Un axioma es una oración o un asunto que no se prueban o no se demuestran y se considera como evidente en sí o como consenso necesario inicial para un edificio o una aceptación de la teoría . Por lo tanto, se toma para concedido como verdad, y sirve como punto de partida para deducir e inferencing otras (verdades del dependiente de la teoría). de las matemáticas del de In, un axioma del es cualquier asunción que comienza de la cual otras declaraciones se deriven lógicamente. Puede ser una oración, un asunto, una declaración o una regla que permite la construcción de un sistema formal . Desemejante de los teoremas, los axiomas no se pueden derivar por principios de deducción, ni son demostrables por las pruebas-simple formales porque están comenzando asunciones-allí no son nada que siguen lógicamente de (si no serían llamados los teoremas ). En muchos contextos, " axioma, " " Postulado, " y " assumption" se utilizan alternativamente.
Según lo considerado de la definición, un axioma no es necesario una verdad evidente en sí, sino algo una expresión lógica formal usada en una deducción para rendir otros resultados. Para axiomatize un sistema de conocimiento es demostrar que algunas de sus demandas se pueden derivar de un sistema pequeño, bien-entendido de oraciones. Esto no implica que habrían podido ser sabidas independiente, y hay maneras típicamente múltiples de axiomatize un sistema dado de conocimiento (tal como aritmético). Las matemáticas distinguen dos tipos de axiomas: axiomas lógicos y axiomas no-lógicos .
En teorías de las ciencias naturales del, un axioma se considera como verdad evidente que no necesite ninguna explicación y se acepta sin ninguna demostración o prueba en su dominio del uso. La debilidad, la aplicabilidad o la utilidad de tales teorías lógicamente correctas depende de la opción arbitraria de sus axiomas.
En la ingeniería, los axiomas se aceptan sin pruebas formales pero su opción se puede negociar de los puntos de vista de la utilidad y de la economía. Pueden también ser considerados como hipótesis en el modelado, y ser cambiados después de la validación del modelo/de la teoría.
La declaración explícita de axiomas es la condición necesaria para el computationallity de una teoría o un modelo o un método. En este sentido, el axioma del se puede ver como concepto dominio-dependiente relativo, por ejemplo, en cada programa informático, las declaraciones iniciales se pueden considerar como sus axiomas locales del .
Del más general sistémico y de la perspectiva meta-teórica, ver los teoremas de Gödel y la meta-teoría de la TOGA, 1993, que cada teoría tienen que basar en el los axiomas explícitos implícitos de o . Pueden ser construidos, en el nivel de Metatheory, qué requiere la meta - axiomas/asunciones.
Etimología
El " de la palabra; axiom" viene de la palabra griega αξιωμα (axioma del ), así que ella significa el que se juzgue digno o apto o el que se considere el evidente en sí. La palabra viene de αξιοειν (axioein del ), significando juzgar digna, que alternadamente viene de αξιος (axios del ), el significar digno. Entre los filósofos del griego clásico un axioma era una demanda que se podría considerar para ser verdad sin ninguna necesidad de la prueba.
Desarrollo histórico
Griegos tempranos
El método logico-deductivo por el que las conclusiones (nuevo conocimiento) sigan de las premisas (viejo conocimiento) con el uso de las discusiones sanas (syllogisms, reglas de inferencia), fue desarrollado por los griegos clásicos, y se ha convertido en el principio de la base de matemáticas modernas. Las tautologías excluidas, nada pueden ser deducidas si no se asume nada. Los axiomas y los postulados son las asunciones básicas que son la base de un cuerpo dado del conocimiento deductivo. Se aceptan sin la demostración. El resto de las aserciones (teoremas si estamos hablando de matemáticas) se deben probar con la ayuda de estas asunciones básicas. Sin embargo, la interpretación del conocimiento matemático ha cambiado a partir de épocas antiguas de los términos del al axioma modernos, y por lo tanto y al asimiento del postulado del un significado levemente diverso para el matemático del hoy, que hicieron para el Aristotle y el Euclid .Los griegos clásicos consideraban la geometría como apenas uno de varias ciencias y llevaron a cabo los teoremas de la geometría en igualdad con hechos científicos. Como tal, desarrollaron y utilizaron el método logico-deductivo como medio para evitar error, y para el conocimiento de estructuración y de comunicación. El analytics posterior de Aristotle es una exposición definitiva de la visión clásica.
Un “axioma”, en terminología clásica, refirió a una asunción evidente en sí común a muchas ramas de la ciencia. Un buen ejemplo sería la aserción que resulta el del
cuando una cantidad igual se toma de iguales, una cantidad igual.
