Está un sistema la aritmética modular (a veces llamado modulo del aritmético, o el reloj aritmético del ) aritmético para los números enteros donde " de los números; around" del abrigo; después de que alcancen un seguro valorar el — el módulo . La aritmética modular fue introducida por el Carl Friedrich Gauss en su Disquisitiones Arithmeticae libro, publicado en 1801.

Un uso familiar de la aritmética modular es su uso en el reloj de 24 horas : la aritmética del time-keeping en la cual el día funciona de medianoche a la medianoche y se divide en 24 horas, numerada a partir de la 0 a 23. Si el tiempo ahora es &mdash del 19:00; las 7 en el &mdash de la tarde; entonces 8 horas más adelante será 3:00. La adición generalmente sugeriría que el tiempo posterior fuera 19 + 8 = 27, pero ésta no es la respuesta porque " del tiempo de reloj; envuelve el around" en el final del día. Asimismo, si el reloj comienza en el 12:00 (mediodía) y 21 horas transcurren, después el tiempo ser 09:00 el día siguiente, algo que 33:00. Desde hora el número comienza sobre cuando alcanza 24, esto es el modulo aritmético 24 del . Debe ser observado que en este sistema el 24:00 no es un rato válido porque éste es igual al 0:00 del el día siguiente, más o menos de la misma manera 2:60 no es un rato válido porque es igual al 3:00.

¡El relation< de la congruencia! -- Esta sección se liga RSA -->

La aritmética modular puede ser manejada matemáticamente introduciendo una relación de la congruencia en los números enteros que sea compatible con las operaciones del anillo de números enteros: Adición, substracción, y multiplicación . Para un fijo n, del módulo se define como sigue.

Dos números enteros del un y un b reputan el congruente n del modulo del, si su de la diferencia un   de ; −  el b es un múltiple del número entero del n . Si éste es el caso, se expresa como: $a\; del$

l \ b equivalente \ pmod n \,

Se lee la declaración matemática antedicha: " el un es congruente al " del n del modulo del b ;.

Por ejemplo,

$38\; \backslash \; equivalente\; 14\; \backslash \; pmod\; \{12\}\; \backslash ,$

porque &minus 38; 14 = 24, que es un múltiplo de 12. Para el positivo n y el no negativo un y el b, congruencia del un y del b se puede también pensar en como afirmando que estos dos números tienen el mismo resto después de dividir al lado del n del módulo. Así pues,

$38\; \backslash \; equivalente\; 2\; \backslash \; pmod\; \{12\}\; \backslash ,$

porque, cuando son divididos por 12, ambos números dan 2 como resto.

La misma regla sostiene para los valores negativos del un :

$-3\; \backslash \; 2\; equivalentes\; \backslash \; pmod\; 5.\; \backslash ,\; del$

Una observación en la notación: Porque es común considerar varias relaciones de la congruencia para diversos módulos al mismo tiempo, el módulo se incorpora en la notación. A pesar de la notación ternaria, la relación de la congruencia para un módulo dado es binario. Esto habría estado más claro si el de la notación un ≡ el b del n del _{había sido utilizado, en vez de la notación tradicional común.}

Las características que hacen esta relación una relación de la congruencia (que respeta la adición, la substracción, y la multiplicación) son las siguientes.

Si $a\_1\; \backslash \; b\_1\; equivalente\; \backslash \; pmod\; n$ y $a\_2\; \backslash \; b\_2\; equivalente\; \backslash \; pmod\; n$, entonces:

$(a\_1\; +\; a\_2)\; \backslash \; equivalente\; (b\_1\; +\; b\_2)\; \backslash \; pmod\; n\; \backslash ,$
$(a\_1\; -\; a\_2)\; \backslash \; equivalente\; (b\_1\; -\; b\_2)\; \backslash \; pmod\; n\; \backslash ,$
$(a\_1\; a\_2)\; \backslash \; equivalente\; ()\; \backslash \; pmod\; n\; de\; b\_1\; b\_2\; \backslash ,$

El anillo de las clases de la congruencia

Como cualquier relación de la congruencia, el n del modulo de la congruencia es una relación de equivalencia, y la clase de equivalencia del número entero un, denotada por el $\backslash \; el\; overline\; \{a\}\; \_n$, es el $del\; sistema\; \backslash \; se\; fue\; \backslash \; \{\backslash \; los\; ldots,\; a\; -\; 2n,\; a\; -\; n,\; a,\; a\; +\; n,\; a\; +\; 2n,\; \backslash \; los\; ldots\; \backslash \; derecho\; \backslash \}$. Este sistema, consistiendo en los números enteros congruentes al un n del modulo de, se llama la clase de la congruencia del o la clase del residuo del de un n del modulo de . Otra notación para esta clase de la congruencia, que requiere que en el contexto el módulo esté sabido, es $\backslash \; el\; displaystyle$.

