En las matemáticas, el axioma del de la opción, o la CA, es un axioma de la teoría determinada . Intuitivo hablando, el axioma de la opción dice que dado cualquier colección de compartimientos, cada contener por lo menos un objeto, un objeto se puede seleccionar exactamente de cada compartimiento, incluso si hay el infinitamente muchos compartimientos y no hay " rule" para que qué objeto escoja de cada uno. El axioma de la opción no se requiere si el número de compartimientos es finito o si tal " de la selección; rule" está disponible.

Fue formulado en 1904 por el Ernst Zermelo . Mientras que era original polémico, ahora es utilizado sin la reservación por la mayoría de los matemáticos. Sin embargo, hay escuelas del pensamiento matemático, sobre todo dentro de la teoría determinada, que rechazar el axioma de la opción o investigar las consecuencias de los axiomas contrarios con la CA.

Declaración

El axioma de los estados de la opción: el

l dejó el X ser un fijado de los sistemas no vacíos entonces que podemos elegir a un solo miembro de cada sistema en el X .

Una función bien escogida es un f de la función en un X de la colección de sistemas tales que para cada s del sistema en el X, f ( s ) está un elemento del s . Con este concepto, el axioma puede ser indicado: el para fijado de los sistemas no vacíos, X, allí existe un f de la función bien escogida definidos en el X . O alternativo: el un producto de cartesiano arbitrario de sistemas no vacíos es no vacío. O lo más compacto posible: el cada sistema de sistemas no vacíos tiene una función bien escogida. Esto permite inmediatamente una formulación compacta de la negación del axioma de la opción: el allí existe un sistema de sistemas no vacíos que no tenga ninguna función bien escogida.

Variantes

Una segunda versión del axioma de los estados de la opción: el dado fijado de en parejas desune sistemas no vacíos de, allí existe por lo menos un sistema que contenga exactamente un elemento en común con cada uno de los sistemas no vacíos. Algunos autores utilizan una tercera versión que diga con eficacia: el para A fijada, el Powerset de A (menos el sistema vacío) tiene una función bien escogida. Los autores que utilizan esta formulación hablan a menudo de la función bien escogida del en A, pero se aconsejen que ésta es una noción levemente diversa de la función bien escogida. Su dominio es el powerset del A (menos el sistema vacío), y así que tiene sentido para cualquier A del sistema, mientras que con la definición usada a otra parte en este artículo, el dominio de una función bien escogida en una colección del de los sistemas es esa colección, y tiene tan solamente sentido para los sistemas de sistemas. Con esta noción alterna de la función bien escogida, el axioma de la opción puede compacto ser indicado pues el cada sistema tiene una función bien escogida. cuál es equivalente al para A fijada hay un f de la función tales que para cualquier subconjunto no vacío B de A, el f (b) miente en B y la negación del axioma de la opción se expresa así: el allí es un sistema A tales que para todo el f de las funciones (en el sistema de subconjuntos no vacíos de A), hay un B tales que el f (b) no miente en B.

Uso

Hasta el siglo de fines del siglo diecinueve, el axioma de la opción era de uso frecuente implícito, aunque todavía no hubiera sido indicado formalmente. Por ejemplo, después estableciendo que el X del sistema contiene solamente sistemas no vacíos, un matemático pudo haber dicho el " dejar el F ser uno de los miembros del s para todo el s en el X . " Es generalmente imposible probar que el F existe sin el axioma de la opción, pero éste parece haber ido inadvertido hasta Zermelo.

No cada situación requiere el axioma de la opción. Para el finito X de los sistemas, el axioma de la opción sigue de los otros axiomas de la teoría determinada. En ese caso es equivalente a decir que si tenemos varias (un número finito de) cajas, cada contener por lo menos un artículo, después podemos elegir exactamente un artículo de cada caja. Podemos hacer claramente esto: Comenzamos en la primera caja, elegimos un artículo; ir a la segunda caja, elegir un artículo; y así sucesivamente. El número de cajas es finito, nuestro procedimiento bien escogido acaba tan eventual. El resultado es una función bien escogida explícita: una función que lleva la primera caja el primer elemento que elegimos, la segunda caja a el segundo elemento elegimos, y así sucesivamente. (La prueba formal de A para todos los sistemas finitos utilizaría el principio de la inducción matemática .)

