Los dos pasados se pueden llamar las reglas de reducción. De Morgan profesa dar un inventario completo de las leyes que los símbolos de la álgebra deben obedecer, porque él dice, " Cualquie sistema de símbolos que obedece estas leyes y ningunos otras, a menos que sean formadas por la combinación de estas leyes, y que utilice los símbolos precedentes y ningunos otros, excepto ellos ser nuevos símbolos inventados en la abreviatura de combinaciones de estos símbolos, es algebra." simbólico; De su punto de vista, ningunos de los principios antedichos son reglas; son las leyes formales, es decir, las relaciones arbitrariamente elegidas a las cuales los símbolos algebraicos deben ser tema. Él no menciona la ley, a que habían sido precisadas ya por Gregorio, a saber, $(a+b)+c\; =\; a+\; (b+c),\; (ab)\; c\; =\; a\; (a.)$ y a cuál fue dada luego el nombre de la ley del de la asociación . Si la ley comutativa falla, el asociativo puede considerarse bueno; pero no viceversa . Es una cosa desafortunada para el symbolist o el formalista que en aritmética universal $m^n$ no es igual a $n^m$; para entonces la ley comutativa tendría alcance completo. ¿Por qué él no le da alcance completo? Porque las fundaciones de la álgebra son, después de todos, no formales verdadero, material no simbólico. A los formalistas las operaciones del índice son excesivamente refractarias, en consecuencia cuyo algunas los ignoran, pero los relegan a las matemáticas aplicadas. Para dar un inventario de las leyes que los símbolos de la álgebra deben obedecer es una tarea imposible, y recuerda uno no una poco de la tarea de esos filósofos que intenten dar un inventario del conocimiento a priori del de la mente.

La trigonometría dada derecho trabajo y la álgebra doble del de De Morgan consiste en dos porciones; el anterior cuyo es un tratado en la trigonometría, y estes 3ultimo un tratado en la álgebra generalizada que él llama álgebra doble. ¿Pero qué es significada por el doble en relación a álgebra? ¿y por qué se debe la trigonometría también tratar en el mismo libro de textos? La primera fase en el desarrollo de la álgebra es el aritmético, donde aparecen los números solamente y los símbolos de operaciones tales como $+$, $\backslash \; times$, etc. La etapa siguiente es la aritmética universal del, donde las letras aparecen en vez de números, para denotar números universal, y los procesos se conduzcan sin saber los valores de los símbolos. Dejar $a$ y $b$ denotar cualquier número; entonces una expresión tal como $a-b$ puede ser imposible; de modo que en aritmética universal haya siempre una claúsula, el proporcionó la operación es posible. La tercera etapa es la sola álgebra del, donde el símbolo puede denotar una cantidad remite o una cantidad al revés, y es representado adecuado por segmentos en una línea recta que pasa con un origen. Las cantidades negativas son entonces no más imposibles; son representadas por el segmento posterior. Pero todavía sigue habiendo una imposibilidad en la 3ultima parte de una expresión tal como $a+b\; \backslash \; laraíz\; cuadrada\{-\; 1\}$ que se presenta en la solución de la ecuación cuadrático. El del cuarto piso es la álgebra doble del ; el símbolo algebraico denota en general el segmento de una línea en un plano dado; es un símbolo doble porque implica dos especificaciones, a saber, longitud y dirección; y el $\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{-\; 1\}$ se interpreta como denotación de un cuadrante. La expresión $a+b\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{-\; 1\}$ entonces representa una línea en el plano que tiene una abscisa $a$ y una ordenada $b$. Argand y álgebra doble llevada Warren hasta ahora; pero no podían interpretar en esta teoría una expresión tal como el $e^\; \{a\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{-\; 1\}\}$. De Morgan lo intentó por el que reducía tal expresión a la forma $b+q\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{-\; 1\}$, y él consideraba que él había demostrado que podría estar siempre así que redujo. El hecho notable es que esta álgebra doble satisface todas las leyes fundamentales sobre enumerado, y como cada combinación al parecer imposible de símbolos se ha interpretado parece la forma completa de álgebra.

