En la teoría de número, el campo de la aproximación Diophantine, nombrado después Diophantus de Alexandría, ocupa de la aproximación de los números verdaderos por los números racionales de la pequeñez de la distancia (en un sentido del valor absoluto ) del número verdadero que se aproximará al número racional que lo aproxima es una medida cruda de cómo es bueno es la aproximación. Una medida más sutil considera cómo es bueno la aproximación está por la comparación al tamaño del denominador .

El tema se puede considerar como siendo fundado en un resultado José Liouville en los números algébricos (el lema general en la página para el número de Liouville). Antes que, mucho era sabido de la teoría de las fracciones continuas en relación a las raíces cuadradas de números enteros y de otros irrationals cuadráticos.

Este resultado fue mejorado por el Axel Thue y otros, llevando en el extremo a un teorema definitivo de Roth : el exponente en el teorema fue reducido del n, el grado del número algébrico, a cualquier número mayor de 2 (es decir “2+ε "). Posteriormente, Schmidt generalizó esto al caso de la aproximación simultánea. Las pruebas eran difíciles, y no el eficaz, una desventaja en usos.

Otro asunto que ha considerado un desarrollo cuidadoso es la teoría de MOD 1 de la distribución del uniforme. Tomar a de la secuencia un ₁, un ₂,… de números verdaderos y considerar su las piezas fraccionarias . Es decir, más abstracto, mirada en la secuencia en el R/Z, que es un círculo. Para cualquier I del intervalo en el círculo miramos la proporción de los elementos de la secuencia que mienten en ella, hasta un cierto N del número entero, y lo comparan a la proporción de la circunferencia ocupada por el I . la distribución uniforme significa eso en el límite, como el N crece, que la proporción de golpes en el intervalo tiende al valor “previsto”. El Hermann Weyl probó una demostración básica del resultado que éste era equivalente a los límites para las sumas exponenciales formadas de la secuencia. Esto demostró que los resultados Diophantine de la aproximación eran estrechamente vinculados al problema general de la cancelación en sumas exponenciales, que ocurre all over la teoría de número analítico en la limitación de los términos del error.

Después del teorema de Roth, los avances principales en el tema han estado con respecto a la teoría de la trascendencia. Se relaciona con la distribución uniforme el asunto de las irregularidades de la distribución, que está de una naturaleza combinatoria . Todavía hay problemas sin resolver simple-indicados que permanecen en la aproximación Diophantine, por ejemplo conjetura de Littlewood.