 temas superiores de la discusión sobre la tela, y después clasificar cada Web page según qué tema pertenece.
considera también:
la optimización (matemáticas)
Los problemas de la optimización piden el punto en el cual se maximiza una función dada (o reducido al mínimo). A menudo, el punto también tiene que satisfacer algunos apremios
El campo de la optimización está partido más a fondo en varios subcampos, dependiendo de la forma de la función objetiva y del constreñimiento. Por ejemplo, la programación linear trata del caso que la función objetiva y los apremios son lineares. Un método famoso en la programación linear es el método a una cara .
El método de los multiplicadores de Lagrange se puede utilizar para reducir problemas de la optimización con apremios a los problemas de optimización libres.
numérico de la integración
La integración numérica, a veces también conocida como cuadratura numérica, pide el valor de un definido integral. Los métodos populares utilizan uno de las fórmulas de los Newton-Corrales (como la regla de punto mediano o la regla de Simpson) o de la cuadratura gausiana . Estos métodos confían en un " divisoria y conquer" estrategia, por el que un integral en un sistema relativamente grande esté analizado en integrales en sistemas más pequeños. En dimensiones más altas, donde estos métodos llegan a ser prohibitivo costosos en términos de esfuerzo de cómputo, uno puede utilizar el Monte Carlo o los métodos de Quasi-Monte Carlos (véase la integración de Monte Carlo), o, en dimensiones modesto grandes, el método de las rejillas escasas
El análisis numérico también se refiere a computar (de una manera aproximada) la solución de las ecuaciones diferenciales ambas ecuaciones diferenciales ordinarias y las ecuaciones diferenciales parciales
Las ecuaciones diferenciales parciales son solucionadas primero individualizando la ecuación, trayéndolo en un subespacio finito-dimensional. Esto se puede hacer por un método de elemento finito, un método de la diferencia finita, o (particularmente en la ingeniería) un método finito del volumen. La justificación teórica de estos métodos implica a menudo teoremas del análisis funcional . Esto reduce el problema a la solución de una ecuación algebraica.
considera también: Lista de
l software de análisis numérico
Desde el último vigésimo siglo, se ejecutan la mayoría de los algoritmos y funcionamiento en una computadora. El depósito de Netlib contiene varias colecciones de rutinas del software para los problemas numéricos, sobre todo en FORTRAN y C . Los productos comerciales que ejecutan muchos diversos algoritmos numéricos incluyen el IMSL y bibliotecas de la QUEJA ; una alternativa libre es la biblioteca científica del GNU. El MATLAB es un lenguaje de programación comercial popular para los cálculos científicos numéricos, pero hay alternativas comerciales tales como S-PLUS y IDL, o alternativo semi-libre Scilab así como alternativas de la fuente libre y abierta tales como FreeMat, octava del GNU (similar a Matlab), IT++ (biblioteca del A. ++), R (similar a S-PLUS) y ciertas variantes del pitón . El funcionamiento varía extensamente: mientras que las operaciones del vector y de la matriz son generalmente rápidas, los lazos escalares varían en velocidad por más que una orden de la magnitud.
Muchos sistemas de la álgebra de la computadora tal como Mathematica o arce (sistemas del software libre incluyen el SABIO, los máximos, el axioma, y el Yacas ), se pueden también utilizar para los cómputos numéricos. Sin embargo, su fuerza miente típicamente en cómputos simbólicos. También, cualquier software de la hoja de balance se puede utilizar para solucionar problemas simples referente a análisis numérico.
Lista de los asuntos del análisis numérico Gramo-Schmidt de proceso Problema que para Diferenciación numérica
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