En las matemáticas, la aritmética del de las variedades abelianas es el estudio de la teoría de número de una variedad abeliana, o familia de ésos. Vuelve a los estudios Fermat en qué ahora se reconocen como curvas elípticas y se ha convertido en un área muy substancial en términos de resultados y conjeturas. La mayor parte de éstos se pueden presentar para un abeliano A de la variedad sobre un K del campo de número ; o más generalmente (para los campos globales o anillos o campos finito-generados más generales).

Puntos del número entero en variedades abelianas

Hay una cierta tensión aquí entre los conceptos: el punto del número entero del pertenece en cierto modo al afina la geometría, mientras que la variedad abeliana del intrínsecamente se define en la geometría descriptiva . Los resultados básicos que prueban que las curvas elípticas hacen que finito muchos puntos del número entero salgan de la aproximación Diophantine .

Puntos racionales en variedades abelianas

El resultado básico (teorema de Mordell-Weil) dice ese A ( K ), el grupo de puntos en el A sobre el K, es un grupo abeliano Finito-generado . Mucha de información sobre sus subgrupos posibles de la torsión se sabe, por lo menos cuando el A es una curva elíptica. La cuestión de la fila del probablemente se venda con las L-funciones (véase abajo).

La teoría de Torsor aquí lleva al grupo de Selmer y al grupo, estes 3ultimo de Tate-Shafarevich (conjeturablemente finitos) que son difíciles de estudiar.

Alturas

Hay una función canónica de la altura de Néron-Tate, que es una forma cuadrático ; tiene algunas características notables, entre todas las funciones de la altura diseñadas a la selección de sistemas finitos en el A ( K ) de puntos del h de la altura del (áspero, el tamaño logarítmico de coordina) a lo más.

p de la MOD de la reducción

La reducción de un modulo abeliano del A de la variedad una prima ideal (los números enteros de) del K - decir, un p del número primero - para conseguir un abeliano p del _{del A de la variedad sobre un campo finito, es posible para el casi todo el p de . El “malo” prepara, para el cual el de la reducción degenera adquiriendo puntos singulares, se sabe para revelar la información muy interesante. Como sucede a menudo en gran número la teoría, el “malo” prepara el juego un papel algo activo en la teoría.}

Aquí una teoría refinada (en efecto) de un adjoint de la derecha al p - el Néron modelo de la MOD de la reducción - no puede ser evitado siempre. En el caso de una curva elíptica hay un algoritmo Juan Tate que lo describe.

L-funciones

Para las variedades abelianas tales como p de A_{, hay una definición de la zeta-función local disponible. Para conseguir una L-función para A sí mismo, una toma un producto conveniente de Euler de tales funciones locales; para entender el número finito de factores para el “malo” prepara uno tiene que referir al módulo de Tate de A, que es (doblarse) el grupo del cohomology del étale H¹(A), y a la acción del grupo de Galois en ella. De esta manera uno consigue una definición respetable de la L-función de Hasse-Weil para el A. En general sus características, tales como ecuación funcional, son todavía conjeturales - la conjetura de Taniyama-Shimura era apenas un caso especial, de modo que sea apenas asombrosamente.}

Está en términos de esta L-función que la conjetura del abedul y del Swinnerton-Tintóreo se plantee. Es apenas un particularmente aspecto interesante de la teoría general sobre valores de las L-funciones L ( s ) en los valores de número entero del s, y hay mucha evidencia empírica que la apoya.

Multiplicación compleja

Desde la época del gauss (quién sabía del caso de la función del lemniscate del ) el papel especial se ha sabido de la A con automorfismos adicionales, y más generalmente endomorphisms. En términos de extremo del anillo (A) allí es una definición de la variedad abeliana de Cm-tipo que seleccione la clase más rica. Éstos son especiales en su aritmética. Esto se ve en sus L-funciones en términos algo favorables - el análisis armónico requerido es todo el tipo de la dualidad de Pontryagin, algo que necesitando representaciones más generales de Automorphic que refleja una buena comprensión de sus módulos de Tate como módulos de Galois. También les hace el un más duro para ocuparse en términos de la geometría algebraica conjetural (la conjetura de Hodge y el Tate conjeturan ). En esos problemas la situación especial es más exigente que el general.

En el caso de curvas elípticas, el Kronecker Jugendtraum era el Kronecker del programa propuesto, para utilizar curvas elípticas del Cm-tipo para hacer la teoría de campo de clase explícitamente para el que la ecuación cuadrática imaginaria coloca - de la manera que las raíces de la unidad permiten que uno haga esto para el campo de números racionales. Esto generaliza, pero en un cierto sentido con pérdida de información explícita (al igual que típicas de varias variables complejas ).

Conjetura de Manin-Mumford

La conjetura de Manin-Mumford Yuri Manin y David Mumford, probada por Miguel Raynaud, indica que un C de la curva en su J de la variedad de Jacobian puede contener solamente un número finito de puntos que estén de orden finita en el J, a menos que el C = el J . Hay declaraciones más generales; éste es lo más claramente posible motivado por la conjetura de Mordell, donde tal C de la curva debe intersecar el J ( K ) solamente en finito muchos puntos. Ahora hay una teoría general de “Manin-Mumford”.