En las matemáticas, un automorfismo es un isomorfismo de un objeto matemático a sí mismo. Es, en un cierto sentido, una simetría del objeto, y una manera de que traza el objeto a sí mismo mientras que preserva toda su estructura. El sistema de todos los automorfismos de un objeto forma un grupo, llamado el grupo del automorfismo del . Es, libremente hablando, el grupo de la simetría del objeto.

Definición

La definición exacta de un automorfismo depende del tipo de " object" matemático; en la pregunta y qué, constituye exacto un " isomorphism" de ese objeto. El ajuste más general en el cual estas palabras tienen significado es una rama abstracta de la teoría llamada las matemáticas de la categoría. La teoría de la categoría se ocupa de los objetos abstractos y Morphisms entre esos objetos.

En teoría de la categoría, un automorfismo es un Endomorphism (es decir un Morphism de un objeto a sí mismo) que es también un isomorfismo (en el sentido categórico de la palabra).

Esto es una definición muy abstracta puesto que, en teoría de la categoría, los morphisms no son necesario funciones y los objetos no son necesario sistemas. En la mayoría de los ajustes concretos, sin embargo, los objetos serán sistemas con un poco de estructura adicional y los morphisms serán funciones que preservan esa estructura.

En el contexto de la álgebra del extracto, por ejemplo, un objeto matemático es una estructura algebraica tal como un grupo, anillo, o espacio de vector . Un isomorfismo es simplemente un homomorfismo Bijective . (Por supuesto, la definición de un homomorfismo depende del tipo de estructura algebraica; ver, por ejemplo: Homomorfismo del grupo, homomorfismo del anillo, y operador linear ).

Grupo del automorfismo

Los automorfismos de una forma del X del objeto al grupo bajo composición Morphisms este grupo se llaman el grupo del automorfismo del del X . Que esto es de hecho un grupo es simple ver:
Encierro : la composición de dos endomorphisms es otro endomorphism.
Associativity : la composición de funciones es el siempre asociativo.
Identidad : la identidad es el morphism de la identidad de un objeto a sí mismo cuál existe por definición.
Lo contrario : por definición cada isomorfismo tiene lo contrario que sea también un isomorfismo, y puesto que lo contrario es también un endomorphism del mismo objeto es un automorfismo.

El grupo del automorfismo de un X del objeto en un C de la categoría es el denotado C ( X ) de Aut_{, o simplemente Aut ( X ) si la categoría está clara de contexto.}

Ejemplos

En la teoría determinada, un automorfismo de un X del sistema es una permutación arbitraria de los elementos del X . El grupo del automorfismo del X también se llama el el grupo simétrico en el X .

en la aritmética elemental, el sistema del Z de los números enteros, considerado como grupo bajo adición, tiene un automorfismo no trivial único: negación. Considerado como anillo, sin embargo, tiene solamente el automorfismo trivial. Hablando en t3erminos generales, la negación es un automorfismo de cualquier grupo abeliano, pero no de un anillo o de un campo.
El automorfismo del grupo del

A es un isomorfismo del grupo de un grupo a sí mismo. Informal, es una permutación de los elementos del grupo tales que sigue habiendo la estructura sin cambiar. Para cada G del grupo hay un → natural Aut ( G ) de G homomorfismo del grupo cuyo núcleo es el centro G . Así, si el G es centerless puede ser encajado en su propio grupo del automorfismo. (Véase la discusión sobre automorfismos internos abajo).

en la álgebra linear, un endomorphism de un V del espacio de vector es un V del → del V del operador linear . Un automorfismo es operador linear inversible en el V . Cuando el espacio de vector es finito-dimensional, el grupo del automorfismo del V es igual que el grupo linear general, GL ( V ).
El automorfismo del campo del

A es un homomorfismo bijective del anillo de un campo a sí mismo. En el caso del Q de los números racionales no hay automorfismos no triviales del campo; en el caso del R de los números verdaderos no hay automorfismos del campo orden-que preservan no trivial (es decir, automorfismos del campo pedido ). En el caso del C de los números complejos, hay un automorfismo no trivial único que envía el R en el R : la conjugación compleja, pero allí es infinitamente ( uncountably ) mucha " wild" automorfismos (si se asume que el axioma de la opción ). Los automorfismos del campo son importantes para la teoría de las extensiones de Galois de las extensiones del campo particularmente en el caso de un L / K de la extensión de Galois que el subgrupo de todos los automorfismos del L pointwise del K de la fijación de se llama el grupo de Galois de la extensión.

en la teoría de gráfico un automorfismo de un gráfico es una permutación de los nodos que preserva los bordes y los no-bordes. Particularmente, si dos nodos son ensamblados por un borde, están tan sus imágenes bajo permutación.

para las relaciones, considera. En la teoría de la orden, ver el pedir el automorfismo .

un automorfismo de un multíple M diferenciable es un Diffeomorphism del M a sí mismo. El grupo del automorfismo es a veces Diff denotado ( M ).

en la geometría Riemannian un automorfismo es un self- Isometry . Llaman el grupo del automorfismo también el grupo de Isometry.

en la categoría de las superficies de Riemann un automorfismo es un mapa biholomorphic bijective (también llamado un el mapa conformal ), de una superficie a sí mismo. Por ejemplo, los automorfismos de la esfera de Riemann son las transformaciones de Möbius

Automorfismos internos y externos

En un cierto categories— el agrupa notablemente los anillos del y el mdash de las álgebra de mentira ; es posible separar automorfismos en dos tipos, llamados " inner" y " outer" automorfismos.

En el caso de grupos, los automorfismos internos son las conjugaciones al lado de los elementos del grupo sí mismo. Para cada del elemento un de un G, conjugación del grupo por el un es el del φ _{de la operación al} :   de G del ; →  G dado por el del φ _un ( g ) = ^{&minus del aga del ; 1} (o un ^{&minus de ; 1} GA ; el uso varía). Uno puede comprobar fácilmente que la conjugación por el un es un automorfismo del grupo. Los automorfismos internos forman un subgrupo normal de Aut ( G ), denotado por Inn ( G ); esto se llama el lema de Goursat.

Los otros automorfismos se llaman los automorfismos externos el   del grupo Aut ( G ) del cociente; /  El mesón ( G ) es denotado generalmente por hacia fuera (el G ); los elementos no triviales son los cosets que contienen los automorfismos externos.

La misma definición celebra en cualquier anillo de Unital o la álgebra donde está cualquier elemento el un inversible . Para las álgebra de mentira la definición es levemente diferente.

Ver también

Anillo de Endomorphism
Antiautomorphism
Automorfismo de Frobenius

.

Zenithic

Silicon Dreams trilogy

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