En la fundación de las varias ciencias poner ciertas hipótesis adicionales que fueron aceptadas sin prueba. Tal hipótesis fue llamada un postulado del . Mientras que los axiomas eran comunes a muchas ciencias, los postulados de cada ciencia particular eran diferentes. Su validez tuvo que ser establecida por medio de experiencia del mundo real. De hecho, Aristotle advierte que el contenido de una ciencia no pueda ser comunicado con éxito, si el principiante está en duda sobre la verdad de los postulados.
Está bien ilustrado el acercamiento clásico por los elementos de Euclid, donde una lista de aserciones de los axiomas (muy básico, evidente en sí) y se dan los postulados (hechos geométricos common-sensical extraídos de nuestra experiencia).
Axioma 1 del
: Las cosas que son iguales a la misma cosa son también iguales a una otra.
Axioma 2: Si los iguales se agreguen a los iguales, los wholes son iguales.
Axioma 3: Si los iguales se resten de iguales, los restos son iguales.
Axioma 4: Las cosas que coinciden el uno con el otro son iguales a una otra.
Axioma 5: El conjunto es mayor que la partición.
Postulado 1 del
: Es posible extraer una línea recta de cualquier punto a cualquier otro punto.
Postulado 2: Es posible producir una línea recta finita continuamente en una línea recta.
Postulado 3: Es posible describir un círculo con cualquier centro y cualquier radio.
Postulado 4: Es verdad que todos los ángulos rectos son iguales a uno otro.
Postulado 5 : Es verdad que, si una línea recta que cae en dos líneas rectas hace el los ángulos interiores en el mismo lado menos de dos ángulos rectos, las dos líneas rectas, si están producidas indefinidamente, intersecan en ese lado en el cual estén los ángulos menos que los dos ángulos rectos.
Desarrollo moderno
Una lección docta por matemáticas en los 150 años pasados es que es útil pelar el significado lejos de las aserciones matemáticas (los axiomas, postulados, proponen, teoremas) y de las definiciones. Esta abstracción, una pudo incluso decir la formalización, hace conocimiento matemático más general, capaz de diversos significados múltiples, y por lo tanto útil en contextos múltiples.Las matemáticas del Structuralist van más lejos, y desarrollan las teorías y los axiomas (e. teoría de campo, teoría de grupo, topología, espacios de vector ) sin ninguÌn uso particular de en mente. La distinción entre un “axioma” y un “postulado” desaparece. Los postulados de Euclid son motivados provechoso diciendo que llevan a una gran abundancia de hechos geométricos. La verdad de estos hechos complicados se basa sobre la aceptación de las hipótesis básicas. No obstante rechazando el quinto postulado del Euclid, conseguimos las teorías que tienen significado en contextos más amplios, la geometría hiperbólica por ejemplo. Debemos ser preparados simplemente para utilizar etiquetas como “línea” y “paralelo” a mayor flexibilidad. El desarrollo de la geometría hiperbólica enseñó a matemáticos que los postulados se deben mirar como declaraciones puramente formales, y no como hechos basados en experiencia.
Cuando los matemáticos emplean los axiomas de un colocan, las intenciones son aún más abstractos. Los asuntos de la teoría de campo no se refieren a ninguÌn un uso particular; el matemático ahora trabaja en la abstracción completa. Hay muchos ejemplos de campos; la teoría de campo da el conocimiento correcto sobre ellos todo.
No está correcto decir que los axiomas de la teoría de campo son los “asuntos que se miran como verdades sin prueba.” Algo, los axiomas del campo son un sistema de apremios. Eventualmente el sistema dado de adición y de multiplicación satisface estos apremios, después uno está en una posición para saber inmediatamente mucha de información adicional sobre este sistema.
Las matemáticas modernas formalizan sus fundaciones hasta tal punto que las teorías matemáticas se pueden mirar como objetos matemáticos, y la lógica sí mismo se puede mirar como rama de las matemáticas. El Frege, el Russell, el Poincaré, el Hilbert, y el Gödel son algunas de las figuras claves en este desarrollo.
En la comprensión moderna, un sistema de axiomas es cualquier colección de aserciones formalmente indicadas de las cuales otras aserciones formalmente indicadas sigan por el uso de ciertas reglas bien definidas. En esta visión, la lógica se convierte en apenas otro sistema formal. Un sistema de axiomas debe ser el constante; debe ser imposible derivar una contradicción del axioma. Un sistema de axiomas debe también ser non-redundant; una aserción que se puede deducir de otros axiomas no necesita ser mirada como axioma.
