En las matemáticas, las inyecciones, los surjections y los bijections son clases de las funciones distinguidas por la manera en la cual las discusiones (expresiones de la entrada del dominio ) y las imágenes (expresiones de la salida Codomain ) son relacionadas o trazado a .
$f\; de\; la\; función\; del$

A: \; A \ a B es el inyectivo ( uno por) del si $de\; \backslash \; forall\; x,\; y\; \backslash \; en\; A,\; f\; (x)=f\; (y)\; \backslash \; Rightarrow\; x=y\; \backslash$ o, equivalente, si $del$
\ forall x, y \ en A, x \ neq y \ Rightarrow f (x) \ neq f (y). \ Uno podría también decir que los elementos del codomain (llamado a veces gama por error) son trazados por a lo más a un elemento (discusión) del dominio ; no cada elemento del codomain, sin embargo, necesidad tiene una discusión trazada a él. Una función inyectiva es una inyección .
Una función es el surjective ( del sobre ) si cada elemento Codomain es trazado por a un cierto elemento (discusión) del dominio; esto es expresada lógicamente diciendo eso para todo el $y$ en $B$, el $de\; \backslash \; el\; forall\; y\; \backslash \; en,\; \backslash \; existe\; de\; B\; x\; \backslash \; en\; A\; \backslash \; eltexto\{tal\; que\}\; y\; =\; f\; (x).\; \backslash$ Observar que con esta definición, algunas imágenes se pueden trazar por a más de una discusión. (Equivalente, una función donde está igual la gama al codomain.) Una función surjective es un surjection .
Una función es bijective ( del uno por y sobre ) si y solamente si (iff) es el inyectivo y surjective. (Equivalente, el cada elemento de del codomain es trazado por al exactamente un elemento de del dominio.) Una función bijective es un bijection (correspondencia una por del ).

(nota del : una función una por del es inyectiva, pero puede no poder ser surjective, mientras que una correspondencia una por es inyectiva y surjective. )

Una función inyectiva no necesita ser surjective (no todos los elementos del codomain se pueden asociar a discusiones), y una función surjective no necesita ser inyectiva (algunas imágenes se pueden asociar al más de una discusión de ). Las cuatro combinaciones posibles de características inyectivas y surjective se ilustran en los diagramas siguientes.

Inyección

considera también:

la función inyectiva Una función es el inyectivo ( uno por) si cada elemento posible del codomain es trazado por a lo más a una discusión. Equivalente, una función es inyectiva si traza discusiones distintas a las imágenes distintas. Una función inyectiva es una inyección . La definición formal es la siguiente.

l el $f\; de\; la\; función:\; A\; \backslash \; a\; B$ es el inyectivo Iff para todo el $a,\; b\; \backslash \; en\; A$, nosotros tiene $f\; (a)\; =\; f\; (b)\; \backslash \; Rarr\; a\; =\; b.$
f de la función del

A: &rarr del A ; El B es inyectivo si y solamente si el A es vacío o el f es izquierdo-inversible, es decir, hay un g de la función: &rarr del B ; A tales que f de g o del = función de identidad en el A .
Puesto que cada función es surjective cuando su Codomain se restringe a su gama, cada inyección induce un bijection sobre su gama. Más exacto, cada f de la inyección: &rarr del A ; El B se puede descomponer en factores como bijection seguido por una inclusión como sigue. Dejar el R del _{del f : &rarr del A ; el f ( A ) sea el f con el codomain restringido a su imagen, y dejó el i : &rarr del f ( A ); El B sea el mapa de la inclusión del f ( A ) en el B . Entonces f = R} del _{del f del i o. Una facturización dual se da para los surjections abajo.
La composición de dos inyecciones es otra vez una inyección, pero si el f de g o del es inyectivo, después él puede ser concluida solamente que el f es inyectivo. Ver la figura en la derecha.
Cada que encaja es inyectivo.}

Surjection

considera también:

la función Surjective Una función es el surjective ( sobre ) si cada imagen posible es trazada por por lo menos a una discusión. Es decir cada elemento en el codomain tiene no vacío Preimage . Equivalente, una función es surjective si su gama es igual a su codomain. Una función surjective es un surjection . La definición formal es la siguiente.

l el $f\; de\; la\; función:\; A\; \backslash \; a\; B$ es el surjective Iff para todo el $b\; \backslash \; en\; B$, allí es $a\; \backslash \; en\; A$ tales que $f\; (a)\; =\; b.$
f de la función del

A: &rarr del A ; El B es surjective si y solamente si es derecho-inversible, es decir, si y solamente si hay un g de la función: &rarr del B ; A tales que g del f o = función de identidad en el B . (Esta declaración es equivalente al axioma de la opción .)
Derrumbándose todas las discusiones que trazan a una imagen fija dada, cada surjection induce un bijection definida en un cociente de su dominio. Más exacto, cada f del surjection: &rarr del A ; El B se puede descomponer en factores como proyección seguida por un bijection como sigue. Dejar el A /~ ser las clases de equivalencia del A bajo relación de equivalencia siguiente: y del ~ del x si y solamente si f ( x ) = f ( y ). Equivalente, el A /~ es el sistema de todos los preimages bajo f . Dejar el P (~): &rarr del A ; El A /~ sea el mapa de la proyección que envía cada x en el A a su clase de equivalencia _~, y dejó el P del _{del f : &rarr del A /~; El B sea la función bien definida dada por el P} (_~) del _{del f = el f ( x ). Entonces f = P (~) del P} o del _{del f . Una facturización dual se da para las inyecciones arriba.
La composición de dos surjections es otra vez un surjection, pero si el f de g o del es surjective, después él puede ser concluida solamente que el g es surjective. Ver la figura en el right*.}

