El cálculo diferenciado, un campo del en las matemáticas, es el estudio de cómo cambio de las funciones cuando sus entradas cambian. El objeto primario del estudio en cálculo diferenciado es el derivado del . El derivado de una función en un valor elegido de la entrada describe el comportamiento de la función cerca que entra valor. Para una función con valores reales de una sola variable verdadera, el derivado en un punto iguala la cuesta de la línea de tangente al gráfico de la función en ese punto. El derivado de una función en un punto determina generalmente la aproximación linear del mejor a la función en ese punto.

El proceso de encontrar un derivado se llama la diferenciación . El teorema fundamental del cálculo indica que la diferenciación es el proceso reverso a la integración .

La diferenciación tiene usos a todas las disciplinas cuantitativas. En la física, el derivado de la dislocación de un cuerpo móvil con respecto al tiempo es la velocidad del cuerpo, y el derivado de la velocidad con respecto al tiempo es aceleración. La ley de segundo de Newton del movimiento indica que el derivado del ímpetu de un cuerpo iguala la fuerza aplicada al cuerpo. El índice de la reacción de una reacción química es un derivado. En la investigación de operaciones, los derivados determinan la mayoría de los modos eficaces de transportar los materiales y de diseñar fábricas. Aplicando la teoría del juego, la diferenciación puede proporcionar las mejores estrategias para las corporaciones competentes

Los derivados se utilizan con frecuencia para encontrar los máximos y los mínimos de una función. Las ecuaciones que implican derivados se llaman las ecuaciones diferenciales y son fundamentales en la descripción de fenómenos naturales. Los derivados y sus generalizaciones aparecen a través de matemáticas, en campos tales como análisis complejo, análisis funcional, geometría diferenciada, e incluso álgebra abstracta .

El derivado

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rivado

Suponer que el x y el y son los números verdaderos y que el y es una función del x, es decir, y = el f ( x ). Uno de los tipos más simples de funciones es una función linear . Ésta es una función cuyo gráfico es una línea . En este caso, y = f ( x ) = x del m + c, donde están los números el m y el c verdaderos que dependen de qué línea determina el gráfico. el m se llama la cuesta y es dado por el $m=\; del\; \{\backslash \; mbox\; \{cambio\; adentro\}\; y\; \backslash \; sobre\; \backslash \; mbox\; \{cambio\; adentro\}\; x\}\; =\; \{\backslash \; delta\; y\; \backslash \; encima\; \{\backslash \; delta\; x\}\},$ donde está una abreviatura el símbolo Δ (la forma mayúscula del delta griego de la letra ) para el " cambiar el in". Esta fórmula es verdad porque el y del + Δ y = f ( x + Δ x ) = m ( x + Δ x ) + c = x del m + c + &Delta del m ; x = y + &Delta del m ; x . Sigue ese y de Δ = el x del m Δ.

Sin embargo, esto trabaja solamente para las funciones lineares. Las funciones no lineares no tienen una cuesta bien definida. El derivado del f en el x del punto es la aproximación mejor a la idea de la cuesta del f en el x del punto. Es generalmente el denotado f' ( x ) o dy del /el dx del . Junto con el valor del f en el x, el derivado del f determina la mejor aproximación linear, o la linearización, del f cerca del x del punto. Esta 3ultima característica se toma generalmente como la definición del derivado.

Cuando el x y el y son variables verdaderas, el derivado del f en el x es la cuesta de la línea de tangente al gráfico del f del en el x . Porque la fuente y la blanco del f son unidimensionales, el derivado del f es un número verdadero. Si el x y el y es vectores, después la mejor aproximación linear al gráfico del f depende de cómo el f cambia en varias direcciones inmediatamente. Tomando la mejor aproximación linear de una sola dirección determina un derivado parcial del, que es generalmente el denotado x del y /∂ del ∂. La linearización del f en todas las direcciones inmediatamente se llama el derivado del total del . Es una transformación linear, y determina el hiperplano que aproxima lo más de cerca posible el gráfico del f . Este hiperplano se llama el hiperplano de Osculating; es conceptual la misma idea que tomando líneas de tangente en todas las direcciones inmediatamente.

