En la álgebra, el bicommutant de un S del subconjunto de un semigrupo (tal como una álgebra o un grupo ) es el Commutant del commutant de ese subconjunto. También se sabe mientras que el el commutant doble o en segundo lugar commutant y se escribe el $S^\; \{\backslash \; prima\; \backslash \; prima\}$.

El bicommutant es particularmente útil en la teoría del operador, debido al teorema commutant doble, que de Von Neumann relaciona las estructuras algebraicas y analíticas de las álgebra del operador específicamente, él demuestra que si el M es un unital, álgebra del operador del uno mismo-adjoint en el B de C*-algebra (H), para un cierto H del espacio de Hilbert, después el encierro débil, encierro fuerte y bicommutant del M son iguales. Esto nos dice que un unital M de C*-subalgebra B (H) es una álgebra de Von Neumann si, y solamente si, $M\; =\; M^\; \{\backslash \; prima\; \backslash \; prima\}$, y que si no, la álgebra de von Neumann que genera es el $M^\; \{\backslash \; prima\; \backslash \; prima\}$.

El bicommutant del S contiene siempre el S . Tan $S^\; \{\backslash \; prima\; \backslash \; prima\; \backslash \; prima\}\; =\; (S^\; \{\backslash \; prima\; \backslash \; prima\})\; ^\; \{\backslash \}\; \backslash \; subseteq\; S^\; \{\backslash \; prima\}$ de la prima. Por una parte, $S^\; \{\backslash \; prima\}\; \backslash \; ^\; del\; subseteq\; (S^\; \{\backslash \; prima\})\; \{\backslash \; prima\; \backslash \; prima\}\; =\; S^\; \{\backslash \; prima\; \backslash \; prima\; \backslash \; prima\}$. Tan el $S^\; \{\backslash \; prima\}\; =\; S^\; \{\backslash \; prima\; \backslash \; prima\; \backslash \; prima\}$, es decir el commutant del bicommutant del S es igual al commutant del S . Por la inducción, tenemos: $S^\; del$

l {\ prima} = S^ {\ prima \ prima \ prima} = S^ {\ prima \ prima \ prima \ prima \ prima} = \ ldots = = \ ldots de S^ {2n-1}

y $S\; del$

l \ subseteq S^ {\ prima \ prima} = S^ {\ prima \ prima \ prima \ prima} = S^ {\ prima \ prima \ prima \ prima \ prima \ prima} = \ ldots = = \ ldots de S^ {2n}

para el n > 1.

Está claro que, si el S ₂ del abd del S ₁ es los subconjuntos de un semigrupo, $del$

l (S_1 \ taza S_2) “= S_1” \ casquillo S_2 '.

Si se asume que $S\_1\; =\; el\; S\_1\; \backslash ,$ y $S\_2\; =\; S\_2\; \backslash ,$ (éste es el caso, por ejemplo, para las álgebra de Von Neumann, después la igualdad antedicha da $del$

l (S_1 \ de la taza S_2') = (S_1 \ del casquillo S_2) “= (S_1 \ casquillo S_2)”.

Ver también

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