El sistema del n del modulo de las clases de la congruencia se denota como el $\backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /n\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}$ y se define cerca: el $del$

l \ el mathbb {Z} /n \ mathbb {Z} = \ se fueron \ {\ _n del overline {a} | a \ en \ mathbb {Z} \ derecho \}

Cuando el ≠ 0, $\backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /n\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}$ del n tiene elementos del n, y se puede escribir como: $del$

l \ mathbb {Z} = \ dejado \ {\ _n del overline {0}, \ _n del overline {1}, \ _n del overline {2}, \ ldots, \ _n del overline {n-1} \ derecho \} de /n \ del mathbb {Z}

Cuando el n = 0, $\backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /n\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}$ no tiene elementos cero; algo, es el isomorfo al $\backslash \; al\; mathbb\; \{Z\}$, desde = \ a la izquierda \ {del $\backslash \; del\; overline\; \{a\}\; \_0\; a\; \backslash \; derecho\; \backslash \}$.

Podemos definir la adición, la substracción, y la multiplicación en el $\backslash \; el\; mathbb\; \{Z\}\; /n\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}$ por las reglas siguientes:
$del$

\ _n del overline {a} + \ = \ overline {a + b} _n del _n del overline {b}
_n del $\backslash \; del\; overline\; \{a\}\; =\; \backslash \; overline\; \{a\; -\; b\}\; \_n$ - \ del _n del overline {b}
= \ overline {ab} _n del _n del $\backslash \; del\; overline\; \{a\}\; \backslash \; del\; \_n\; del\; overline\; \{b\}$

La verificación que esto es una definición apropiada utiliza las características dadas antes. De esta manera, el $\backslash \; el\; mathbb\; \{Z\}\; /n\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}$ se convierte en un anillo comutativo . Por ejemplo, en el $\backslash \; el\; mathbb\; \{Z\}\; /24\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}$ del anillo, tenemos el $\backslash \; \_\; del\; overline\; \{12\}\; \{24\}\; del\; +\; \backslash \; el\; \_\; del\; overline\; \{21\}\; \{24\}\; =\; \backslash \; el\; \_\; del\; overline\; \{9\}\; \{24\}$ como en la aritmética para el reloj de 24 horas.

Se utiliza el $de\; la\; notación\; \backslash \; el\; mathbb\; \{Z\}\; /n\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}$, porque es el anillo de factor del $\backslash \; del\; mathbb\; \{Z\}$ por el $n\; \backslash \; el\; mathbb\; ideales\; \{Z\}$ que contienen todos los números enteros divisibles por el n, donde está $0\; \backslash \; el\; mathbb\; \{Z\}$ el $determinado\; del\; Singleton\; \backslash \; se\; fue\; \backslash \; \{0\; \backslash \; derecho\; \backslash \}$.

En términos de grupos, el $de\; la\; clase\; del\; residuo\; \backslash \; el\; overline\; \{a\}\; \_n$ es el Coset del al en el $\backslash \; el\; mathbb\; \{Z\}\; /n\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}$, un grupo cíclico del grupo del cociente.

El $del\; sistema\; \backslash \; el\; mathbb\; \{Z\}\; /n\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}$ tiene un número de características matemáticas importantes que sean fundacionales a las varias ramas de las matemáticas.

Algo que excepto el n del caso especial = 0, es más útil incluir el $\backslash \; el\; mathbb\; \{Z\}\; /0\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}$ (antes de los cuales, según lo mencionado, es isomorfo al $\backslash \; al\; mathbb\; \{Z\}$ del anillo de números enteros), por ejemplo al discutir el característico de un anillo .

Restos

La noción de la aritmética modular se relaciona con la del resto en la división . La operación de encontrar el resto se refiere a veces mientras que la operación y nosotros del Modulo puede considerar el " (MOD 12 del ) " 2 = 14;. La diferencia está en el uso del congruency, indicado por el ≡, y la igualdad indica por =. La igualdad implica específicamente el " residue" común;, el menos miembro no negativo de una clase de equivalencia. Al trabajar con aritmética modular, cada clase de equivalencia es representada generalmente por su residuo común, por ejemplo " 38 " del ≡ 2 (MOD 12 del ); cuál se puede encontrar usar la división larga . Sigue eso, mientras que está correcto decir el " 38 " del ≡ 14 (MOD 12 del );, " 2 " del ≡ 14 (MOD 12 del ); y " (MOD 12 del ) " 2 = 14;, es incorrecto decir el " (MOD 12 del ) " 38 = 14; (con el " =" algo que " ≡").

