En las matemáticas, el bien definido del término se utiliza para especificar que un cierto concepto u objeto (una función, una característica, una relación, los etc.) está definido de una manera matemática o lógica usar un sistema de los axiomas bajos de una manera enteramente inequívoca y satisface las características que se requiere satisfacer. Las definiciones se indican generalmente inequívoco, y está claro que satisfacen las características required. A veces sin embargo, es económico indicar una definición en términos de opción arbitraria; uno entonces tiene que comprobar que la definición es independiente de esa opción. En otras ocasiones, las características required no pudieron todas ser obvias; uno entonces tiene que verificarlas. Estas ediciones se presentan comúnmente en la definición de funciones.

Por ejemplo, en la teoría de grupo, el término bien definido es de uso frecuente al ocuparse Cosets donde una función en un espacio del coset es definida a menudo eligiendo un representante: es entonces como importante que comprobemos que conseguimos el mismo resultado sin importar el cual el representante del coset nosotros elige pues es que conseguimos siempre el mismo resultado cuando realizamos las operaciones aritméticas (e., siempre que agreguemos 2 y 3, conseguimos siempre la respuesta 5).

Más generalmente, dado un X del sistema, un ~ de la relación de equivalencia en el X, y un f de la función del X a otro fijó el Y, uno se puede interesar para saber si el f se puede ver como función en el determinado X /~ del cociente . Es decir, si es una clase de equivalencia en el X /~, después uno puede intentar definir el f () = el f ( x ). Si la función satisface el f ( x ₁) = el f ( x ₂) siempre que el x ₂ del x ₁~, después la definición hace el sentido, y el f está bien definidos en el X /~. Aunque la distinción se no haga caso a menudo, la función en el X /~, teniendo un diverso dominio, se debe ver como un $\backslash tildedistintos\; \{f\}$ del mapa. En esta visión, uno dice que el $\backslash \; el\; tilde\; \{f\}$ está bien definidos si el diagrama demostrado conmuta. Es decir, ese f descompone en factores por π, donde π está canónico proyección mapa X → X /~, de modo que $f=\; \backslash \; tilde\; \{\}\; \backslash \; circ\; \backslash \; pi$ de f.

Como ejemplo, considerar la relación de equivalencia entre los números verdaderos definidos por &theta del ; ₁~ θ ₂ si hay un n del número entero tales que &theta del ; ₁- θ ₂ = 2π n, donde π (no puesto en letra itálica) denota el pi . El determinado X /~ del cociente se puede entonces identificar con un círculo, pues una clase de equivalencia representa un ángulo. (De hecho éste es el &pi del R /2 del espacio del coset; Z del subgrupo aditivo 2π Z R .) Ahora si f : &rarr del R ; El R es la función de coseno, después = \ lechuga romana \ theta del del $\backslash \; del\; tilde\; de\; entonces\; \{f\}\; ()\; no\; está\; bien\; definido.$

Dos otras aplicaciones bien-definición se presentan al definir un f de la función de un X del sistema a un Y del sistema. Primero, el f se debe definir realmente en todos los elementos del X . Por ejemplo, el f ( x ) de la función = 1 x no está bien definido como función de los números verdaderos a sí mismo, pues el f ( 0 ) no se define. En segundo lugar, el f ( x ) debe ser un elemento del Y para todo el &isin del x ; X . Por ejemplo, el f ( x ) de la función = el x ² no está bien definido como función de los números verdaderos a los números verdaderos positivos, pues el f ( 0 ) no es positivo.

Un sistema es eventualmente objeto dado bien definido es un elemento del sistema, o no es un elemento del sistema

Ver también

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