Que el infinito X, de los sistemas de cierto es también posible evite el axioma de la opción. Por ejemplo, suponer que los elementos del X son sistemas de números naturales. Cada sistema no vacío de números naturales tiene un elemento más pequeño, así que especificar nuestra función bien escogida podemos decir simplemente que lleva cada sistema el menos elemento de eso fijó. Esto nos da una opción definida de un elemento de cada sistema y podemos anotar una expresión explícita que nos diga qué valor toma nuestra función bien escogida. Cualquier momento es posible especificar una opción tan explícita, el axioma de la opción es innecesario.

La dificultad aparece cuando no hay opción natural de elementos de cada sistema. ¿Si no podemos tomar decisiones explícitas, cómo sabemos que existe nuestro sistema? Por ejemplo, suponer que el X es el sistema de todos los subconjuntos no vacíos de los números verdaderos primero que puede ser que intentemos para proceder como si el X fuera finito. Si intentamos elegir un elemento de cada sistema, después, porque el X es infinito, nuestro procedimiento bien escogido nunca acabará, y por lo tanto, nunca podremos producir una función bien escogida para todo el X . De modo que no trabaje. Puede ser que intentemos después el truco de especificar el menos elemento de cada sistema. Pero algunos subconjuntos de los números verdaderos no tienen menos elementos. Por ejemplo, el intervalo abierto (0.1) no tiene un menos elemento: Si el x está adentro (0.1), después está tan el x /2, y el x /2 es siempre terminantemente más pequeño que el x . Tan tomar menos elementos no trabaja, tampoco.

La razón que podemos elegir menos elementos de los subconjuntos de los números naturales es el hecho de que vienen los números naturales pre-equipado de un Bien-que pide cada subconjunto de los números naturales tiene un único menos elemento bajo ordenar natural. Quizás si éramos listos puede ser que digamos, " Aunque el ordenar generalmente de los números verdaderos no trabaja, puede ser posible encontrar diversa ordenar de los números verdaderos que sea una bien-petición. Entonces nuestra función bien escogida puede elegir el menos elemento de cada sistema debajo de nuestro ordering." inusual; El problema entonces se convierte en el de construir una bien-petición, que resulta requerir el axioma de la opción para su existencia; cada sistema puede ser well-ordered si y solamente si el axioma de la opción es verdad.

Desventajas

Una prueba que requiere el axioma de la opción es necesario el nonconstructive: incluso si la prueba establece la existencia de un objeto, todavía será imposible especificar exactamente cuáles es ese objeto. Por ejemplo, mientras que el axioma de la opción afirma que hay una bien-petición de los números verdaderos, no nos da un ejemplo de uno. Como otro ejemplo, un subconjunto de los números verdaderos que es el Lebesgue-inmensurable se puede demostrar para existir usar el axioma de la opción, pero no puede ser construido. Algunos matemáticos tienen aversión el axioma de la opción porque produce las cosas intangibles . Por ejemplo, los constructivists postulan que todas las pruebas de la existencia deben ser total explícitas; debe ser posible construir cualquier cosa que existe. Rechazan el axioma de la opción porque afirma la existencia de un objeto sin decir cuáles es. Por una parte, el hecho mero de que uno haya utilizado el axioma de la opción para probar la existencia de un sistema no significa que no puede ser construido por otro método.

Otra razón que algunos matemáticos tienen aversión el axioma de la opción es que implica la existencia de algunos objetos antiintuitivos extraños. Un ejemplo de esto es la paradoja de Banach-Tarski que dice en efecto que es posible al " dividir el " la bola de unidad sólida de 3 dimensiones en finito muchos pedazos y, con solamente la rotación y la traducción, vuelve a montar los pedazos en dos bolas cada uno con el mismo volumen que la original. Observar que la prueba, como todas las pruebas que implican el axioma de la opción, es una prueba de la existencia solamente: no nos dice cómo dividir la esfera de unidad para hacer que sucede esto, simplemente nos dice que puede ser hecha.