Era la esperanza temprana de lógicos modernos que las varias ramas de las matemáticas, quizás de todas las matemáticas, se podrían derivar de una colección constante de axiomas básicos. Un éxito temprano del programa formalista era formalización de Hilbert de la geometría euclidiana, y la demostración relacionada de la consistencia de esos axiomas.
En un contexto más amplio, había una tentativa de basar todas las matemáticas en la teoría determinada del del chantre. Aquí la aparición de la paradoja de Russell, y las antinomias similares de la teoría determinada ingenua mencionaron la posibilidad que cualquier sistema podría resultar para ser contrario.
El proyecto formalista sufrió un revés decisivo, cuando en Gödel 1931 demostró que es posible, para cualquier sistema suficientemente grande de los axiomas (axiomas de Peano, por ejemplo) para construir una declaración cuya verdad es independiente de eso fijó de axiomas. Como corolario, Gödel probó que la consistencia de una teoría como el Peano aritmético es una aserción imposible de demostrar dentro del alcance de esa teoría.
Es razonable creer en la consistencia de la aritmética de Peano porque es satisfecho por el sistema de los números naturales un infinito pero sistema formal intuitivo accesible. Sin embargo, no hay actualmente manera sabida de demostrar la consistencia de los axiomas modernos de Zermelo-Frankel para la teoría determinada. El axioma de la opción, una hipótesis dominante de esta teoría, sigue siendo una asunción muy polémica. Además, usar técnicas forzar ( Cohen ) uno puede demostrar que la hipótesis (chantre) de la serie continua es independiente de los axiomas de Zermelo-Frankel. Así, incluso este sistema muy general de axiomas no se puede mirar como la fundación definitiva para las matemáticas.
Lógica matemática
En el campo de la lógica matemática, una distinción clara se hace entre dos nociones de axiomas: axiomas lógicos y axiomas no-lógicos (algo similares a la distinción antigua entre el " axioms" y " postulates" respectivamente)
Axiomas lógicos
Éstas son ciertas fórmulas en una lengua que sean el universal válido, es decir, las fórmulas que son satisfechos al lado de cada estructura bajo cada función variable de la asignación. En términos familiares, éstas son las declaraciones que son el verdadero en cualquier universo posible, bajo cualquier interpretación posible y con cualquier asignación de valores. Generalmente uno toma como lógico por lo menos de los axiomas un cierto sistema mínimo de tautologías que sea suficiente para probar todas las tautologías en la lengua; en el caso de la lógica de predicado axiomas más lógicos que ése se requieren, para probar las verdades lógicas que no son tautologías en el sentido terminante.
Ejemplos
Lógica proposicional
En la lógica proposicional es común tomar como axiomas lógicos todas las fórmulas de las formas siguientes, donde el , el , y el pueden ser cualquier fórmula de la lengua y donde están solamente " los conectadores primitivos incluido; " para la negación inmediatamente después de la preposición y del " " para la implicación de antecedente a los asuntos consiguientes:
Cada uno de estos patrones es un esquema, una regla del axioma para generar un número infinito de axiomas. Por ejemplo, si , , y son variables proposicionales, después y al es ambos casos del esquema 1 del axioma, y por lo tanto es axiomas. Puede ser demostrado que con solamente estos esquemas y ponens de tres axiomas del modo, uno puede probar todas las tautologías del cálculo proposicional. Puede también ser demostrado que no hay par de estos esquemas suficiente para probar todas las tautologías con los ponens del modo del .
Otros esquemas del axioma que implican iguales o los diversos sistemas de conectadores primitivos pueden ser construidos alternativo.
Estos esquemas del axioma también se utilizan en el cálculo de predicado, pero los axiomas lógicos adicionales son necesarios incluir un cuantificador en el cálculo.
Lógica matemática
style=" del
es universal válido.
Esto significa ese, para cualquier , el se puede mirar como axioma. También, en este ejemplo, para esto a no bajar en la imprecisión y una serie interminable de " notions" primitivo;, cualquiera una noción exacta de lo que significamos por el (o, para esa materia, " para ser equal") tiene que ser el primer establecido, o un uso puramente formal y sintáctico del tiene que ser hecho cumplir, sólo la consideración de él como una secuencia y solamente cadena de símbolos, y de la lógica matemática hace de hecho eso.
Otro, un esquema más interesante del axioma del ejemplo, es el que provee de nosotros qué se conoce como particularización universal :
style=" del es universal válido.