Paréntesis se caen a veces de la expresión, e. " 38 MOD 12" del del ≡ 14; o " MOD 12" de 2 = 14 ;, o colocado alrededor del " del divisor e.; 38 " de la MOD (12) del del ≡ 14;. Notación tal como " (MOD 12 del ) " 38; también se ha observado, pero es ambiguo sin la clarificación del contexto.

La relación de la congruencia es expresada a veces usando el modulo del en vez de MOD del, como " 38 " del ≡ 14 (modulo 12 del ); en el de informática. La función del modulo en varios lenguajes de programación rinde típicamente el residuo común, por ejemplo el " de la declaración; y = MOD (38.

Usos

La aritmética modular se refiere a la teoría de número, la teoría de grupo, la teoría del anillo, la álgebra abstracta, la criptografía, el de informática, la química y el visual y los artes musicales .

Es una de las fundaciones de la teoría de número, tocando en casi cada aspecto de su estudio, y proporciona los ejemplos dominantes para la teoría de grupo, la teoría del anillo y la álgebra del extracto.

En criptografía, la aritmética modular sostiene directo sistemas de la llave pública tales como RSA y Diffie-Hellman, así como el abastecimiento de los campos finitos que son la base de las curvas elípticas y se utiliza en una variedad de algoritmos dominantes simétricos incluyendo el AES, la IDEA, y el RC4 .

En aritmética de informática, modular se aplica a menudo en las operaciones Bitwise y otras operaciones que implican la fijo-anchura, las estructuras de datos cíclicas la operación del Modulo, según lo ejecutado en muchos lenguajes de programación y las calculadoras son un uso de la aritmética modular que es de uso frecuente en este contexto.

En química, el dígito pasado del número (un número del registro del CAS que es único para cada compuesto químico) es un dígito de cheque, que es calculado tomando el dígito pasado de las primeras dos partes de los tiempos 1 del número del registro del CAS, los tiempos de dígito próximos 2, los tiempos de dígito próximos 3 etc., adición todo el éstos para arriba y computación del modulo 10.

En los artes visuales, la aritmética modular se puede utilizar para crear los patrones artísticos basados en el n del modulo de la multiplicación y de las tablas de adición (véase el acoplamiento externo, abajo).

En música, el modulo aritmético 12 se utiliza en la consideración del sistema de temperamento igual dodecafónico, donde ocurre la octava y la equivalencia enarmónica (es decir, echa adentro un 1∶2 o el cociente 2∶1 es equivalente, y el agudo de la c se considera iguales que el plano de la d).

El método del bastidor de los nines hacia fuera ofrece un cheque rápido de los cómputos aritméticos decimales realizados a mano. Se basa en el modulo aritmético modular 9, y específicamente en la característica crucial ese 10 ≡ 1 (MOD del 9).

Más generalmente, la aritmética modular también tiene uso en disciplinas tales como ley (véase e., el prorrateo ), economía, (véase e., la teoría del juego ) y otras áreas de las ciencias sociales, donde la división y la asignación de recursos proporcionales juega una parte central del análisis.

Algunos neurólogos (véase e., los sacos de Oliverio) teorizan que los sabios autísticos supuesto utilizan un " innate" aritmética modular para computar los problemas complejos tales como en qué día de la semana a la fecha distante caerá.

Complejidad de cómputo

Puesto que la aritmética modular tiene una tan amplia gama de usos, es importante para saber es difícilmente solucionar un sistema de congruencias. Un sistema linear de congruencias puede ser solucionado en el tiempo polinómico con una forma de la eliminación gausiana, para los detalles ver el teorema linear de la congruencia.

Solucionar un sistema de ecuaciones aritméticas modulares no lineares es el NP-completo. Para los detalles, ver por ejemplo M. Johnson: Computadoras e intratabilidad, una guía del a la teoría de NP-Lo completo, W.

Ver también

residuo cuadrático
Símbolo de Legendre
Reciprocidad cuadrático
Raíz primitiva
Campo finito
Asuntos referentes a la teoría de grupo detrás de la aritmética modular: Grupo cíclico
Grupo multiplicativo del modulo n de los números enteros
Otros teoremas importantes referentes a aritmética modular: Teorema de Euler
&ndash del teorema de Fermat poco; un caso especial del teorema de Euler.
Teorema chino del resto
Teorema de Lagrange
Modulo
Operación del Modulo
División
Resto
Período de Pisano - Fibonacci ordena el n del modulo

.

Zenithic

Beatus of Liébana

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