Brahmagupta (bikhari) () ( 598 - 668 ) eran un matemático indio y el astrónomo .

Vida y trabajo

Brahmagupta nació en CE 598 en la ciudad de Bhinmal en el estado Rajasthán de la India del noroeste. Él vivió probablemente la mayor parte de su vida en Bhillamala ( moderno Bhinmal en el Rajasthán ) en el imperio Harsha durante el reinado (y posiblemente bajo patrocinio) de rey Vyaghramukha.

Aunque Brahmagupta fuera familiar con los trabajos de los astrónomos que seguían la tradición Aryabhatiya, no se sabe si él era familiar con el trabajo Bhaskara I, un contemporáneo.

Matemáticas

El trabajo más famoso de Brahmagupta es su Brahmasphutasiddhanta . Se compone en verso elíptico, al igual que la práctica común en las matemáticas indias, y por lo tanto tiene un anillo poético a él. Pues no se da ningunas pruebas, no se sabe cómo las matemáticas de Brahmagupta fueron derivadas.

Álgebra

Brahmagupta dio la solución de la ecuación linear general en el capítulo dieciocho del Brahmasphutasiddhanta,

18.43 la diferencia entre los rupas del, cuando es invertido y dividido por la diferencia de los desconocido, es el desconocido en la ecuación. Los rupas del están en el lado debajo de el de las cuales el cuadrados y el desconocido deban ser restados. El grado de la influencia griega en este syncopation, eventualmente, no se sabe y es posible que el syncopation griego e indio se puede derivar de una fuente babilónica común.

Serie

Brahmagupta entonces se enciende dar la suma de los cuadrados y de los cubos de los primeros números enteros del n . La suma de los cuadrados es ésa multiplicada por dos veces del paso creciente en uno dividido en tres. La suma de los cubos es el cuadrado que de eso las pilas de éstos con las bolas idénticas también sean computed.

Es importante observar aquí Brahmagupta encontró el resultado en términos de suma del de los primeros números enteros del n, algo que en términos de n al igual que la práctica moderna.

Él da la suma de los cuadrados de los primeros números naturales de n como n (n+1) (2n+1)/6 y la suma de los cubos de los primeros números naturales de n como (n (n+1)/2) ².

Cero

Brahmagupta es el primer matemático para considerar cero como número. Brahmagupta hizo uso de un concepto importante en matemáticas, el número cero . El Brahmasphutasiddhanta es el texto sabido más temprano para tratar cero como número por derecho propio, algo que pues simplemente un dígito del placeholder en la representación de otro número como fue hecho por los babilónico o como un símbolo para una carencia de la cantidad como fue hecho por el Ptolemy y los romanos . En el capítulo dieciocho de su Brahmasphutasiddhanta, Brahmagupta describe operaciones en números negativos. Él primero describe la adición y la substracción, la suma

18.30 de dos positivos es positivos, de dos negativas negativas; de un positivo y de la negativa una suma es su diferencia; si son igual es cero. La suma de una negativa y un cero es negativa, de un positivo y del positivo cero, que de dos ceros zero. Una negativa menos cero es negativa, un positivo cero positivo; cero cero es cero. Cuando un positivo debe ser restado de una negativa o una negativa de un positivo, después es ser added.

Él se enciende describir la multiplicación,

18. El producto de un negativo y de un positivo es negativo, de positivo de dos negativas, y de los positivos positivos; el producto de cero y una negativa, de cero y de un positivo, o de dos ceros es cero. Sus reglas para el aritmético en los números negativos y cero están absolutamente cerca de la comprensión moderna, salvo que en matemáticas modernas la división por cero se deja el indefinido. La postura moderna de no definir 0/0 no está en ninguna forma de mejora de la manera al trabajo de Brahmagupta.

Análisis Diophantine

Triples pitagóricos

En el capítulo doce de su Brahmasphutasiddhanta, Brahmagupta encuentra triples pitagóricos,

12. La altura de una montaña multiplicada por un multiplicador dado es la distancia a una ciudad; no se borra. Cuando es dividida por el multiplicador creciente en dos es el salto de uno de los dos quién hacen el mismo viaje.

naturaleza del

The de cuadrados:
18.64 abajo dos veces la cuadrado-raíz de un cuadrado dado por un multiplicador y creciente o disminuido por un arbitrario. El producto del producto del primer, multiplicado por el multiplicador, con el producto del dura, es el computed. La suma de los productos del rayo es la primera. El añadido es igual al producto de los añadidos. Las dos cuadrado-raíces, divididas por el aditivo o el que se tiene que sustraer, son los rupas aditivos del .

Geometría

Fórmula de Brahmagupta

El resultado más famoso de Brahmagupta en geometría es su fórmula para los cuadriláteros cíclicos . Dado las longitudes de los lados de cualquier cuadrilátero cíclico, Brahmagupta dio una fórmula aproximada y exacta para el área de la figura,

12. El área aproximada es el producto de las mitades de las sumas de los lados y de lados apropiados de un triángulo y de un cuadrilátero. El exacto es la raíz cuadrada del producto de las mitades de las sumas de los lados disminuidos por el lado del cuadrilátero. La fórmula de la garza es un caso especial de esta fórmula y puede ser derivada fijando uno de los lados iguales a cero.

