En las matemáticas, el cálculo de matriz del es una notación especializada para hacer el cálculo multivariable, especialmente sobre espacios de las matrices, donde define el derivado de la matriz del . Esta notación está bien adaptada a describir sistemas de las ecuaciones diferenciales y a tomar los derivados de funciones matrix-valued con respecto a variables de la matriz. Esta notación es de uso general en las estadísticas y la ingeniería, mientras que la notación del índice del tensor es preferred en la física .

Aviso

Este artículo utiliza otra definición para el cálculo del vector y de matriz que la forma encontrada a menudo dentro del campo de la teoría de valoración y del reconocimiento de patrón . Las ecuaciones resultantes por lo tanto aparecerán ser transportadas cuando están comparadas a las ecuaciones usadas en libros de textos dentro de estos campos.

Notación

Dejar el M ( n, m ) denotan el espacio de las matrices verdaderas del m del × del n con las filas del n y las columnas del m, cuyos elementos serán el denotado F, el X, el Y, etc. Un elemento del M (el n, 1), es decir, un vector de la columna, se denota con un negrita x de la letra minúscula, mientras que el x ^T denota su transporta vector de fila de . Un elemento del M (1.1) es un escalar, y denotado un, el b, el c, el f, el t etc. Todas las funciones se asumen para estar del C ¹ de la clase de Differentiability a menos que se indicare en forma diferente.

Cálculo del vector

considera también:

l cálculo del vector Porque el M del espacio (el n, 1) se identifica con el n del ^{del R del espacio euclidiano y el M (1.1) se identifica con el R, las notaciones desarrolladas aquí pueden acomodar las operaciones generalmente del cálculo del vector.}

vector de la tangente del
• The a un x de la curva: &rarr del R ; El n del ^{del R es $\backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; el\; mathbf\; del\; \{x\}\}\; \{\backslash \; t\; parcial\}\; =\; \backslash \; comenzar\; \{el\; bmatrix\}\; \backslash \; del\; frac\; \{\backslash \; x\_1\; parcial\}\; \{\backslash \; t\; parcial\}\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; de\; los\; vdots\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; del\; frac\; \{\backslash \; x\_n\; parcial\}\; \{\backslash \; t\; parcial\}\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}.$}

gradiente del

• The de un f de la función escalar: &rarr del n del <sup>del R ; $del\; del\; R\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; f\; parcial\}\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\}\; =\; \backslash \; comenzar\; \{el\; bmatrix\}\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; f\; parcial\}\; \{\backslash \; x\_1\; parcial\}\; y\; \backslash \; cdots\; y\; \backslash \; del\; frac\; \{\backslash \; f\; parcial\}\; \{\backslash \; x\_n\; parcial\}\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}.$ direccional derivado de f en dirección de v es entonces
  
  $\backslash \; nabla\_\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; f\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; f\; parcial\}\; \{\backslash \}\; parcial\; \backslash \; del\; mathbf\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \{x\}.$</sup>

pushforward o diferencial del

• The de un f de la función: &rarr del m del ^{del R ; El n} del <sup>del R es descrito por el $del\; dela\; matrizde\; Jacobian\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\}\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\}\; =\; \backslash \; comenzar\; \{el\; bmatrix\}\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; f\_1\; parcial\}\; \{\backslash \; x\_1\; parcial\}\; y\; \backslash \; cdots\; y\; \backslash \; del\; frac\; \{\backslash \; f\_1\; parcial\}\; \{\backslash \; x\_m\; parcial\}\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; vdots\; y\; \backslash \; ddots\; y\; \backslash \; de\; los\; vdots\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; frac\; \{\backslash \; f\_n\; parcial\}\; \{\backslash \; x\_1\; parcial\}\; y\; \backslash \; cdots\; y\; \backslash \; del\; frac\; \{\backslash \; f\_n\; parcial\}\; \{\backslash \; x\_m\; parcial\}\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}.$ Pushforward a lo largo f de vector v en R m es
  
  $d\; \backslash ,\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; (\backslash \; mathbf\; \{v\})\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\}\; \{\backslash \}\; parcial\; \backslash \; del\; mathbf\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \{x\}.$</sup>

