En la teoría de la categoría y sus usos a las matemáticas, un biproducto es una generalización de la noción de la suma directa que tiene sentido en cualquier categoría de Preadditive.

Definición

Dejar el C ser una categoría de Preadditive. Particularmente, los morphisms en el C pueden ser agregados.

El dado A ₁ de los objetos,…, el n del _{del A en el C, supone que tenemos:
un ⊕ del A 1 del objeto ··· n} del _{del A del ⊕ en el C (el biproducto del );
k} del _{del p de los morphisms: ⊕ del A 1 ··· k} del _{del A del → del n} del _{del A del ⊕ en el C (los morphisms de la proyección del ); y
k} del _{del i de los morphisms: ⊕ del A 1 del → del k} del _{del A ··· n} (los morphisms del _{del A del ⊕ de la inyección del ).}

Además, suponer eso:
( p ₁ del i _{1 °}) + ··· + ( n del _{del p del n °} del _{del i ) iguala el morphism de la identidad del ⊕ del A 1 ··· n} del _{del A del ⊕;
el k} del _{del i del k °} del _{del p iguala el morphism de la identidad del k} del _{del A ; y
el l} del _{del i del k °} del _{del p es el morphism cero del k} del _{del l} a del A del _{del A siempre que el k y el l sean el distinto.}

Entonces ⊕ del A ₁ ··· el n del _{del A del ⊕ es un biproducto del A 1,…, el n} del _{del A .}

Observar que si nosotros toman el n = 0 en la definición antedicha, después solamente la primera condición se aplica, y tenemos para el biproducto de Nullary un O del objeto tales que el morphism de la identidad en el O es igual al morphism cero del O a sí mismo.

Ejemplos

Los biproductos existen siempre en la categoría de los grupos abelianos En esa categoría, el biproducto de varios objetos es simplemente su suma directa . El biproducto nullary es el grupo trivial . Los biproductos existen en varias otras categorías con sumas directas, tales como la categoría de los espacios de vector sobre un campo dado . Pero los biproductos no existen en la categoría de todos los grupos de hecho, esta categoría no son incluso preadditive.

Características

Si existe un biproducto nullary y todo el binario A ₂ del ⊕ del A ₁ de los biproductos existir, después todos los biproductos cualesquiera deben también existir.

Los biproductos en categorías preadditive son siempre los productos y el Coproducts en el sentido categoría-teórico ordinario; éste es el origen del " del término; biproduct". Particularmente, un biproducto nullary es siempre un objeto cero. Inversamente, cualquier producto o coproduct finitary en una categoría preadditive debe ser un biproducto.

Una categoría aditiva es una categoría preadditive en la cual cada biproducto existe. Particularmente, los biproductos existen siempre en las categorías abelianas .