Historia de la diferenciación

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El concepto de un derivado en el sentido de una línea de tangente es muy viejo, familiar a los geómetras griegos por ejemplo Euclid (C. 300 BCE), Archimedes (C. 287 BCE - 212 BCE) y Apollonius de Perga (C. El Archimedes también introdujo el uso de infinitesimals, aunque éstos fueran utilizados sobre todo a las áreas y a los volúmenes de estudio algo que &mdash de los derivados y de las tangentes; ver el uso de Archimedes de los infinitesimals .

El uso de infinitesimals de estudiar índices de cambio se puede encontrar en las matemáticas indias, quizás desde el CE 500, cuando el Aryabhata (476 - 550) del astrónomo y del matemático utilizó infinitesimals para estudiar el movimiento de la luna. El uso de infinitesimals de computar índices de cambio fue desarrollado perceptiblemente por el Bhaskara (1114-1185): de hecho, se ha discutido que muchas de las nociones dominantes del cálculo diferenciado se pueden encontrar en su trabajo.

El desarrollo moderno del cálculo se acredita generalmente al Isaac Newton (1643 - 1727) y al Gottfried Leibniz (1646 - 1716), que proporcionaron a independiente y unificaron acercamientos a la diferenciación y a los derivados. La penetración dominante, sin embargo, que les ganó este crédito, era el teorema fundamental del cálculo que relacionaba la diferenciación y la integración: esto rindió los métodos más anteriores obsoletos para computar las áreas y los volúmenes, que no habían sido ampliados perceptiblemente desde la época de Archimedes. Para sus ideas en los derivados, Newton y Leibniz empleados trabajo anterior significativo por los matemáticos tales como carretilla de Isaac (1630 - 1677), René Descartes (1596 - 1650), Christiaan Huygens (1629 - 1695), Blaise Pascal (1623 - 1662) y Juan Wallis (1616 - 1703). Particularmente, la carretilla de Isaac se acredita a menudo con el desarrollo temprano del derivado. Sin embargo, Newton y Leibniz siguen siendo figuras claves en la historia de la diferenciación, especialmente porque Newton era el primer para aplicar la diferenciación a la física teórica, mientras que Leibniz desarrolló sistemáticamente mucha de la notación todavía usada hoy.

Desde el siglo XVII muchos matemáticos han contribuido a la teoría de la diferenciación. En el siglo XIX, el cálculo fue puesto en un pie mucho más riguroso por los matemáticos tales como Agustín Louis Cauchy (1789 - 1857), Bernhard Riemann (1826 - 1866), y Karl Weierstrass (1815 - 1897). Era también durante este período que la diferenciación fue generalizada al espacio euclidiano y al plano complejo .

Usos de derivados

Optimización

Si el f es una función diferenciable en el R (o un intervalo abierto ) y el x es un máximo local o un mínimo local f, después el derivado del f en el x es cero; los puntos donde el f “(el x ) = 0 se llama los puntos críticos o los puntos inmóviles ” (y el valor del de f en el de x se llama un del valor crítico de ). (La definición de un punto crítico se amplía a veces para incluir los puntos donde no existe el derivado.) Inversamente, un del punto crítico x del de f puede ser analizado considerando el segundo derivado del de f en el de x:
si es positivo, el de x es un mínimo local;
si es negativo, el de x es un máximo local;
si es cero, después el de x podría ser un mínimo local, un máximo local, o ni uno ni otro. (Por ejemplo, f ( del x)=x ³ tiene un punto crítico en el de x=0, pero tiene ni un máximo ni un mínimo allí, mientras que el de f ( de x) = el ⁴ del ± x tiene un punto crítico en el de x = 0 y un mínimo y un máximo, respectivamente, allí.) Esto se llama la prueba de derivado segundo . Un acercamiento alternativo, llamado la prueba de primer derivado, implica el considerar de la muestra del de f 'en cada lado del punto crítico.

Tomar derivados y el solucionar para los puntos críticos es por lo tanto a menudo una manera simple de encontrar los mínimos o los máximos locales, que pueden ser útiles en la optimización . Por el teorema del valor extremo, una función continua en un intervalo cerrado debe lograr su mínimo y valores máximos por lo menos una vez. Si la función es diferenciable, los mínimos y los máximos pueden ocurrir solamente en los puntos críticos o las puntos finales.

Esto también tiene usos en bosquejar del gráfico: una vez los mínimos y los máximos locales de una función diferenciable se han encontrado, un diagrama áspero del gráfico se puede obtener de la observación que será cada vez mayor o de disminución entre los puntos críticos.