Si la teoría antedicha es verdad, la etapa siguiente del desarrollo debe ser álgebra triple del y si $a+b\; \backslash \; la\; raíz\; cuadrada\; \{-\; 1\}\; que$ representa verdad una línea en un plano dado, debe ser posible encontrar que un tercer término que agregó al antedicho representaría una línea en espacio. Argand y algún otro conjeturaba que él era $a\; +\; b\; \backslash \; raíz\; cuadrado\; \{-\; 1\}\; +\; c\; \backslash \; raíz\; cuadrado\; \{-\; 1\}\; \backslash ,\; ^\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{-\; 1\}\}$ aunque esto contradiga verdad establecido por Euler que $\backslash \; raíz\; cuadrado\; \{-\; 1\}\; \backslash ,\; =e^\; del\; ^\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{-\; 1\}\}\; \{-\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash \; pi\}$. De Morgan y muchos otros trabajó difícilmente en el problema, pero nada vino de él hasta que el problema fuera tomado por Hamilton. Ahora vemos la razón claramente: el símbolo de la álgebra doble denota no una longitud y una dirección; pero un multiplicador y un un ángulo . En él los ángulos se confinan de un plano; por lo tanto la etapa siguiente será una álgebra cuádruple del, cuando el eje del plano se hace variable. Y esto da la respuesta a la primera pregunta; la álgebra doble no es nada sino trigonometría plana analítica, y esta es la razón por la cual se ha encontrado para ser el análisis natural para las corrientes alternas. Pero De Morgan nunca consiguió esto lejano; él murió con el " de la creencia; esa álgebra doble debe permanecer como el desarrollo completo de los conceptos de la aritmética, en cuanto se refieren esos símbolos qué aritmética inmediatamente suggests."

Cuando el estudio de las matemáticas restableció en la universidad de Cambridge, así que hizo el estudio de la lógica. El alcohol móvil era Whewell, el amo de la universidad de la trinidad, cuyas escrituras principales eran una historia del de las ciencias inductivas, y filosofía del de las ciencias inductivas . A Whewell influenció sin duda alguna a De Morgan en sus investigaciones lógicas; pero otros contemporáneos influyentes eran sir W. Hamilton de Edimburgo, y profesor Boole del corcho. El trabajo de De~Morgan sobre la lógica formal del, publicada en el 1847, es principalmente notable para su desarrollo del syllogism numéricamente definido. Los seguidores Aristotle dicen que a partir de dos asuntos particulares tales como algunos m son de la a, y el algunos m es del b que nada sigue de necesidad sobre la relación de las a y de los b. Pero van más lejos y dicen para que cualquier relación sobre las a y los b pueda seguir de necesidad, el término medio deben ser tomados universal en una de las premisas. De~Morgan precisó que del la mayoría de los m son a y la mayoría de los m son del b que sigue de necesidad que el algunas a es del b y él formuló el syllogism numéricamente definido que pone este principio en forma cuantitativa exacta. Suponer que el número de los m es $m$, del m que es a es $a$, y de los m que son los b son $b$; entonces hay por lo menos el $(a+b-m)$ a que es b. Suponer que el número de almas a bordo de un vapor era 1000, esos 500 estaban en el salón, y 700 fueron perdidos; sigue de la necesidad, ese por lo menos 700+500-1000, es decir, 200, pasajeros del salón fueron perdidos. Este solo principio es suficiente probar la validez de todos los humores aristotélicos; es por lo tanto un principio fundamental en el razonamiento necesario.

Aquí entonces De Morgan había hecho un gran avance introduciendo la cuantificación del de los términos . En aquel momento sir W. Hamilton era enseñanza en Edimburgo a la doctrina de la cuantificación del predicado, y una correspondencia se originó. Sin embargo, De Morgan pronto percibió que la cuantificación de Hamilton estaba de un diverso carácter; que significó por ejemplo, substituyendo el de dos formas el conjunto de A es el conjunto de B, y el el conjunto de A es una parte de B para el aristotélico de la forma que todas las a son del b. Los filósofos tienen generalmente una parte grande de la intolerancia; son demasiado conveniente pensar que tienen el asimiento de la verdad entera, y que todo fuera de su sistema es error. Hamilton pensó que él había puesto la piedra angular en el arco aristotélico, como él lo expresó; aunque deba haber sido un arco curioso que podría colocar 2000 años sin una piedra angular. Por consiguiente él no tenía ningún sitio para las innovaciones de De Morgan. Él acusó a De Morgan de plagio, y la controversia rabió por años en las columnas del Athenæum, y en las publicaciones de los dos escritores.