Cálculo de matriz

Para los propósitos de definir los derivados de funciones simples, no mucho cambia con los espacios de la matriz; el espacio de las matrices del m del × del n está después de todo el isomorfo como un espacio de vector a nanómetro del ^{del R . Los tres derivados familiares de cálculo del vector tienen análogos cercanos aquí, aunque se guardan de las complicaciones que se presentan en las identidades abajo.}

vector de la tangente del
• The de un F de la curva: &rarr del R ; $del\; del\; M\; (\; n,\; m\; )\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\}\; \{\backslash \; t\; parcial\}\; =\; \backslash \; comenzar\; \{el\; bmatrix\}\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; F\_\; parcial\; \{1.1\}\}\; \{\backslash \; t\; parcial\}\; y\; \backslash \; cdots\; y\; \backslash \; del\; frac\; \{\backslash \; F\_\; parcial\; \{1,\; m\}\}\; \{\backslash \; t\; parcial\}\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; vdots\; y\; \backslash \; ddots\; y\; \backslash \; de\; los\; vdots\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; frac\; \{\backslash \; F\_\; parcial\; \{n,\; 1\}\}\; \{\backslash \; t\; parcial\}\; y\; \backslash \; cdots\; y\; \backslash \; del\; frac\; \{\backslash \; F\_\; parcial\; \{n,\; m\}\}\; \{\backslash \; t\; parcial\}\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}.$

gradiente del

• The de un f de la función escalar: &rarr del M ( n, m ); $del\; del\; R\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; f\; parcial\}\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\}\; =\; \backslash \; comenzar\; \{el\; bmatrix\}\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; f\; parcial\}\; \{\backslash \; X\_\; parcial\; \{1.1\}\}\; y\; \backslash \; cdots\; y\; \backslash \; del\; frac\; \{\backslash \; f\; parcial\}\; \{\backslash \; X\_\; parcial\; \{n,\; 1\}\}\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; vdots\; y\; \backslash \; ddots\; y\; \backslash \; de\; los\; vdots\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; frac\; \{\backslash \; f\; parcial\}\; \{\backslash \; X\_\; parcial\; \{1,\; m\}\}\; y\; \backslash \; cdots\; y\; \backslash \; del\; frac\; \{\backslash \; f\; parcial\}\; \{\backslash \; X\_\; parcial\; \{n,\; m\}\}\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}.$ Notar que la indexación de direcciones del gradiente con respecto al X está transportada con respecto a la indexación de direcciones del X . Direccional derivado de f en dirección de matriz Y es dado por
  
  $\backslash \; nabla\_\; \backslash \; mathbf\; \{Y\}\; f\; =\; \backslash \; operatorname\; \{tr\}\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; (\backslash \; frac\; \{\backslash \; f\; parcial\}\; \{\backslash \}\; parcial\; \backslash \; del\; mathbf\; \backslash \; mathbf\; \{Y\}\; \{X\}\; \backslash \; derecho),$ donde el tr denota el rastro .

diferencial del

• The o el derivado de la matriz de un F de la función: &rarr del M ( n, m ); El M ( p, q ) es un elemento del M ( p, q ) irprod M ( m, n ), un tensor de la fila del cuarto (la revocación del m y del n aquí indica el espacio dual M ( n, m )). En cortocircuito es una matriz cada uno del n del × del m cuyas de entradas está una matriz del q del × del p . $\backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; mathbf\; del\; \{F\}\}\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\}\; =\; \backslash \; comenzar\; \{el\; bmatrix\}\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\}\; \{\backslash \; X\_\; parcial\; \{1.1\}\}\; y\; \backslash \; cdots\; y\; \backslash \; del\; frac\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\}\; \{\backslash \; X\_\; parcial\; \{n,\; 1\}\}\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; vdots\; y\; \backslash \; ddots\; y\; \backslash \; de\; los\; vdots\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\}\; \{\backslash \; X\_\; parcial\; \{1,\; m\}\}\; y\; \backslash \; cdots\; y\; \backslash \; del\; frac\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\}\; \{\backslash \; X\_\; parcial\; \{n,\; m\}\}\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\},$ y observa que cada i, j del <sub>del X del F /∂ del ∂ es una matriz del q del × del p definida como arriba. Observar también que esta matriz tiene su indexación de direcciones transportada; filas del m y columnas del n . Pushforward a lo largo F de n × m matriz Y en M ( n, m ) es entonces
  