Por una parte, la negación del axioma de la opción es también antiintuitiva a algunos matemáticos. Por ejemplo, el " de la declaración; Para cualquier S de dos sistemas y el T, la cardinalidad S está inferior o igual la cardinalidad del T o la cardinalidad del T es inferior o igual la cardinalidad del " del S ; es equivalente al axioma de la opción. Puestos diferentemente, si el axioma de la opción es falso, después hay el S de los sistemas y el T del tamaño incomparable: ni unos ni otros se pueden trazar en una manera una por sobre un subconjunto del otro.

Una tercera posibilidad es probar teoremas usar ni el axioma de la opción ni su negación, una táctica preferred en matemáticas constructivas. Tales declaraciones serán verdades en cualquier modelo de la teoría determinada de Zermelo-Fraenkel, sin importar la verdad o la falsedad del axioma de la opción en ese modelo particular. Esto rinde cualquier demanda que confíe en el axioma de la opción o su negación undecidable. Por ejemplo, bajo tal asunción, la paradoja de Banach-Tarski es ni verdad ni falsa: Es imposible construir una descomposición de la bola de unidad que se puede volver a montar en bolas de dos unidades, y es también imposible probar que no puede ser hecha. Sin embargo, la paradoja de Banach-Tarski se puede reformular como declaración sobre modelos de ZF diciendo, " En cualquier modelo de ZF en el cual la CA sea verdad, la paradoja de Banach-Tarski es true." Semejantemente, todas las declaraciones enumeraron debajo de cuáles requieren la opción o una cierta versión más débil de eso para su prueba es undecidable en ZF, pero puesto que cada uno es demostrable en cualquier modelo de ZFC, hay modelos de ZF en el cual cada declaración sea verdad.

Alternativas y formas más débiles

Hay varias declaraciones más débiles que no son equivalentes al axioma de la opción, pero que ser estrechamente vinculado. Simple es el axioma de la opción contable (AC_ω o cc), que indica que una función bien escogida existe para cualquier contable X del sistema. Esto es suficiente generalmente al intentar hacer declaraciones sobre los números verdaderos, por ejemplo, porque los números racionales, que son contables, forman un subconjunto denso de los reals. Este axioma tiene la ventaja de ser constante con el axioma que cada subconjunto de los números verdaderos es Lebesgue-mensurable.

Ver también el teorema ideal primero boleano, el axioma de la opción dependiente (C.), y el axioma del uniformization .

Independencia

Por el trabajo Kurt Gödel y Paul Cohen, el axioma de la opción es la independiente lógicamente de los otros axiomas de la teoría determinada (ZF) de Zermelo-Fraenkel. Esto significa que ni ni su negación puede ser demostrado para ser verdad en ZF, si ZF es constante. Por lo tanto, si ZF es constante, después ZFC es constante y ZF¬C es también constante.

La decisión independientemente de si es apropiado hacer uso del axioma de la opción en una prueba no se puede tomar tan por la súplica a otros axiomas de la teoría determinada. La decisión se debe tomar en otros argumentos.

Una discusión dada a favor de usar el axioma de la opción es que es conveniente utilizarlo: usar ella no puede lastimar (no puede dar lugar a la contradicción) y no permite probar algunos asuntos que no podrían ser probados de otra manera.

El axioma de la opción no es la única declaración significativa que es independiente de ZF. Por ejemplo, la hipótesis generalizada (GCH) de la serie continua es no sólo independiente de ZF, pero también independiente de ZF más el axioma de la opción (ZFC). Sin embargo, ZF más GCH implica la CA, haciendo GCH una demanda terminantemente más fuerte que la CA, aunque él es ambo independiente de ZF.

Axiomas más fuertes

El axioma del constructibility y la hipótesis generalizada ambos de la serie continua implican el axioma de la opción, pero son terminantemente más fuertes que él.

En teorías de la clase tales como teoría determinada de Von Neumann-Bernays-Gödel y teoría determinada de Morse-Kelley, hay un axioma posible llamado el axioma de la opción global que es más fuerte que el axioma de la opción para los sistemas porque también se aplica a las clases apropiadas. Y el axioma de la opción global sigue del axioma de la limitación del tamaño .