En dimensiones más altas, un punto crítico de una función valorada escalar es un punto en el cual el gradiente es cero. La prueba de segundo derivado se puede todavía utilizar para analizar puntos críticos considerando los valores propios de la matriz Hessian de los segundos derivados parciales de la función en el punto crítico. Si todos los valores propios son positivos, después el punto es un mínimo local; si todos son negativos, es un máximo local. Si hay un cierto positivo y algunos valores propios negativos, después el punto crítico es un punto de silla de montar, y si ningunos de estos casos llevan a cabo (es decir, algunos de los valores propios son cero) entonces la prueba son poco concluyentes.

Cálculo de variaciones

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Un ejemplo de un problema de la optimización es: Encontrar la curva más corta entre dos puntos en una superficie, si se asume que la curva debe también mentir en la superficie. Si la superficie es un plano, después la curva más corta es una línea. Pero si la superficie es, por ejemplo, egg-shaped, después él no está inmediatamente claro cuáles el Shortest-Path es. Estas trayectorias se llaman la geodesia y uno de los problemas más simples del cálculo de variaciones está encontrando la geodesia. Otro ejemplo es: Encontrar el relleno superficial del área más pequeña de una curva cerrada en espacio. Esta superficie se llama una superficie mínima y, puede ser encontrado también usar el cálculo de variaciones.

La física

El cálculo es de importancia vital en la física: muchos procesos físicos son descritos por las ecuaciones que implican los derivados, llamados el la física de las ecuaciones diferenciales se trata particularmente a la manera que las cantidades cambian y que se desarrollan en un cierto plazo, y al concepto del " " del derivado del tiempo del ; — el índice de &mdash del cambio en un cierto plazo; es esencial para la definición exacta de varios conceptos importantes. Particularmente, los derivados del tiempo de la posición de un objeto son significativos en la física neutoniana :
la velocidad es el derivado (con respecto a tiempo) de la dislocación de un objeto (la distancia de la posición original)
La aceleración es el derivado (con respecto a tiempo) de la velocidad de un objeto, es decir, el segundo derivado (con respecto a tiempo) de la posición de un objeto.

Por ejemplo, si la posición de un objeto respecto a una línea se da cerca ¡$x\; del$

l (t) = -16t^2 + 16t + 32, \, \!

entonces la velocidad del objeto está ¡$del$

l \ punto x (t) = x'(t) = -32t + 16, \, \!

y la aceleración del objeto es ¡$del$

l \ ddot x (t) = de x (t) = -32, \, \!

cuál es constante.

Ecuaciones diferenciales

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la ecuación diferencial

Una ecuación diferencial es relación entre una colección de funciones y sus derivados. Una ecuación diferencial ordinaria es una ecuación diferencial que se relaciona funciones de una variable con sus derivados con respecto a esa variable. Una ecuación diferencial parcial es una ecuación diferencial que se relaciona funciones más que una variable con sus derivados parciales. Las ecuaciones diferenciales se presentan naturalmente en las ciencias físicas, en el modelado matemático, y dentro de las matemáticas sí mismo. Por ejemplo, la ley de Newton, que describe la relación entre la aceleración y la posición, se puede indicar en segundo lugar como el $F\; del\; de\; la\; ecuación\; diferencial\; ordinaria\; (t)\; =\; m\; \backslash \; frac\; \{d^2x\}\; \{dt^2\}.$ La ecuación del calor en una variable del espacio, que describe cómo el calor difunde a través de una barra recta, es el $parcial\; del\; de\; la\; ecuación\; diferencial\; \backslash \; =\; \backslash \; alfa\; \backslash \; frac\; del\; frac\; \{\backslash \; u\; parcial\}\; \{\backslash \; t\; parcial\}\; \{\backslash \; partial^2\; u\}\; \{\backslash \; x^2\; parcial\}.$ Aquí el u ( x, t ) es la temperatura de la barra en el x de la posición y el t del tiempo y α es un constante que depende de cómo rápidamente el calor difunde a través de la barra.

