Definición

En las matemáticas, una base ortonormal de un V (es decir, un espacio de vector del espacio del producto interno con un producto interno), o particularmente de un H del espacio de Hilbert, está un sistema de los elementos cuyo palmo es el denso en el espacio, en que los elementos son mutuamente el ortogonal y de elementos de la magnitud 1. en una base ortogonal del no tienen que tener una magnitud de 1 pero debe ser mutuamente perpendicular. Es fácil cambiar los vectores en una base ortogonal del por múltiplos escalares para conseguir a un base ortonormal de, y esto es de hecho una manera típica que una base ortonormal está construida.

Estos conceptos son importantes ambos para los espacios finito-dimensionales e infinito-dimensionales. Para los espacios finito-dimensionales la condición de un palmo denso es igual que “palmo”, según lo utilizado en la álgebra linear .

Para un espacio de Hilbert (infinito-dimensional), una base ortonormal es el no a la base (una base de Hamel en el sentido de la álgebra linear), es decir, no es posible escribir a cada miembro del espacio como combinación linear del finito muchos miembros de una base ortonormal.

En el caso infinito-dimensional las materias de la distinción: la definición dada arriba requiere solamente que el palmo de una base ortonormal sea denso en el espacio de vector, no eso él igual el espacio entero.

Para un espacio finito-dimensional, una base ortonormal es una base de Hamel.

Una base ortonormal de un V del espacio de vector no tiene ningún sentido a menos que el V se dé un producto interno; un espacio de Banach no tiene una base ortonormal a menos que sea un espacio de Hilbert.

Ejemplos

el sistema { e ₁= (1.0), e ₂= (0.0), e ₃= (0.1)} (la base estándar) forma una base ortonormal del R ³. del
prueba del de : El cómputo directo de A demuestra ese ⟨ e ₁, e ₂⟩ = ⟨ e ₁, e ₃⟩ = ⟨ e ₂, e ₃⟩ = 0 y ése || e ₁|| = || e ₂|| = || e ₃|| = 1. { e ₁, e ₂, e ₃} está tan un sistema ortonormal. Para todos (el x, el y, el z ) en el R ³ tenemos, x, y, z) = xe_1 + ye_2 del $del\; (+\; ze\_3\; \backslash ,$
de así que {el e ₁, el e ₂, el e ₃} R ³ de los palmos y por lo tanto debe ser una base. Puede también ser demostrado que la base estándar girada sobre un eje con el origen o reflejada en un plano con el origen forma una base ortonormal del R ³.

• El sistema { n del _{del f : &isin del n ; Z } con el n} ( x ) del _{del f = exp (2π el inx del ) forma una base ortonormal del espacio complejo L² (). Esto es fundamental al estudio de la serie de Fourier Del .
  El sistema { b} del _{del e : &isin del b ; B } con el b} ( c ) = 1 del _{del e si el b = el c y 0 forma de otra manera una base ortonormal del l ² ( B ).
  Funciones propias de un eigenproblem de Sturm-Liouville.}

Fórmulas básicas

Si el B es una base ortogonal del H, después cada x del elemento del H se puede escribir como $x=\; del$

l \ sum_ {b \ en B} {\ langle x, b \ rangle \ sobre \ lVert b \ rVert^2} b

Cuando el B es ortonormal, tenemos en lugar de otro

$x=\; \backslash \; sum\_\; \{b\; \backslash \; en\}\; \backslash \; langle\; x,\; b\; \backslash \; rangle\; b$ de B

y la norma x se puede dar cerca

$\backslash |x\; \backslash |^2=\; \backslash \; sum\_\; \{b\; \backslash \; en\; B\}|\backslash \; langle\; x,\; b\; \backslash \; rangle\; |^2$.

Incluso si el B es no numerable, sólo contable muchos términos en esta suma serán diferentes a cero, y la expresión está por lo tanto bien definido. Esta suma también se llama la extensión de Fourier del del x . Ver también la serie de Fourier Generalizada .

Si el B es una base ortonormal del H, después el H es el isomorfo al l ² ( B ) en el sentido siguiente: existe un &Phi linear del mapa Bijective ; : l ² ( B ) del H -> tales que $\backslash \; langle\; \backslash \; phi\; del$

l (x), \ phi (y) \ rangle= \ langle x, y \ rangle

para todo el x y el y en el H .

Sistemas ortogonales incompletos

Dado un H del espacio de Hilbert y un S del sistema de vectores mutuamente ortogonales en el H, podemos tomar el linear cerrado más pequeño V del subespacio del H que contiene el S . Entonces el S será una base ortogonal del V ; cuál puede por supuesto ser más pequeño que el H sí mismo, el ser un sistema ortogonal incompleto del, o sea el H, cuando es un sistema ortogonal completo del .

Existencia

Usar el lema de Zorn y el Gramo-Schmidt de proceso, uno puede demostrar que el cada espacio de Hilbert admite una base y así una base ortonormal; además, cualquier dos bases ortonormales del mismo espacio tienen la misma cardinalidad . Un espacio de Hilbert es el separable si y solamente si admite una base ortonormal contable .

Relación a las bases de Hamel

Observar que en el caso infinito-dimensional, una base ortonormal no será una base en el sentido de la álgebra linear ; para distinguir los dos, las 3ultimas bases también se llaman las bases de Hamel. (Las bases de Hamel están de poco interés práctico en espacios del producto interno, mientras que las bases ortonormales son de mayor importancia - la distinción puede verter sin embargo la luz sobre es una qué base ortonormal.)

Ver también

Base (álgebra linear)
Base de Schauder

.

Zenithic

Barry Moore (baseball)

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