Los brotes son un juego del Lápiz-y-papel con las características matemáticas interesante . Fue inventado por el Juan Horton Conway de los matemáticos y el Michael S. Paterson en la Universidad de Cambridge en el 1967 .
El juego es jugado por dos jugadores, comenzando con algunos puntos dibujados en una hoja del papel. El juego entonces procede según las reglas siguientes:
La toma de los jugadores da vuelta a extraer una línea entre dos puntos o de un punto a sí mismo.
La línea puede no cruzar ninguna otra línea.
El jugador entonces agrega un nuevo punto en la línea.
Un punto con tres líneas conectadas con él (contando un lazo de un punto a sí mismo como dos líneas) es el muerto y puede no tener más líneas conectadas con él.
En el juego normal del supuesto, el jugador que hace el movimiento pasado gana. En el juego de Misère, el jugador que hace el pasado del movimiento pierde . (Los brotes de Misère son quizás el juego combinatorio del único misère que se juega competitivo en un foro organizado. 21)
El diagrama a la derecha demuestra un juego de 2 puntos de brotes normales. Después de que el cuarto movimiento, él sea imposible hacer a otro movimiento, así que al segundo jugador gana. El diagrama final demuestra que hay dos puntos (demostrados en verde) que todavía está el vivo: es decir, están conectados solamente con dos líneas. Pero puesto que estos sobrevivientes de dos están en regiones separadas, no pueden ser ensamblados juntos.
Análisis
Suponer que un juego comienza con los puntos del n y dura para exactamente los movimientos del m .Cada punto comienza con tres vidas (oportunidades del de conectar una línea) y cada movimiento reduce el número total de vidas en el juego por uno (dos vidas se pierden en los extremos de la línea, pero el nuevo punto tiene una vida). Tan en el extremo del juego hay 3 &minus del n ; vidas restantes del m . Cada punto de la supervivencia tiene solamente una vida (si no habría otro movimiento que ensambla ese punto a sí mismo), tan allí es exactamente 3 &minus del n ; sobrevivientes del m . Debe haber por lo menos un sobreviviente, a saber el punto agregado en el movimiento final. Tan 3 &minus del n ; &ge del m ; 1; por lo tanto un juego puede durar no más de 3 &minus del n ; movimientos 1.
En el extremo del juego cada sobreviviente tiene exactamente dos vecinos muertos del, en un sentido técnico del " neighbor" ; ver el diagrama a la derecha. NinguÌn punto muerto puede ser el vecino de dos diversos sobrevivientes, porque de otra manera habría un movimiento que ensambla a los sobrevivientes. El resto de los puntos muertos (no vecinos de un sobreviviente) se llaman los pharisees del ( hebreo para el " ones" separado;). Suponer que hay pharisees del p . Entonces n del
l + m = 3 &minus del n ; m + 2 (3 &minus del n ; m ) + p
puesto que los puntos iniciales + se mueven = los puntos totales en el extremo del juego = de sobrevivientes + de vecinos + de pharisees. El cambio da: m del
l = 2 n + p /4
Un juego dura tan por lo menos 2 movimientos del n, y el número de pharisees es divisible por 4.
Los juegos verdaderos parecen dar la vuelta en una batalla si el número de movimientos será el m o el m +1 con otras posibilidades que son absolutamente inverosímiles. Un jugador intenta crear las regiones incluidas que contienen los sobrevivientes (así reduciendo el número total de movimientos que serán jugados) y los otros intentos para crear a pharisees (así aumentando el número de movimientos que serán jugados).
¿Quién tiene el triunfo?
Enumerando todos los movimientos posibles, uno puede demostrar que el primer jugador puede ganar siempre en los juegos del normal-juego que comienzan con n = 3, 4, o 5 puntos. El segundo jugador gana cuando n = 0, 1, 2, o 6.En los laboratorios de Bell en el 1990, el David Applegate, el individuo Jacobson, y el Daniel Sleator utilizaron mucha energía de la computadora de empujar el análisis hacia fuera a once puntos en juego normal y nueve puntos en misère juegan. Encontraron que el primer jugador tiene una estrategia que gana en juego normal cuando el número de puntos divididos por seis hojas un resto de tres, cuatro, o cinco, y conjeturados que este patrón continúa más allá de once puntos. Josh Purinton ha ampliado este análisis a catorce puntos. Julien Lemoine y Simon Viennot demandan haber alcanzado treinta y dos puntos y haber computado algunos otros valores hasta cuarenta y siete; los resultados son todos constantes con el patrón descrito arriba.
Coles de Bruselas
Una variante del juego, llamada las coles de Bruselas del, el comienzo con un número de cruces, es decir señala con cuatro extremos libres. Cada movimiento implica el ensamblar de dos extremos libres con una curva (que no cruza otra vez cualquie línea existente) y después el poner de un movimiento corto a través de la línea.Tan cada movimiento quita dos extremos libres e introduce dos más. A pesar de esto, el juego es finito, y el número total de movimientos es predeterminado de hecho por el número inicial de cruces: los jugadores no pueden afectar al resultado por su juego. Con las cruces iniciales del n, el número de movimientos será 5 &minus del n ; 2, así que un juego que comienza con un número impar de cruces serán un primer triunfo del jugador, mientras que un juego que comienza con un número par será un segundo triunfo del jugador sin importar los movimientos.
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