Bijection

considera también:

la función Bijective Una función es el bijective si es inyectiva y surjective. Una función bijective es un bijection (correspondencia del one-one del ). Una función es bijective si y solamente si cada imagen posible es trazado por a exactamente una discusión. Esta condición equivalente se expresa formalmente como sigue.

l el $f\; de\; la\; función:\; A\; \backslash \; a\; B$ es el bijective Iff para todo el $b\; \backslash \; en\; B$, hay un $a\; único\; \backslash \; en\; A$ tales que $f\; (a)\; =\; b.$
f de la función del

A: &rarr del A ; El B es bijective si y solamente si es inversible, es decir, hay un g de la función: &rarr del B ; A tales que f de g o del = función de identidad en el g del A y del f o = función de identidad en el B . Esta función traza cada imagen a su preimage único.
La composición de dos bijections es otra vez un bijection, pero si el f de g o del es un bijection, después él puede ser concluida solamente que el f es inyectivo y el g es surjective. (Véase la figura en la derecha y las observaciones sobre la consideración de inyecciones y de surjections.)
Los bijections de un sistema a sí mismo forma al grupo bajo composición, llamada el grupo simétrico .

Cardinalidad

Suponer que usted quiere definir lo que significa para dos sistemas al " tener el mismo número de elements". Una forma para hacer esto es decir que " de dos sistemas; tener el mismo número de elements" si y solamente si todos los elementos de un sistema se pueden aparear con los elementos del otro, de una manera tal que cada elemento esté apareado con exactamente un elemento. Por consiguiente, podemos definir dos sistemas al " tener el mismo número de elements" si hay un bijection entre ellos. Decimos que los dos sistemas tienen la misma cardinalidad .

Ejemplos

Es importante especificar el dominio y el codomain de cada función puesto que cambiando éstos, las funciones en las cuales pensamos como iguales pueden tener diverso jectivity del . ¡

Inyectivo y surjective (bijective)

Para cada sistema A identidad función id _A y así específicamente $\backslash \; mathbf\; \{\}\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; de\; R:\; x\; \backslash \; mapsto\; x$.
$\backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^+\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^+:\; x\; \backslash \; mapsto\; x^2$ y así también su $\backslash \; mathbf\; inversos\; \{R\}\; ^+\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^+:\; x\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{x\}$.
El $\backslash \; exp\; de\; lafunción\; exponencial:\; \backslash \; mathbf\; \{\}\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^+\; de\; R:\; x\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; mathrm\; \{e\}\; ^x$ y así también su lo contrario el $\backslash \; el\; ln\; del\; logaritmo\; natural\; :\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^+\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{R\}:\; x\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; ln\; \{x\}$

Inyectivo y no-surjective

El $\backslash \; exp\; de\; la\; función\; exponencial:\; \backslash \; mathbf\; \{\}\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; de\; R:\; x\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; mathrm\; \{e\}\; ^x$

No-inyectivo y surjective

$\backslash \; mathbf\; \{\}\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; de\; R:\; x\; \backslash \; mapsto\; (x-1)\; x\; (x+1)\; =\; x^3\; -\; x$
$\backslash \; mathbf\; \{\}\; \backslash \; a\; de\; R:\; x\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; pecado\; (x)$

No-inyectivo y no-surjective

$\backslash \; mathbf\; \{\}\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; de\; R:\; x\; \backslash \; mapsto\; x^2$

Características

Para cada f de la función, el A del subconjunto del dominio y el B del subconjunto del codomain tenemos &sub del A ;   ^{del f ; − 1} ( fA ) y f (  ^{del f ; − 1} &sub del B ); B . Si el f es inyectivo tenemos A =   ^{del f ; − 1} ( fA ) y si el f es surjective tenemos f (  ^{del f ; − 1} B ) = B .
Para cada h de la función: &rarr del A ; El C podemos definir un H del surjection: &rarr del A ; h (A) : un → h (a) y un I de la inyección: h (A) &rarr de ; C : un → a. Sigue ese h = el H del I o. Esta descomposición es único hasta el isomorfismo .

Teoría de la categoría

En la categoría de inyecciones de los sistemas, los surjections, y los bijections corresponden exacto al Epimorphisms de los monomorfismos y al Isomorphisms respectivamente.

Historia

Esta terminología fue acuñada original por el grupo de Bourbaki .

Ver también

Módulo inyectivo
Permutación
Linea horizontal prueba

.

Zenithic

Oakville municipal election, 2003

Random links:

Dudley, Pennsylvania | Ciudad del Minter, Mississippi | Arturo Boyd | Caballero juliano | Universidad de Akhawayn del Al