Teorema de valor medio

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l teorema de valor medio

El teorema de valor medio da una relación entre los valores del derivado y los valores de la función original. Si el f ( x ) es una función con valores reales y un y el b es números con el < el b, después el teorema de valor medio dice que bajo hipótesis suaves, la cuesta entre los dos puntos ( un, f ( un )) y ( b, f ( b )) es igual a la cuesta de la línea de tangente al f en un cierto c del punto entre el al y el b . Es decir = \ frac {f del $f\text{'}(del\; c)\; (b)\; -\; f\; (a)\}\; \{b\; -\; a\}.$ En la práctica, qué lo hace el teorema de valor medio es control a la función en términos de su derivado. Por ejemplo, suponer que el f tiene derivado igual a cero en cada punto. Esto significa que su línea de tangente es horizontal en cada punto, así que la función debe también ser horizontal. El teorema de valor medio prueba que éste debe ser verdad: La cuesta entre cualquier dos puntos en el gráfico del f debe igualar la cuesta de una de las líneas de tangente del f . Todas esas cuestas son cero, así que cualquier línea a partir de un punto en el gráfico a otro punto también tendrá cuesta cero. Pero eso dice que la función no se mueve hacia arriba o hacia abajo, así que debe ser una linea horizontal. Condiciones más complicadas en el derivado llevan para precisar menos pero aún información alto útil sobre la función original.

Polinomios de Taylor y serie de Taylor

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polinómico de Taylor

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la serie de Taylor

El derivado da la aproximación linear mejor, pero éste puede ser muy diferente de la función original. Una forma de mejorar la aproximación es tomar una aproximación cuadrático. Es decir, la linearización de un con valores reales f ( x ) de la función en el x del punto ₀ es un polinómico linear + el b ( x - x ₀), y puede ser posible conseguir una mejor aproximación considerando un del polinomio cuadrático + el b ( x - el x ₀) + el c ( x - x ₀) ². Todavía mejorar pudo ser un polinómico cúbico + el b ( x - x ₀) + el c ( x - el x ₀) ² + el d ( x - x ₀) ³, y esta idea se puede ampliar arbitrariamente a los polinomios del alto nivel. Para cada uno de estos polinomios, debe haber una opción mejor del de los coeficientes al, del b, del c, y del d que hace la aproximación tan buena como sea posible.

Para el un, la opción mejor es siempre el f ( x ₀), y para el b, la opción mejor es siempre el f' ( x ₀). Para el c, d, y coeficientes del alto-grado, estos coeficientes son determinados por derivados más altos del f . ¡el c debe siempre ser del f del ( ₀) /2 de x, y el de d debe siempre ser del f de ( ₀ de x) /3 ! . Usar estos coeficientes da a Taylor el polynomial del f . El polinomio de Taylor del d del grado es el polinomio del d del grado que aproxima mejor el f, y sus coeficientes se pueden encontrar por una generalización de las fórmulas antedichas. El teorema de Taylor da un límite exacto en cómo es bueno es la aproximación. Si el f es un polinomio del grado inferior o igual el d, después el polinomio de Taylor del d del grado iguala el f .

El límite de los polinomios de Taylor es una serie infinita llamada la serie de Taylor del . La serie de Taylor es con frecuencia una aproximación muy buena a la función original. Las funciones que son iguales a su serie de Taylor se llaman las funciones analíticas que es imposible para las funciones con discontinuidades o esquinas agudas ser analítico, pero allí son las funciones lisas que no son analíticas.

Teorema de la función implícita

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l teorema de la función implícita

Algunas formas geométricas naturales, tales como círculos no se pueden dibujar como el gráfico de una función . Por ejemplo, si el F ( x, y ) = el x ² + el y ², entonces el círculo es el sistema de todos los pares ( x, y ) tales que el F ( x, y ) = 0. Este sistema se llama el sistema cero del F . No es igual que el gráfico del F, que es un cono . El teorema de la función implícita convierte relaciones tales como F ( x, y ) = 0 en funciones. Indica que si el F es el continuamente diferenciable, después alrededor de la mayoría de los puntos, el sistema cero del F parece gráficos de las funciones pegadas juntas. Los puntos donde no está verdad éste son determinados por una condición en el derivado del F . El círculo, por ejemplo, se puede pegar junto de los gráficos del $\backslash \; P.\; \backslash raíz\; cuadrada\{1-x^2\}$ de dos funciones. En una vecindad de cada punto en el círculo excepto (- 1, 0) y (1, 0), una de estas dos funciones tiene un gráfico que parezca el círculo. (Estas dos funciones también suceden encontrarse (- 1, 0) y (1, 0), pero esto no es garantizada por el teorema de la función implícita.)

El teorema de la función implícita es estrechamente vinculado al teorema de función inversa, que indica cuándo una función parece gráficos de las funciones inversibles pegadas juntas.

Ver también

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