  $d\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; (\backslash \; mathbf\; \{Y\})\; =\; \backslash \; operatorname\; \{tr\}\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; (\backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\}\; \{\backslash \}\; parcial\; \backslash \; del\; mathbf\; \backslash \; mathbf\; \{Y\}\; \{X\}\; \backslash \; derecho).$ Observar que esta definición abarca todas las definiciones precedentes como casos especiales.</sub>

Identidades

Observar que la multiplicación de la matriz no es el comutativo, así que en estas identidades, la orden no debe ser cambiada.

regla de cadena del del
• : si el Z es una función del Y que alternadamente es una función del $del\; del\; X\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\}\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\}\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\}\; \{\backslash \}\; parcial\; \backslash \; del\; mathbf\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; mathbf\; \{Y\}\}\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\}$ {Y}

regla del producto del del

• :
  
  $\backslash \; frac\; \{\backslash \; ^T\; parcial\; (\backslash \; del\; mathbf\; \{Y\}\; \backslash \; mathbf\; \{Z\})\}\{\backslash \; parcial\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\}\; =\; (\backslash \; ^T)\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; mathbf\; del\; mathbf\; \{Z\}\; \{Y\}\}\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\}\; +\; (\backslash \; ^T)\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; mathbf\; del\; mathbf\; \{Y\}\; \{Z\}\}\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\}$

Ejemplos

Derivado de funciones lineares

Esta sección enumera algunas fórmulas derivadas del vector de uso general para las ecuaciones lineares que evalúan a un vector.

$\backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\; \backslash ;\; \backslash \; ^T\; del\; textbf\; \{a\}\; \backslash \; textbf\; \{x\}\}\; \{\backslash \; parcial\; \backslash ;\; \backslash \; =\; \backslash \; frac\; del\; textbf\; \{x\}\}\; \{\backslash \; parcial\; \backslash ;\; \backslash \; ^T\; del\; textbf\; \{x\}\; \backslash \; textbf\; \{a\}\}\; \{\backslash \; parcial\; \backslash ;\; \backslash \; textbf\; \{x\}\}\; =\; \backslash \; ^T\; del\; textbf\; \{a\}$

$\backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\; \backslash ;\; \backslash \; textbf\; \{\}\; \backslash \; textbf\; \{x\}\; de\; A\}\; \{\backslash \; parcial\; \backslash ;\; \backslash \; =\; \backslash \; textbf\; \{A\}\; del\; textbf\; \{x\}\}$

Derivado de funciones cuadráticos

Esta sección enumera algunas fórmulas derivadas del vector de uso general para las ecuaciones de la matriz cuadrático que evalúan a un escalar.

$\backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\; \backslash ;\; \backslash \; textbf\; \{x\}\; ^T\; \backslash \; textbf\; \{\}\; \backslash \; textbf\; \{x\}\; de\; A\}\; \{\backslash \; parcial\; \backslash ;\; \backslash \; textbf\; \{x\}\}\; =\; \backslash \; ^T\; del\; textbf\; \{x\}\; (\backslash \; +\; \backslash \; textbf\; \{A\}\; del\; ^T)\; del\; textbf\; \{A\}$

$\backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\; \backslash ;\; (\backslash \; +\; \backslash \; textbf\; \{b\}\; del\; textbf\; \{A\}\; \backslash \; del\; textbf\; \{x\})\; ^T\; \backslash \; textbf\; \{C\}\; (\backslash \; +\; \backslash \; textbf\; \{e\}\; del\; textbf\; \{D\}\; \backslash \; del\; textbf\; \{x\})\}\; \{\backslash \; parcial\; \backslash ;\; \backslash \; textbf\; \{x\}\}\; =\; (\backslash \; textbf\; \{D\}\; \backslash \; textbf\; \{x\}\; +\; \backslash \; textbf\; \{e\})\; ^T\; \backslash \; textbf\; \{C\}\; ^T\; \backslash \; textbf\; \{A\}\; +\; (\backslash \; +\; \backslash \; textbf\; \{b\}\; del\; textbf\; \{A\}\; \backslash \; del\; textbf\; \{x\})\; ^T\; \backslash \; textbf\; \{\}\; \backslash \; textbf\; \{D\}$ de C

