(La nota que si utilizamos la convención de la intersección de Nullary, después allí no es ninguna necesidad de incluir el X en la segunda definición.)

Para el cualquie S del subcollection de de la energía determinado P ( X ), hay una topología única que tiene S como base inferior. Particularmente, la intersección de todas las topologías en el X que contiene el S satisface esta condición. Generalmente sin embargo, no hay subbasis único para una topología dada.

Así, podemos comenzar con una topología fija y encontrar las bases inferiores para esa topología, y podemos también comenzar con un subcollection arbitrario de la energía P determinado ( X ) y formar la topología generada por ese subcollection. Podemos utilizar libremente cualquier definición equivalente arriba; de hecho, en muchos casos, una de las dos condiciones es más útil que la otra.

Definición alternativa

A veces, una definición levemente diversa de la base inferior se da que requiere que el X de la cubierta del B de la base inferior. En este caso, el X es un sistema abierto en la topología generada, porque es la unión de todo el {el i del _{del B } como gamas del i} del _{del B sobre el B . Esto significa que no puede haber confusión con respecto al uso de intersecciones nullary en la definición.}

Sin embargo, con esta definición, las dos definiciones antedichas no son siempre equivalentes. Es decir existen el X de los espacios con el T, tal de la topología que existe un B del subcollection del T tales que el T es la topología más pequeña que contiene el B, con todo el B no cubre el X . En la práctica, esto una ocurrencia rara; e. una base inferior de un espacio que satisface el axioma de T₁ debe ser una cubierta de ese espacio.

Ejemplos

La topología generalmente en el R de los números verdaderos tiene una base inferior el consistir en de todos los intervalos abiertos semiinfinitos o de la forma (−∞, un ) o (el b, ∞), donde un y el b es números verdaderos. Junto, éstos generan la topología generalmente, desde el $de\; las\; intersecciones\; (a,\; b)\; =\; (-\; \backslash \; infty,\; b)\; \backslash \; el\; casquillo\; (a,\; \backslash \; infty)$ para el un < de ; el b genera la topología generalmente. Una segunda base inferior es formada tomando la subfamilia donde están el el un y el b racional. La segunda base inferior genera la topología generalmente también, desde los intervalos abiertos ( un, b ) con el un, b racional, es una base para la topología euclidiana generalmente.

La base inferior que consiste en todos los intervalos abiertos semiinfinitos de la forma (−∞, un ) solamente, donde está un número el un verdadero, no genera la topología generalmente. La topología resultante no satisface el axioma de separación T₁, puesto que toda los sistemas abiertos tiene una intersección no vacía.

La topología de la inicial definida por una familia del i del _{del f de las funciones: El i} del _{del Y del → del X, donde cada i} del _{del Y tiene una topología, es la topología más gruesa en el X tales que cada i} del _{del f es el continuo. Porque la continuidad se puede definir por las imágenes inversas de sistemas abiertos, ésta significa que la topología débil en el X es dada tomando todo el i} ⁻¹ ( i del _{del f del del U ), donde el i del del U se extiende sobre todos los subconjuntos abiertos del i del del Y, como subbasis.}

Dos casos especiales importantes de la topología inicial son la topología del producto, donde está el sistema la familia de funciones de proyecciones del producto a cada factor, y la topología del subespacio, donde la familia consiste en apenas una función, el mapa de la inclusión.

El Compacto-abre la topología en el espacio de funciones continuas del X en el Y tiene para una base inferior el sistema del $V\; del\; de\; las\; funciones\; (K,\; U)\; =\; \backslash \; \{f\; \backslash \; los\; dos\; puntos\; X\; \backslash \; a\; Y\; \backslash \; a\; mediados\; de\; f\; (K)\; \backslash \; U\; secundario\; \backslash \}$ donde está el K el compacto y el U es el abierto Y .

Resultados usar las bases inferiores

Un hecho agradable sobre las bases inferiores es que la continuidad de una función necesita solamente ser comprobada una base inferior de la gama. Es decir, si el B es una base inferior para el Y, un f de la función: El Y del → del X es el continuo f ⁻¹ ( U ) del Iff está abierto en el X para cada U en el B .

Teorema de la base inferior de Alexander

Hay un resultado significativo referente a las bases inferiores, debido al J.

Teorema : Si cada cubierta subbasic tiene un subcover finito, después el espacio es el compacto.

(El resultado correspondiente para las cubiertas básicas es trivial.)

Prueba (esquema) del : Asumir por la contradicción que el X del espacio no es compacto, con todo cada cubierta subbasic del B tiene un subcover finito. Utilizar el lema de Zorn para encontrar un C de la cubierta sin el subcover finito que es el máximo entre tales cubiertas. Eso significa que si el V no está en el C, después el ∪ del C { V } tiene un subcover finito, necesario del C ₀∪ { V } de la forma.

Considerar el B, es decir, la subfamilia subbasic del ∩ del C C . Si cubriera el X, después por hipótesis, tendría un subcover finito. Pero el C no tiene tales, así que el B del ∩ del C no cubre el X . Dejar el X del ∈ del x que no se cubre. El C cubre el X, tan para el C, U del ∈ del U del ∈ del x . El B es un subbasis, tan para un cierto S ₁,…, el B, U del S _n∈ del S _n⊆ del ∩ del S ₁∩ del ∈ del x ….

Puesto que se destapa el x, el C del i ∉ del _{del S . Según lo observado arriba, esto significa que para cada i, i} del _{del S junto con un finito i} del _{del C de la subfamilia del C, X de las cubiertas. Pero por otra parte el U y todo el X de la cubierta del i} del _{del C, así que el C tiene un subcover finito después de todos.}

Usar este teorema con la base inferior para el R arriba, uno puede dar una prueba muy fácil que los intervalos cerrados finitos en el R son compactos.

El teorema, de que de Tychonoff el producto de espacios compactos es compacto, también tiene una prueba corta. La topología del producto en el i del _{del X del i} del ∏ _{tiene, por definición, una base inferior que consiste en los sistemas del cilindro del que son las proyecciones inversas de un sistema abierto en un factor. Dado un la familia subbasic de el C del producto que no tiene un subcover finito, podemos repartir el i} del _{del C del i} del =∪ _{del C en las subfamilias que consisten en exactamente esos sistemas del cilindro que corresponden a un espacio dado del factor. Por la asunción, ningún i} del _{del C tiene un subcover finito. El ser sistemas del cilindro, éste significa que sus proyecciones sobre el i} del _{del X no tener ningún subcover finito, y desde cada i del del X es compacto, nosotros puede encontrar un i} del _{del X del i} ∈ del _{del x del punto que no sea cubierto por las proyecciones del i} del _{del C sobre el i} del _{del X . Pero por otra parte el› del i} del _{del x del ‹no es cubierto por el C .}