Donde el del símbolo representa el con el substituido para el . (Véase la substitución variable .) En términos informales, este ejemplo permite que nosotros indiquemos que, si sabemos que cierto se sostiene para cada y que el represente un objeto particular en nuestra estructura, después nosotros debe poder demandar el . Una vez más estamos demandando que el es válido, es decir, debemos poder dar un " proof" de este hecho, o más correctamente del discurso, un metaproof del . Realmente, estos ejemplos son los metatheorems del de nuestra teoría de la lógica matemática puesto que nos estamos ocupando del mismo concepto de la prueba sí mismo del . Aparte de esto, podemos también tener generalización existencial :
style=" del es universal válido.
axiomas No-lógicos
los axiomas No-lógicos son las fórmulas que desempeñan el papel de asunciones teoría-específicas. Razonando cerca de dos diversas estructuras, por ejemplo los números naturales y los números enteros pueden implicar los mismos axiomas lógicos; los axiomas no-lógicos apuntan capturar cuál es especial sobre una estructura particular (o el sistema de estructuras, tales como grupos ). Los axiomas así no-lógicos, desemejante de axiomas lógicos, no son las tautologías del . Otro nombre para un axioma no-lógico es el postulado del .
Casi cada teoría matemática moderno empieza con un sistema dado de axiomas no-lógicos, y fue pensado que en principio cada teoría se podría axiomatized de esta manera y formalizar abajo a la lengua pelada de fórmulas lógicas. Esto resultó ser imposible y demostrada ser absolutamente una historia (el considera debajo de ); este acercamiento se ha resucitado al menos recientemente bajo la forma de Neo-logicism .
los axiomas No-lógicos a menudo se refieren simplemente como axiomas del en discurso matemático. Esto no significa que está demandado que son verdades en un cierto sentido absoluto. Por ejemplo, en un cierto agrupa, el grupo que la operación es el comutativo, y esto se puede afirmar con la introducción de un axioma adicional, pero sin este axioma podemos hacer teoría de grupo (el más general absolutamente bien que se convierte), y podemos incluso tomar su negación como axioma para el estudio de grupos no conmutativos.
Así, un axioma del es una base elemental para un sistema de lógica formal que junto con las reglas de inferencia definen un sistema deductivo .
Ejemplos
Esta sección da ejemplos de las teorías matemáticas que se desarrollan enteramente de un sistema de los axiomas no-lógicos (axiomas, en adelante). Un tratamiento riguroso de ninguno de estos asuntos comienza con una especificación de estos axiomas.
Las teorías básicas, tales como aritmético, el análisis verdadero y el análisis complejo se introducen a menudo non-axiomatically, pero hay implícito o explícitamente generalmente una asunción que los axiomas que son utilizados son los axiomas de la teoría determinada de Zermelo-Fraenkel con ZFC bien escogido, abreviado, o un cierto sistema muy similar de la teoría determinada axiomática, lo más a menudo posible teoría determinada de Von Neumann-Bernays-Gödel, abrevió NBG. Esto es una extensión conservadora de ZFC, con teoremas idénticos sobre sistemas, y por lo tanto muy estrechamente vinculado. Teorías a veces levemente más fuertes tales como teoría determinada de Morse-Kelley o teoría determinada con un cardenal fuerte inaccesible que permite el uso de un universo de Grothendieck se utilizan, pero de hecho la mayoría de los matemáticos pueden probar realmente que todos lo que necesitan en los sistemas más débiles que ZFC, tal como aritmética Second-order .
El estudio de la topología en matemáticas extiende por todas partes a través de la topología determinada del punto, de la topología algebraica, de la topología diferenciada, y de toda la parafernalia relacionada, tal como teoría de la homología, la teoría de Homotopy. El desarrollo de la álgebra del extracto del traída consigo mismo la teoría de grupo, suena y los campos, teoría de Galois .
Esta lista se podía ampliar para incluir la mayoría de los campos de las matemáticas, incluyendo la teoría determinada axiomática, la teoría de medida, la teoría ergódica, la probabilidad, la teoría de la representación, y la geometría diferenciada .
Aritmético
Los axiomas de Peano son la axiomatización más ampliamente utilizada del de la aritmética de primer orden . Son un sistema de axiomas bastante fuertes a probar muchos hechos importantes sobre la teoría de número y ellos permitió que Gödel estableciera su teorema famoso del estado incompleto segundo.Tenemos lengua donde está un símbolo y un somos una función singular y los axiomas siguientes: para cualquie con una variable libre.
La estructura estándar es = \ langle \ N, 0, S \ rangle \, donde está el sistema el del