Las memorias en la lógica que De Morgan contribuyó a las transacciones de la sociedad filosófica de Cambridge subsecuente a la publicación de su libro en la lógica formal del son en gran medida las contribuciones más importantes que él hizo a la ciencia, especialmente su cuarta memoria, en la cual él comienza el trabajo en el campo amplio de la lógica del de los parientes . Éste es el campo verdadero para el lógico del vigésimo siglo, en el cual el trabajo de la importancia más grande debe ser hecho hacia la mejora de lengua y la facilitación pensando los procesos que ocurren todo el tiempo en vida práctica. La identidad y la diferencia son las dos relaciones que han sido consideradas por el lógico; pero hay muchos otros igualmente mérito del estudio, tal como igualdad, equivalencia, consanguinidad, afinidad, etc.

En la introducción al presupuesto del de las paradojas De Morgan explica lo que él significa por la palabra. " Un grande muchos individuos, desde entonces la subida del método matemático, tiene, cada uno para se, atacado sus consecuencias directas e indirectas. Llamaré cada uno de estas personas un paradoxer del, y su sistema una paradoja del . Utilizo la palabra en el viejo sentido: una paradoja es algo que está aparte de la opinión general, en tema, método, o la conclusión. Muchas de las cosas presentadas ahora serían llamadas los chiflados del, que es la palabra más cercana que tenemos que la vieja paradoja del . Pero hay esta diferencia, de que llamando una cosa un chiflado que significamos hablar ligeramente de ella; cuál no era el sentido necesario de la paradoja. Así en el siglo XVI mucho habló del movimiento de la tierra como la paradoja del de Copernicus y llevó a cabo la ingeniosidad de esa teoría en estima muy alta, y algunos pienso quién incluso inclinada hacia él. En el siglo XVII la depravación del significado ocurrió, en el " de Inglaterra por lo menos.;

¿Cómo puede el paradoxer de los sonidos ser distinguido del paradoxer falso? De Morgan suministra la prueba siguiente: " La manera en la cual un paradoxer se demostrará, en cuanto a sentido o absurdo, no dependerá de lo que él mantiene, pero sobre si él tiene o no ha hecho un suficiente conocimiento de qué ha sido hecha por otros, especialmente en cuanto a el modo de hacerlo, un preliminar a inventar el conocimiento para se… El nuevo conocimiento, cuándo a cualquier propósito, debe venir por la contemplación del viejo conocimiento, en cada materia que se refiera a pensamiento; la invención mecánica a veces, no muy a menudo, escapa esta regla. Todos los hombres que ahora se llaman los descubridores, en cada materia gobernada por el pensamiento, han sido hombres versificados en las mentes de sus precursores y aprendidos en cuál había estado antes de él."

" Recuerdo que momentos antes que la asociación americana se encontró en Indianapolis en el 1890, los diarios locales anunciaron un gran descubrimiento que debía ser puesto antes de los sabios montados -- un hombre joven que vivía en alguna parte en el país había ajustado el círculo. Mientras que la reunión estaba en curso observé a hombre joven el ir alrededor con un rodillo del papel en su mano. Él me habló y se quejó de que el papel que contenía su descubrimiento no había sido recibido. Le pregunté si su objeto en la presentación del papel no era conseguirlo leído, impreso y publicado de modo que cada uno pudiera informarse el resultado; a cuál él consintió fácilmente. Pero, dijo I, muchos hombres han trabajado en esta pregunta, y sus resultados se han probado completamente, y se imprimen en.beneficio de cualquier persona que pueda leer; ¿usted se ha informado sus resultados? A esto no había asentimiento, sino la sonrisa enferma del paradoxer" falso; ¿De Morgan no dijo esto (cómo podría él? Él murió lejos antes de 1890…). Algo, según lo precisado en la página de la discusión, este párrafo (y el resto del artículo) se copia in extenso de una conferencia dada en 1916

El presupuesto del consiste en una revisión de una colección grande de libros paradójicos que De Morgan había acumulado en su propia biblioteca, en parte por la compra en los bookstands, en parte de los libros enviados a él para la revisión, en parte de los libros enviados a él por los autores. Él da la clasificación siguiente: squarers del círculo, trisectors del ángulo, duplicadoras del cubo, constructores del movimiento perpetuo, subverters de la gravitación, stagnators de la tierra, constructores del universo. Usted todavía encontrará los especímenes de todas estas clases en el nuevo mundo y en el nuevo siglo.