Se relaciona con esto el derivado de la norma euclidiana : $\backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\; del$

l \; \|\ del mathbf {x} - \ mathbf {de a} \|} {\ parcial \; \ textbf {x}} = \ ^T del frac {(\ - \ mathbf {a} del mathbf {x})} {\|\ del mathbf {x} - \ mathbf {de a} \|}

Derivado de los rastros de la matriz

Esta sección demuestra ejemplos de la diferenciación de la matriz de las ecuaciones comunes del rastro . $\backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\; del\; \backslash ;\; \backslash \; operatorname\; \{tr\}\; (\backslash \; textbf\; \{A\}\; \backslash \; textbf\; \{\}\; \backslash \; textbf\; \{B\}\; de\; X)\}\{\backslash \; parcial\; \backslash ;\; \backslash \; =\; \backslash \; frac\; del\; textbf\; \{X\}\}\; \{\backslash \; parcial\; \backslash ;\; \backslash \; operatorname\; \{tr\}\; (\backslash \; ^T\; del\; textbf\; \{B\}\; \backslash \; ^T\; del\; textbf\; \{X\}\; \backslash \; ^T)\; del\; textbf\; \{A\}\}\; \{\backslash \; parcial\; \backslash ;\; \backslash \; textbf\; \{X\}\}\; =\; \backslash \; ^T\; del\; textbf\; \{A\}\; \backslash \; ^T\; del\; textbf\; \{B\}$ $\backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\; del$

l \; \ operatorname {tr} (\ textbf {A} \ textbf {} \ ^T del textbf {B} de X \ del textbf {X} \ textbf {C})} {\ parcial \; \ textbf {X}} = \ textbf {A} ^T \ textbf {C} ^T \ textbf {X} \ textbf {B} ^T + \ textbf {C} \ textbf {A} \ textbf {} \ textbf {B} de X

Relación a otros derivados

Hay otras definiciones de uso general para los derivados en espacios multivariables. Para los espacios de vector topológicos el más familiar es el derivado de Fréchet, que hace uso de una norma . En el caso de espacios de la matriz, hay varias normas de la matriz disponibles, que son equivalentes puesto que el espacio es finito-dimensional. Sin embargo el derivado de la matriz definido en este artículo no hace ningún uso de ninguna topología en el M ( n, m ). Se define solamente en términos de derivados parciales que sean sensibles solamente a las variaciones en una sola dimensión a la vez, y no es limitado así por la estructura diferenciable completo del espacio. Por ejemplo, es posible que un mapa haga que todos los derivados parciales existan en un punto, pero no sean continuos en la topología del espacio. Ver por ejemplo el teorema de Hartogs. El derivado de la matriz no es un caso especial del derivado de Fréchet para los espacios de la matriz, pero algo una notación conveniente para no perder de vista muchos derivados parciales para hacer cálculos, aunque en caso de que un de la función sea Fréchet diferenciable, los dos derivados convendrán.

Usos

El cálculo de matriz se utiliza para derivar los peritos estocásticos óptimos, a menudo implicando el uso de los multiplicadores de Lagrange. Esto incluye la derivación de:
Filtro de Kalman
Filtro de salchicha de Francfort

Alternativas

La notación del índice del tensor con su convención de la adición de Einstein es muy similar al cálculo de matriz, a menos que uno escriba solamente un solo componente a la vez. Tiene la ventaja que uno puede fácilmente manipular arbitrariamente los tensores de la alta fila, mientras que los tensores de más alto de dos espesos son absolutamente poco manejables con la notación de matriz. Observar que una matriz se puede considerar simplemente un tensor de la fila dos.

Ver también

Derivado (generalizaciones)

.

Zenithic

Nimbin Rocks

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