Equivalentes

Hay un número notable de declaraciones importantes que, si se asume que los axiomas ZF pero ni CA ni ¬AC, sean equivalentes al axioma de la opción. El más importantes entre ellos son el lema de Zorn y el teorema de Bien-petición . De hecho, Zermelo introdujo inicialmente el axioma de la opción para formalizar su prueba del principio de bien-petición.
teoría determinada teorema de Bien-petición : Cada sistema puede ser well-ordered. Por lo tanto, cada cardenal tiene una inicial ordinal.
Si el A del sistema es infinito, después el A del × del A y del A tiene la misma cardinalidad .
Tricotomía : Si se dan dos sistemas, después o tienen la misma cardinalidad, o una tiene una cardinalidad más pequeña que la otra.
El producto de cartesiano de cualquier familia no vacía de sistemas no vacíos es no vacío.
Teorema de König: Familiar, la suma de una secuencia de cardenales es terminantemente menos que el producto de una secuencia de cardenales más grandes. (La razón del " del término; colloquially", es que la suma o el producto de un " sequence" de cardenales no puede ser definido sin un cierto aspecto del axioma de la opción.)
Cada función Surjective tiene una derecha inverso.
teoría de la orden Lema de Zorn: Cada sistema parcialmente pedido no vacío en el cual cada cadena (es decir subconjunto total pedido) tiene un límite superior contiene por lo menos un elemento máximo.
Principio máximo de Hausdorff: En cualquier sistema parcialmente pedido, cada subconjunto total pedido se contiene en un subconjunto total pedido máximo.
Principio máximo de Hausdorff restricto: En cualquier sistema parcialmente pedido existe un subconjunto total pedido máximo.
álgebra Cada espacio de vector tiene una base .
Cada anillo unital con excepción del anillo trivial contiene un ideal máximo .
topología general Teorema de Tychonoff que indica que cada producto de los espacios topológicos del acuerdo es compacto.
En la topología del producto, el encierro de un producto de subconjuntos es igual al producto de los encierros.
Cualquier producto de los espacios completos del uniforme es completo.

Teoría de la categoría

Hay varios resultados en la teoría de la categoría que invocan el axioma de la opción para su prueba. Estos resultados pudieron ser más débiles que, equivalente, o más fuerte que al axioma de la opción, dependiendo de la fuerza de las fundaciones técnicas. Por ejemplo, si uno define categorías en términos de sistemas, es decir, como sistemas de objetos y de morphisms (generalmente llamados un la pequeña categoría ), o aún localmente las pequeñas categorías, cuyos hom-objetos son sistemas, después allí son los sistemas que no se contienen en la categoría de los sistemas, y así que es difícil que una formulación categoría-teórica se aplique a todos los sistemas. Por una parte, otras descripciones fundacionales de la teoría de la categoría son considerablemente más fuertes, y una declaración categoría-teórica idéntica de la opción puede ser más fuerte que la formulación estándar, teoría de la clase del la del à, mencionada anteriormente.

Los ejemplos de las declaraciones categoría-teóricas que requieren la opción incluyen:
Cada pequeña categoría tiene un esqueleto .
Si dos pequeñas categorías son débil equivalente, después son el equivalente.
Cada functor continuo en una categoría pequeño-completa que satisfaga la condición determinada de la solución apropiada tiene un izquierdo-adjoint (el teorema del functor del adjoint de Freyd).

¡Resultados que requieren la CA (o formas más débiles) solamente más débil que itbase (álgebra linear) -->

Uno de los aspectos más interesantes del axioma de la opción es el gran número de lugares en las matemáticas que aparece. Aquí están algunas declaraciones que requieren el axioma de la opción en el sentido que no sean demostrables de ZF pero son demostrables de ZFC (ZF más la CA). Equivalente, estas declaraciones son verdades en todos los modelos de ZFC pero falsas en algunos modelos de ZF.
teoría determinada Cualquier unión contable de muchos sistemas contables es sí mismo contable.
Si el A del sistema es el infinito, después existe una inyección del N de los números naturales a el A (véase el Dedekind infinito).
Cada juego infinito $G\_S$ en el cual $S$ es un subconjunto de Borel del espacio de Baire es determinado .
teoría de medida El teorema de Vitali en la existencia de los sistemas No-mensurables que indica que hay un subconjunto de los números verdaderos que no es Lebesgue mensurable.
La paradoja de Hausdorff.
La paradoja de Banach-Tarski.
La medida de Lebesgue de un contable desune la unión de sistemas mensurables es igual a la suma de las medidas de los sistemas individuales.
álgebra Cada campo tiene un encierro algebraico .
Cada extensión del campo tiene una base de la trascendencia.
El teorema de la representación de la piedra para las álgebra boleanas necesita el teorema ideal primero boleano .
El teorema de Nielsen-Schreier, ese cada subgrupo de un grupo libre está libre.
Los grupos del añadido R y C son isomorfos.
análisis funcional El teorema de Hahn-Banach en el análisis funcional, permitiendo la extensión de los functionals lineares
El teorema que cada espacio de Hilbert tiene una base ortonormal.
El teorema de Banach-Alaoglu sobre la compacticidad de sistemas de functionals.
El teorema de la categoría de Baire sobre termina los espacios métricos del y sus consecuencias, tales como el teorema de trazado abierto y el teorema cerrado del gráfico.
En cada espacio de vector topológico infinito-dimensional hay un mapa linear discontinuo .
topología general Un espacio uniforme es compacto si y solamente si es completo y limitado total.
Cada espacio de Tychonoff tiene un compactification de la Piedra-Čech.