Triángulos

Brahmagupta dedicó una porción substancial de su trabajo a la geometría. Un teorema indica que las dos longitudes de la base de un triángulo cuando son divididas por su altitud después siguen,

12. La base disminuyó y aumentó en la diferencia entre los cuadrados de los lados divididos por la base; cuando son divididos por dos son los segmentos verdaderos. El perpendicular es la cuadrado-raíz del cuadrado de un lado disminuido por el cuadrado de su segmento.

Teorema de Brahmagupta

Brahmagupta continúa,

12. La cuadrado-raíz de la suma de los dos productos de los lados y de lados opuestos de un cuadrilátero no-desigual es la diagonal. El cuadrado de la diagonal es disminuido por el cuadrado de la mitad de la suma de la base y de la tapa; la cuadrado-raíz es el perpendicular.

Trigonometría

En el capítulo 2 de su Brahmasphutasiddhanta, dado derecho el las longitudes verdaderas planetarias, Brahmagupta presenta una tabla del seno:

2. Los senos: Los progenitores, gemelos; Comandante de Ursa, gemelos, el Vedas; dioses, fuegos, seises; sabores, dados, dioses; la luna, cinco, el cielo, el moonl la luna, flechas, asolea

Aquí Brahmagupta utiliza nombres de objetos para representar los dígitos de los números del lugar-valor, al igual que común con datos numéricos en tratados sánscritos. Los progenitores representan a 14 progenitores (" Manu") en cosmología indio o 14, " twins" medios 2, " Ursa Major" representa las siete estrellas de el comandante de Ursa o 7, " Vedas" refiere a los 4 Vedas o 4, cortan en cuadritos representa el número de lados de la tradición mueren o 4, y así sucesivamente. Esta información se puede traducir a la lista de senos, de del 214, 427, 638, 846, 1051, 1251, 1446, 1635, 1817, 1991, 2156, 2312, 1459, 2594, 2719, 2832, 2933, 3021, 3096, 3159, 3207, 3242, 3263, y del 3270, con el radio siendo el 3270 .

Astronomía

Era a través del Brahmasphutasiddhanta ese los árabes aprendidos de astronomía india. El al-Mansur famoso (712-775) del califa de Abbasid fundó el Bagdad, que se sitúa en los bancos Tigris, y hecho le un centro del aprendizaje. El califa invitó a un erudito Ujjain por el nombre de Kankah en el 770 A. Kankah utilizó el Brahmasphutasiddhanta para explicar el sistema hindú de astronomía aritmética. Trabajo de Brahmugupta traducido del al-Fazari de Mohamed en árabe por el requerimiento del califa.

En el capítulo siete de su Brahmasphutasiddhanta, dado derecho el la crescent lunar, Brahmagupta refuta la idea esa la luna si más lejos de la tierra que el Sun, una idea que se mantenga en escrituras. Él hace esto explicando la iluminación de la luna por el Sun.

Él explica que puesto que la luna está más cercano a la tierra que el Sun, el grado de la parte iluminada de la luna depende de las posiciones relativas del Sun y de la luna, y esto se puede computar del tamaño del ángulo entre los dos cuerpos.

Algunas de las contribuciones importantes hechas por Brahmagupta en astronomía son: los métodos para calcular la posición de cuerpos divinos en un cierto plazo (los calendarios astronómicos ), su levantamiento y determinación, las conjunciones y el cálculo de los eclipses solares y lunares Brahmagupta criticaron la opinión de purana que la tierra era plana o hueco. En lugar, él observó que la tierra y el cielo eran esféricos y que la tierra se está moviendo. En el 1030, el al-Biruni musulmán del al-Rayhan de Abu del astrónomo, en su Ta'rikh al-Trasero, traducido más adelante al latino como Indica, comentó respecto al trabajo de Brahmagupta y escribió que los críticos discutieron:

" Si tal fuera el caso, las piedras y los árboles caerían del earth."

Según el al-Biruni, Brahmagupta respondió a estas críticas con la discusión siguiente en la gravitación :

" En el contrario, si ése fuera el caso, la tierra no competiría en mantener incluso y no uniformaría paso con los minutos del cielo, el Pranas de los tiempos. Todas las cosas pesadas se atraen hacia el centro de la tierra. La tierra en todos sus lados es igual; toda la gente en el soporte de la tierra vertical, y todas las cosas pesadas se caen abajo a la tierra por una ley de la naturaleza, porque es la naturaleza de la tierra para atraer y para guardar cosas, pues es la naturaleza del agua a fluir, que del fuego a quemar, y que del viento a fijar en el movimiento… La tierra es la única cosa baja, y las semillas le vuelven siempre, en cualquier dirección usted puede lanzarlas lejos, y nunca se levantan hacia arriba del earth."

Sobre la gravedad de la tierra él dijo: " Caída de los cuerpos hacia la tierra como está de forma de la tierra para atraer cuerpos, apenas como está de forma de agua a flow."

Citaciones y notas al pie de la página

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Zenithic

Brahmagupta

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