En las matemáticas, un bijection, o una función bijective es un f de la función de un determinado X a un Y del sistema con la característica esa, para cada y en el Y, allí es exactamente un x en el X tales que el f ( x ) del
= el y .

Alternativo, el f es bijective si es una correspondencia una por entre esos sistemas; es decir, uno por ( inyectivo) y sobre ( surjective). (Véase también el Bijection, la inyección y el surjection .)

Por ejemplo, considerar el succ de la función, definido del sistema del $\backslash \; Z$ de los números enteros al $\backslash \; Z$, que a cada x del número entero asocia el succ del número entero ( x ) = x + 1. Por otro ejemplo, considerar el sumdif de la función que a cada par ( x, y ) de números verdaderos asocia el sumdif de los pares ( x, y ) = (  del x ; +  y,   del x ; −   y ).

Una función bijective también se llama una permutación del . Esto se utiliza más comunmente cuando el X = el Y . Debe ser observado que la función una por del significa la correspondencia una por (es decir, bijection ) a algunos autores, solamente la inyección del a otros. El sistema de todos los bijections del X al Y se denota como $del\; X\; \{\}\; \backslash \; Y\; del\; leftrightarrow\; \{\}$.

Las funciones Bijective desempeñan un papel fundamental en muchas áreas de las matemáticas, por ejemplo en la definición del isomorfismo (y de conceptos relacionados tales como homeomorfismo y Diffeomorphism ), del grupo de la permutación, del mapa descriptivo, y de muchos otros.

Composición y lo contrario

Un f de la función es bijective si y solamente si su &minus inverso del ^{del f de la relación ; 1} es una función. En ese caso, &minus del ^{del f ; 1} es también un bijection.

El   de g del de la composición ; o  f dos del $del\; f\; de\; los\; bijections\; \backslash ;:\; \backslash ;$ del\; X\; de$\{\}\; \backslash \; Y\; del\; leftrightarrow\; \{\}$ y $de\; g\; del\; \backslash ;:\; \backslash ;\; el$ del\; Y\; de$\{\}\; \backslash \; el\; Z\; del\; leftrightarrow\; \{\}$ es un bijection. Lo contrario del   de g del ; o  el f es (  de g del ; o  ^{&minus del f ); 1} = (&minus del ^{del f ; )   1}; o  (^{&minus de g del ; 1}).

Por una parte, si el   de g del de la composición; o  el f de dos funciones es bijective, podemos decir solamente que el f es inyectivo y el g es surjective.

Un f de la relación del X al Y es una función bijective si y solamente si existe otro g de la relación del Y al X tales que   de g del ; o  el f es la función de identidad en el X, y   del f ; o  el g es la función de identidad en el Y . Por lo tanto, los sistemas tienen la misma cardinalidad.

Bijections y cardinalidad

Si el X y el Y es sistemas finitos, después existe un bijection entre X y del Y de dos sistemas si y solamente si el X de y el Y tienen el mismo número de elementos. De hecho, en la teoría determinada axiomática, esto se toma como la misma definición " el mismo número de elements", y la generalización de esta definición a los sistemas infinitos lleva al concepto del número cardinal, una manera de distinguir los varios tamaños de los sistemas infinitos .

Ejemplos y contraejemplos

Para cualquier X, el X del sistema del id _{de la función de identidad del X al X, definido por el X} ( x ) del id = el x, es bijective.
El f de la función de la línea verdadera R de a R definido por el 2 x del f ( x ) = + 1 es bijective, puesto que para cada y hay un único x = (  del y ; −   1)/2 tales que f ( x ) = y .
El   de g del de la función exponencial ;:   R del $\backslash \; rightarrow$ del R, con el g (x) = el x del e, no es bijective: por ejemplo, no hay x en el R tales que el g ( x ) = − 1, demostrando que el g no es surjective. Sin embargo si el codomain se cambia para ser el positivo R de los números verdaderos ⁺ = (0, +∞), después g llega a ser bijective; su lo contrario es el ln de la función del logaritmo natural .
El   del h de la función;:   $\backslash \; rightarrow$ del R con '' h (x) '' = '' x '' ² no es bijective: por ejemplo, '' h '' (− 1) = '' h '' (+1) = 1, demostrando que '' h '' no es inyectivo. Sin embargo, si el dominio se cambia también al [0, +∞) , después '' h '' llega a ser bijective; su lo contrario es la función de raíz cuadrada positiva. * $\backslash \; mathbb\; \{\}\; \backslash \; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; de\; R:\; x\; \backslash \; mapsto\; (x-1)\; x\; (x+1)\; =\; x^3\; -\; x$ no es un bijection porque − 1, 0, y +1 es todo en el dominio y todo el mapa a 0.
$\backslash \; mathbb\; \{\}\; \backslash \; a\; de\; R:\; x\; \backslash \; mapsto\; \backslash pecado(x)$ no es un bijection porque π/3 y 2π/3 están ambos en el dominio y ambo mapa (√3)/2.

Características

Un f de la función de la línea verdadera R de a R es bijective si y solamente si su diagrama es intersecado por cualquier linea horizontal en exactamente un punto.
¡Si el X es un sistema, después las funciones bijective del X a sí mismo, junto con la operación de la composición funcional (^o), forman un grupo, el grupo simétrico X, que es denotado vario por S ( X ), el X del del S, o el X ! (el último lee el " " factorial del X ;).
Para un A del subconjunto del B del dominio y del subconjunto del codomain tenemos: | f ( A )| = | A | y | ^{&minus del f ; 1} ( B )| = | B |. Si son el X y el Y el finito fija con la misma cardinalidad, y el f :     del X ; →  El Y, entonces el siguiente es equivalente: # el f es un bijection. el
# el f es un surjection. el
# el f es una inyección. Por lo menos para un finito S del sistema, hay un bijection entre el sistema de los orderings posibles del total de los elementos y el sistema de bijections del S a el S . Es decir, el número de las permutaciones (otro nombre para los bijections) de elementos del S es igual que el número de orderings totales de eso fijó -- ¡a saber, n! .

El aviso del que una función una por del es inyectiva, pero puede no poder ser surjective, mientras que una correspondencia una por es inyectiva y surjective.

Zenithic

Bijection

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