La autocorrelación es una herramienta matemática usada con frecuencia en el tratamiento de señales para analizar funciones o la serie de valores, tales como señales del dominio de tiempo . Informal, es la fuerza de una relación entre las observaciones en función de la separación del tiempo entre ellas. Más exacto, es la correlación cruzada de una señal consigo mismo. La autocorrelación es útil para encontrar patrones de repetición en una señal, tal como determinación de la presencia de una señal periódica que se ha enterrado bajo ruido, o identificación que falta frecuencia fundamental de en una señal implicada por sus frecuencias armónicas .

Definiciones

Diversas definiciones de la autocorrelación son funcionando dependiendo del campo del estudio se está considerando que y no todos son equivalentes. En algunos campos, el término se utiliza alternativamente con la autocovariancia .

Estadísticas

En las estadísticas, la función de autocorrelación (ACF) de un proceso al azar describe la correlación entre el proceso en diversos puntos a tiempo. Dejar el t del _{del X ser el valor del proceso en el t del tiempo (donde el t puede ser un número entero para a proceso del tiempo discreto o un número verdadero para un proceso del continuo-tiempo). Si el t} del _{del X tiene &mu malo ; y &sigma de la variación ; ² entonces la definición del ACF está}

$R\; (t,\; s)\; =\; \backslash \; frac\; \{E\; -\; \backslash \; MU)\; (-\; \backslash \; MU\; de\; X\_s)\}\{\backslash \; sigma^2\}\; \backslash ,$

donde está el operador el E del valor previsto . Observar que esta expresión no está bien definida para toda la serie o procesos de tiempo, desde el &sigma de la variación; ² puede ser cero (para un proceso constante) o infinito. Si el R de la función está bien definido su valor debe mentir en la gama, con 1 correlación y &minus perfectos de indicación; 1 anti-correlación perfecta de indicación.

Si el t del _{del X es el inmóvil second-order entonces el ACF depende solamente de la diferencia entre el t y el s y se puede expresar en función de una sola variable. Esto da la forma más familiar}

$R\; (k)\; =\; \backslash \; -\; \backslash \; MU\; del\; frac\; \{E\; -\; \backslash \; MU)\; (X\_\; \{i+k\})\}\{\backslash \; sigma^2\}\; \backslash ,$

donde está el retraso el k, |    del t ; −   &thinsp del s ; |. Es práctica común en muchas disciplinas caer la normalización por σ ² y utilizan la autocorrelación término alternativamente con la autocovariancia del . ¡f (t) es una trayectoria de la muestra del proceso (que tiene un medio y una variación sabidos) entonces que una estimación puede ser obtenido del $\backslash \; del\; sombrero\; \{R\}\; (k)=\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sigma^2\}\; \backslash \; ^\; del\; int\_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; infty\}\; del\; -\; \backslash \; MU)\; (f\; (t+k)\; (de\; f\; (t)\; -\; \backslash \; MU)\; dt$, para el $k\; \backslash \; en\; \backslash \; mathbb\; \{R\}$. -->

Para una serie del tiempo discreto del n { X ₁,   de la longitud; X ₂,   …   El n del _{del X } con medio y la variación sabidos, una estimación de la autocorrelación se puede obtener como}

$\backslash \; sombrero\; \{R\}\; (k)=\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{()\; \backslash \; sigma^2\; del\; n-k\}\; \backslash \; -\; \backslash \; MU\; del\; ^\; del\; sum\_\; \{t=1\}\; \{n-k\}\; [X\_\; \{t+k\}]$

para cualquie   positivo del k del número entero; <  n . Cuando el &mu del medio verdadero; se sabe, esta estimación es imparcial. Sin embargo, si el medio verdadero y la variación del proceso no se saben, y μ y σ ² son substituidos por las fórmulas estándar para la variación del medio de muestra y de muestra, después esto es una estimación en polarización negativa. Como alternativa, un periodograma basado estimación substituye el n - k en la fórmula antedicha con el n . Esta estimación es siempre en polarización negativa; sin embargo, tiene generalmente un error de media cuadrada más pequeño.

Tratamiento de señales

En el tratamiento de señales, la definición antedicha es de uso frecuente sin la normalización, es decir, sin restar el medio y la división por la variación. Cuando la función de autocorrelación es normalizada por medio y la variación, se refiere a veces como el coeficiente de la autocorrelación del .

Dado un f ( t ), el continuo R_ff (&tau de la señal de la autocorrelación;) se define lo más a menudo posible como el integral continuo de la correlación cruzada del f ( t ) consigo mismo, en el &tau del del retraso; .