Formas más fuertes de ¬AC

Ahora, considerar formas más fuertes de la negación de la CA. Por ejemplo, si abreviamos por BP la demanda que cada sistema de números verdaderos tiene la característica de Baire, después BP es más fuerte que el ¬AC, que afirma la no existencia de cualquier función bien escogida en quizás solamente un solo sistema de sistemas no vacíos. Observar que las negaciones consolidadas pueden ser compatibles con las formas debilitadas de CA. Por ejemplo, ZF + la C. + BP es constantes, si es ZF.

Es también constante con ZF + C. que cada sistema de reals es Lebesgue mensurable; sin embargo, este resultado de la consistencia, debido al Roberto M. Solovay, no se puede probar en ZFC sí mismo, sino requiere una asunción grande del cardenal suave (la existencia de un cardenal inaccesible ). El axioma mucho más fuerte del determinacy, o el ANUNCIO, implica que cada sistema de reals es Lebesgue mensurable, tiene la característica de Baire, y tiene la característica perfecta del sistema (los tres de estos resultados son refutados por la CA sí mismo). + el ANUNCIO es constantes a condición de que un axioma cardinal grande suficientemente fuerte es constante (la existencia infinitamente de muchos cardenales de Woodin.

Resultados que requieren el ¬AC

Hay los modelos de la teoría determinada de Zermelo-Fraenkel en los cuales el axioma de la opción es falso. Abreviaremos el " Teoría determinada de Zermelo-Fraenkel más la negación del axioma del choice" por ZF¬C. Que ciertos modelos de ZF¬C, es posible prueben la negación de algunos hechos estándar. Observar que cualquier modelo de ZF¬C es también un modelo de ZF, así que para cada uno de las declaraciones siguientes, existe un modelo de ZF en el cual esa declaración sea verdad.

allí existe un modelo de ZF¬C en el cual haya un f de la función de los números verdaderos a los números verdaderos tales que el f no es continuo en el al, pero para cualquier secuencia { x_n } que converge al un, =f del n f ( x_n ) del lim _{(a).
Existe un modelo de ZF¬C en el cual los números verdaderos sean una unión contable de sistemas contables.
Existe un modelo de ZF¬C en el cual haya un campo sin encierro algebraico.
En todos los modelos de ZF¬C hay un espacio de vector sin base.
Existe un modelo de ZF¬C en el cual haya un espacio de vector con dos bases de diversos cardinalities.}

Para las pruebas, ver el Thomas Jech, el axioma de la opción, Pub americano de Elsevier.

allí existe un modelo de ZF¬C en el cual cada sistema en el n de R sea el mensurable. Así es posible excluir los resultados antiintuitivos como la paradoja de Banach-Tarski que son demostrables en ZFC. Además, esto es posible mientras que si se asume que el axioma de la opción dependiente, que es más débil que la CA pero suficiente desarrollar la mayor parte de el análisis verdadero .
En todos los modelos de ZF¬C, la hipótesis generalizada de la serie continua no se sostiene.

