En la teoría determinada, el concepto de la cardinalidad es perceptiblemente desarrollable sin recurso realmente a definir los números cardinales como objetos en teoría sí mismo (esto es de hecho un punto de vista tomado por el Frege ; Los cardenales de Frege son clases básicamente de equivalencia en el universo entero de los sistemas que son Equinumerous ). Los conceptos son desarrollados definiendo el equinumerosity en términos de funciones y conceptos uno por y de sobre (injectivity y surjectivity); esto nos da una relación de pseudo-petición $A\; del$

l \ leq_c B \ patio \ iff \ patio (\ existe f) (f: A \ a \ \ mathrm {es \ inyectivo}) de B

en general universo por tamaño. No es el ordenar verdadera porque la ley de la tricotomía no necesita sostenerse: si el $A\; \backslash \; el\; leq\_c\; B$ y el $B\; \backslash \; el\; leq\_c\; A$, él es verdades por el teorema del Chantre-Bernstein-Schroeder que el A del =_c B del $A\; es\; decir\; y\; el\; B\; son\; equinumerous,\; pero\; ellos\; no\; tienen\; que\; ser\; literalmente\; igual;\; que\; por\; lo\; menos\; los\; asimientos\; de\; un\; caso\; resultan\; ser\; equivalentes\; al\; axioma\; de\; la\; opción\; .$

Sin embargo, la mayor parte de los resultados interesantes del en cardinalidad y su aritmética se pueden expresar simplemente con =_c.

La meta de una asignación cardinal es asignar cada A del sistema a un sistema específico, único que sea solamente dependiente en la cardinalidad del A . Ésta es de acuerdo con visión original de s del chantre 'del los cardenales: para tomar un sistema y abstraer sus elementos en " canónico; units" y recoger estas unidades en otro sistema, tal que el único special de la cosa sobre este sistema es su tamaño. Éstos serían pedidos total por el $\backslash \; leq\_c$ de la relación y =_c sería igualdad verdadera. Moschovakis dice, sin embargo, esto es sobre todo un ejercicio en elegancia matemática, y usted no gana mucho a menos que usted sea " alérgico a subscripts." Sin embargo, hay varios usos valiosos del " real" los números cardinales en vario modelan de la teoría determinada.

En teoría determinada moderna, utilizamos generalmente la asignación cardinal de Von Neumann que utiliza la teoría de números ordinales y de los plenos poderes de los axiomas de la opción y del reemplazo . Las asignaciones cardinales necesitan el axioma de la opción completo, si queremos un aritmético cardinal decente y una asignación para el todos los sistemas de . Más en esto (y teoría determinada mucho mejor en general) se pueden encontrar en la introducción excelente de Moschovakis a la teoría determinada.

Asignación cardinal sin el axioma de la opción

Formalmente, si se asume que el axioma de la opción, la cardinalidad de un X del sistema es el menos α ordinal tales que hay un bijection entre el X y el α. Esta definición se conoce como la asignación cardinal de Von Neumann. Si el axioma de la opción no se asume necesitamos hacer algo diferente. La más vieja definición de la cardinalidad de un X (implícito en chantre y explícito en Frege y Principia Mathematica ) del sistema está como el sistema de todos los sistemas que sean equinumerous con el X : esto no trabaja en el ZFC u otros sistemas relacionados de la teoría determinada axiomática porque esta colección es demasiado grande ser un sistema, pero trabaja en el tipo teoría y en las nuevas fundaciones y los sistemas relacionados. Sin embargo, si restringimos de esta clase a los equinumerous con el X que tengan la menos fila, después trabajará (esto es un truco debido al Dana Scott : trabaja porque la colección de objetos con cualquier fila dada es un sistema).