$R\_\; \{FF\}\; (\backslash \; tau)\; =\; \backslash \; overline\; \{f\}\; (-\; \backslash \; tau)\; *\; f\; (\backslash \; tau)\; =\; \backslash \; int\_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; f\; ()\; \backslash \; overline\; \{f\}\; (t)\; \backslash ,\; despegue\; =\; \backslash \; int\_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; f\; (t)\; \backslash \; overline\; \{f\}\; ()\; \backslash ,\; del\; t\; \backslash \; tau\; dt$ de t+ \ del tau

donde el $\backslash \; la\; barra\; f$ representa la conjugación y $*$ del complejo representa la circunvolución . Para una función verdadera, $\backslash \; barra\; f\; =\; f$.

El discreto R de la autocorrelación en el j del retraso para un x_n de la señal discreta es

$R\_\; \{xx\}\; (j)\; =\; \backslash \; sum\_n\; x\_n\; \backslash \; overline\; \{x\}\; \_\; \{\}\; \backslash .\; del\; n-j$

Las definiciones antedichas trabajan para las señales que son integrables cuadrado, o summable cuadrado, es decir, de la energía finita. Señales que " forever" pasado; se tratan en lugar de otro como procesos al azar, en este caso diversas definiciones son necesarias, basado en valores previstos. Para los procesos al azar ancho-detectar-inmóviles, se definen las autocorrelaciones como

$R\_\; \{FF\}\; (\backslash \; tau)\; =\; E\; \backslash \; left$
$R\_\; \{xx\}\; (j)\; =\; E\; \backslash \; se\; fue\; \backslash \; overline\; \{x\}\; \_\; \{\}\; \backslash \; right.$ del n-j

Para los procesos que no son el inmóvil, éstos también serán funciones del t, o el n .

Para los procesos que son también el ergódico, la expectativa se puede substituir por el límite de un promedio del tiempo. La autocorrelación de un proceso ergódico se define como o se compara a veces a

$R\_\; \{FF\}\; (\backslash \; tau)\; =\; \backslash \; lim\_\; \{T\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}\; \{1\; \backslash \; sobre\; T\}\; \backslash \; int\_\; \{0\}\; ^\; \{T\}\; f\; ()\; de\; t+\; \backslash \; del\; tau\; \backslash \; overline\; \{f\}\; (t)\; \backslash ,\; =\; \backslash \; lim\_\; \{N\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}\; \{1\; \backslash \; sobre\; N\}\; \backslash \; x\_n\; del\; ^\; del\; sum\_\; \{n=0\}\; \{N-1\}\; \backslash \; \_\; del\; overline\; \{x\}\; \{n-j\}\; del$ R\_\; del$$
de dt {xx} (j).

Estas definiciones tienen la ventaja que dan los resultados bien definidos sensibles del solo-parámetro para las funciones periódicas, incluso cuando esas funciones no son la salida de procesos ergódicos inmóviles.

Alternativo, señala que el último del se puede tratar por siempre por un análisis de función a corto plazo de autocorrelación, usar integrales finitos del tiempo. (Véase el Fourier a corto plazo transformar para un proceso relacionado.)

La autocorrelación dimensional Multi- se define semejantemente. Por ejemplo, en las dimensiones tres la autocorrelación de una señal discreta cuadrado-summable estaría = \ sum_ {n, q, r} (x_ {n, q, r}) (x_ {n-j, q-k, r \ ana} del $R\; del$

l (j, \ ana de k)).

Cuando los valores medios se restan de señales antes de computar una función de autocorrelación, la función resultante generalmente se llama una función de la autocovariancia.

Características

En el siguiente, describiremos las características de autocorrelaciones unidimensionales solamente, puesto que la mayoría de las características se transfieren fácilmente del caso unidimensional a los casos multidimensionales.
La característica fundamental del

A de la autocorrelación es simetría,   del R ( i ); =  R (− i ), que es fácil de probar de la definición. En el caso continuo, la autocorrelación es una función uniforme


$R\_f\; (-\; \backslash \; tau)\; =\; R\_f)\; \backslash ,\; (\backslash \; tau$ el

l cuando el f es una función verdadera y la autocorrelación es una función hermitiana

$R\_f\; (-\; \backslash \; tau)\; =\; R\_f^*)\; \backslash ,\; (\backslash \; tau$

l cuando el f es una función compleja .