De Morgan da su conocimiento personal de paradoxers. " Sospecho que sé más de la clase inglesa que cualquier hombre en Gran Bretaña. Nunca guardé cualquier cómputo: ¿pero sé eso un año con otro? -- ¿y menos de últimos años que en tiempo anterior? -- He hablado con más de cinco adentro cada año, dando más que cientos y cincuenta especímenes. De esto estoy seguro, eso que es mi propia avería si no han sido miles. Nadie sabe pululan, excepto ésos a quién recurren naturalmente. Están en todas las filas y ocupaciones, de todas las edades y carácteres. Son gente muy seria, y su propósito es el auténtico, la difusión del de sus paradojas. Un grande muchos -- la masa, de hecho -- son analfabetos, y grandes muchos basura sus medios, y están adentro o penuria inminente. Estos descubridores desdeñan un another."

Un paradoxer a el cual De Morgan pagó el elogio que Achilles pagó a Hector -- para arrastrarlo alrededor de las paredes repetidas veces -- era James Smith, comerciante acertado de Liverpool. Él encontró el $\backslash \; pi\; =\; 3\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{8\}$. Su modo de razonamiento era una caricatura curiosa del absurdum de anuncio de reductio del de Euclid. Él dijo dejó el $\backslash \; pi\; =\; 3\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{8\}$, y entonces demostraron que en esa suposición, cada otro valor del $\backslash \; pi$ debe ser absurdo; por lo tanto el $\backslash \; pi\; =\; 3\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{8\}$ es el valor verdadero. Lo que sigue es un espécimen de De Morgan que arrastra alrededor de las paredes de Troy: " Sr. Smith continúa escribiéndome las letras largas, a las cuales él hace alusión que debo contestar. En su último de 31 lados de cerca escritos de papel de nota, él me informa, referente a mi silencio obstinado, que aunque piense mismo y pensados por otros para ser un Goliath matemático, yo ha resuelto jugar el caracol matemático, y guarda dentro de mi cáscara. ¡Un caracol matemático del ! Ésta no puede ser la cosa supuesta que regula el pulso de un reloj; para ella significaría que debo hacer que Sr. Smith suena el de tiempo verdadero del día, que emprendería de ninguna manera sobre un reloj que gana 19 segundos de impar sobre cada hora por el valor quadrative falso del $\backslash \; pi$. Pero él aventura decirme que los guijarros de la honda de la verdad simple y del sentido común agrietarán en última instancia mi cáscara, y me pondrán el combate del de los hors del . La confusión de imágenes es graciosamente: Goliath que se da vuelta en un caracol para evitar el $\backslash \; pi\; =\; 3\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{8\}$ y James Smith, Esq., del tablero de muelle de Mersey: y combate puesto del de los hors del por los guijarros de una honda. Si Goliath se hubiera arrastrado en una cáscara del caracol, David habría agrietado a filisteo con su pie. Hay algo como modestia en la implicación que el guijarro de la grieta-cáscara todavía no ha tomado a efecto; puede ser que haya sido pensado que el hondero habría estado cantando para entonces -- Y tres veces one-eighth encaminé a todos mis enemigos, y tres veces one-eighth I mataron el slain."

En la región de matemáticas puras De Morgan podía detectar fácilmente el falso de la paradoja verdadera; pero él no era tan perito en el campo de la física. Su suegro era un paradoxer, y su esposa un paradoxer; y según la opinión de los filósofos físicos De Morgan mismo se escapó apenas. Su esposa escribió un libro que describía los fenómenos del espiritualismo, de tabla-criticar mordazmente, Tabla-que daba vuelta a, del etc.; y De Morgan escribió un prefacio en el cual él dijo que él sabía algunos de los hechos afirmados, creyó otros en testimonio, pero no fingió saber el si ellos fueron causados por bebidas espirituosas, ni tenía cierto origen desconocido e inimaginado. De esta alternativa él dejó hacia fuera causas materiales ordinarias. Faraday entregó una conferencia en el espiritualismo del, en el cual él lo puso traga eso en la investigación que debemos precisar con la idea de cuál es físicamente posible, o imposible; De Morgan no podría entender esto.

Relaciones

Herencia