¡Ley del middle< excluido! -- Esta sección se liga del constructivismo (matemáticas) -->

considera también: Ley medio excluido de La asunción del axioma de la opción es también suficiente derivar la ley del centro excluido en algunos sistemas constructivos (donde la ley no se asume). Para cualquier $P\; \backslash ,$, nosotros del asunto puede estructura los sistemas

= \ {del $U\; x\; \backslash \; en\; \backslash \; \{0,\; 1\; \backslash \}:\; (x\; =\; 0)\; \backslash \; uve\; P\; \backslash \},\; V\; =\; \backslash \; \{x\; \backslash \; en\; \backslash \; \{0,\; 1\; \backslash \}:\; (x\; =\; 1)\; \backslash \; uve\; P\; \backslash \}.$

Éstos son sistemas, usar el axioma de la separación . En teoría determinada clásica esto sería equivalente a

$U\; =\; \backslash \; comienzan\; \{casos\}\; \backslash \; \{0.1\; \backslash \},\; y\; \backslash \; mbox\; \{si\}\; P\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \{0\; \backslash \},\; y\; \backslash \; mbox\; \{si\}\; \backslash \; neg\; P\; \backslash \; extremo\; \{casos\}$

y semejantemente para el $V\; \backslash ,$. Sin embargo, sin la ley del centro excluido, estas equivalencias no pueden ser probadas; de hecho los dos sistemas no son incluso demostrable el finito (en el sentido generalmente de estar en el Bijection con un número natural, aunque estarían en el sentido de Dedekind ).

Por axioma de opción, allí existir bien escogido función $f\; \backslash ,$ para sistema $\backslash \; \{U,\; V\; \backslash \}\; \backslash ,$; es decir, un $f\; de\; la\; función\; \backslash ,$ tales que

$f\; (U)\; \backslash \; en\; U\; \backslash \; la\; cuña\; f\; (V)\; \backslash \; en\; V\; \backslash ,$.

Por la definición de los dos sistemas, esto significa eso

$=\; 0)\; \backslash \; uve\; P\; \backslash \; cuña\; =\; 1)\; \backslash \; uve\; P\; \backslash ,$,

cuál implica el $f\; (U)\; \backslash \; neq\; f\; (V)\; \backslash \; la\; uve\; P$.

Pero desde $P\; \backslash \; a\; (U\; =\; V),$ (por el axioma del extensionality ),

por lo tanto $P\; \backslash \; a\; (f\; (U)\; =\; f\; (V))\; \backslash ,$,

tan $(f\; (U)\; \backslash \; neq\; f\; (V))\; \backslash \; \backslash \; neg\; P$.

Así $\backslash \; neg\; P\; \backslash \; uve\; P$.

Pues esto se podría hacer para cualquier asunto, éste termina la prueba que el axioma de la opción implica la ley del centro excluido. Las formas del axioma de la separación están disponibles en muchas teorías determinadas constructivas. En el tipo intuicionista teoría de por Martin-Löf, por una parte, los subconjuntos de un tipo tienen diversos tratamientos. Una forma del axioma de la opción es un teorema, con todo el centro excluido no es.

Cotizaciones

"¿El axioma de la opción es obviamente verdad, el principio de bien-petición obviamente falso, y quién puede hablar del lema de Zorn? " -   El de Jerry Bona esto es una broma: aunque los tres sean todo el matemáticamente equivalente, la mayoría de los matemáticos encuentran el axioma de la opción para ser intuitivos, del principio de bien-petición a ser lema antiintuitivo, y de Zorn a ser demasiado complejo para cualquier intuición.

"El axioma de la opción es necesario seleccionar un sistema de un número infinito de calcetines, pero no un número infinito de zapatos. " de ; -   El de Bertrand Russell la observación aquí es que uno puede definir una función para seleccionar de un número infinito de pares de zapatos indicando por ejemplo, elegir el zapato izquierdo. Sin el axioma de la opción, uno no puede afirmar que tal función existe para los pares de calcetines, porque los calcetines izquierdos y derechos son (probablemente) indistinguibles de uno a.

"El axioma consigue su nombre no porque los matemáticos lo prefieren al otro axioms. Dewdney esta cotización viene del artículo famoso del día de tontos de abril en la columna de las reconstrucciones de la computadora del del americano científico, abril de 1989.

Zenithic

Peer to Peer Banking

Random links:

Sayuri Yoshida | Colectividad de Winterfilm | El municipio de Heidelberg | Preon | Willie Wilson (jugador de béisbol)