la función de autocorrelación continua alcanza su pico en el origen, donde toma un valor verdadero, es decir para cualquier &tau del del retardo;, $|R\_f\; (\backslash \; tau)|\; \backslash \; leq\; R\_f\; (0)$. Ésta es una consecuencia de la desigualdad de Cauchy-Schwarz. El mismo resultado celebra en el caso discreto.

la autocorrelación de una función periódica está, sí mismo, periódico con muy el mismo período.

la autocorrelación de la suma de dos funciones totalmente sin correlación (la correlación cruzada es cero para todo el τ) está la suma de las autocorrelaciones de cada función por separado.

puesto que la autocorrelación es un tipo específico de la correlación cruzada, mantiene todas las características de la correlación cruzada.

la autocorrelación de una señal del ruido blanco del continuo-tiempo tendrá un pico fuerte (representado por una función de delta de Dirac ) en el τ   =  0 y será absolutamente 0 para el resto del τ.

el teorema de la Salchicha de Francfort-Khinchin se relaciona la función de autocorrelación con la energía que la densidad espectral vía el Fourier transforma :

$R\; (\backslash \; tau)\; =\; \backslash \; int\_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \backslash \; infty\; S\; (f)\; e^\; \{j\; 2\; \backslash \; pi\; f\; \backslash \}\; \backslash ,\; del\; tau\; df$

$S\; (f)\; =\; \backslash \; int\_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \backslash \; infty\; R\; (\backslash \; tau)\; e^\; \{-\; j\; 2\; \backslash \; pi\; f\; \backslash \}\; \backslash ,\; del\; tau\; d\; \backslash \; tau.$

para las funciones con valores reales, la función de autocorrelación simétrica hace que un simétrico verdadero transforme, así que el teorema de la Salchicha de Francfort-Khinchin se puede re-expresar en términos de cosenos verdaderos solamente:

$R\; (\backslash \; tau)\; =\; \backslash \; int\_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \backslash \; infty\; S\; (f)\; \backslash \; lechuga\; romano\; (2\; \backslash \; pi\; f\; \backslash )\; \backslash ,\; del\; tau\; df$

$S\; (f)\; =\; \backslash \; int\_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \backslash \; infty\; R\; (\backslash \; tau)\; \backslash \; lechuga\; romano\; (2\; \backslash \; pi\; f\; \backslash )\; \backslash ,\; del\; tau\; d\; \backslash \; tau.$

Análisis de regresión

En el análisis de regresión usar los datos de la serie de tiempo, autocorrelación de las residuales (" terms" del error;, en la econometría ) está un problema.

La autocorrelación viola la asunción de OLS que los términos del error son sin correlación. Mientras que no predispone las estimaciones del coeficiente de OLS, los errores estándar tienden a ser subestimados (y las calificaciones T a ser sobrestimados).

La prueba tradicional para la presencia de autocorrelación de primer orden es la estadística de Durbin-Watson o, si las variables explicativas incluyen una variable dependiente retardada, la estadística de h de Durbin. Una prueba más flexible, cubriendo la autocorrelación de órdenes más altas y aplicable independientemente de si los regressors incluyen retrasos de la variable dependiente, es la prueba de Breusch-Godfrey. Esto implica una regresión auxiliar, en donde las residuales obtenidas de estimar el modelo del interés se regresan en (a) los regressors originales y (b) los retrasos del k de las residuales, donde está la orden el k de la prueba. La versión más simple de la estadística de prueba de esto la regresión auxiliar es el TR ², donde está el tamaño el T de muestra y el R ² es el coeficiente de la determinación . Bajo hipótesis nula de ninguna autocorrelación, esta estadística está distribuido asintótico como Χ² con grados del k de libertad.

Las respuestas a la autocorrelación diferente a cero incluyen los m3inimos cuadr3aticos generalizados y los errores estándar del Newey-Oeste.

Usos

El uso del

uno de la autocorrelación es la medida de los espectros ópticos y la medida de los pulsos de la luz de la muy-corto-duración producidos por los lasers ambos usar los autocorrelators ópticos .

en la óptica, las autocorrelaciones normalizadas y las correlaciones cruzadas dan el grado de la coherencia de un campo electromagnético.

en el tratamiento de señales, autocorrelación puede dar la información sobre la repetición de acontecimientos como los golpes musicales o las frecuencias del pulsar, aunque no puede decir la posición a tiempo del golpe. Puede también ser utilizado para estimar la echada de un tono musical.

Ver también

Correlación cruzada
Espectroscopia de la correlación de la fluorescencia
Autocorrelación óptica

.

Zenithic

Dave Stallworth

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