El cálculo fraccionario es una rama del análisis matemático que estudia la posibilidad de tomar a las energías del número verdadero del operador diferenciado

$D\; =\; \backslash \; frac\; \{d\}\; \{\}\; \backslash ,\; del\; dx$

y el J del operador de la integración. (El J se utiliza generalmente a favor del I para evitar la confusión con el otro I - como glyphs y las identidades )

En energías de este del contexto refieren al uso iterativo, en iguales sentido ese f ²(x) = f (f (x)).
Por ejemplo, uno puede plantear la cuestión de la interpretación significativo

$\backslash \; raíz\; cuadrado\; \{D\}\; =\; D^\; \{\}\; \backslash ,\; del\; 1/2$

como raíz cuadrada del operador de la diferenciación (una mitad itera ), es decir, una expresión del operador para algún operador que cuando es aplicado el a una función tendrá dos veces el mismo efecto que la diferenciación . Más generalmente, uno puede mirar la cuestión de la definición $D^s\; \backslash ,\; del$

l del

para los valores del verdadero-número del s de una manera tal que cuando el s toma un n del valor del número entero, la energía generalmente del n - la diferenciación del doblez se recupera para el n > 0, y el − energía del th del n del J cuando n < 0.

Hay varias razones de mirar esta pregunta. Uno es que de esta manera el semigrupo n del ^{del D de las energías en el variable discreto n del está considerado dentro de un semigrupo continuo del (uno espera) con el s del parámetro que es un número verdadero. Los semigrupos continuos son frecuentes en matemáticas, y tienen una teoría interesante. Notar aquí que la fracción del es entonces un nombre incorrecto para el exponente, puesto que no necesita ser el racional, solamente el del término que el cálculo fraccionario ha llegado a ser tradicional.}

Derivado fraccionario

Por lo que la existencia de tal teoría, las fundaciones del tema fueron puestas por el Liouville en un papel a partir de 1832. El derivado fraccionario de una función para pedir el un a menudo ahora se define por medio Fourier o el Mellin integral transforma. Un aspecto importante es que el derivado fraccionario en un x del punto es una característica local del solamente cuando el un es un número entero; en casos no íntegros no podemos decir que el derivado fraccionario en el x de un f de la función depende solamente del gráfico del f muy cerca del x, de la manera que lo hacen los derivados de la número-energía ciertamente. Por lo tanto se espera que la teoría implique una cierta clase de las condiciones de límite que implican la información sobre la función más lejos hacia fuera. Para utilizar una metáfora, el derivado fraccionario requiere una cierta visión periférica .

Para la historia del tema, ver la tesis (en francés): Stéphane Dugowson, métaphysiques de los différentielles de Les (histoire y l'ordre de dérivation de philosophie de la généralisation de), Thèse, Université París Nord (1994)

Heurística

Una pregunta bastante natural a pedir está, allí existe un operador $H$, o el mitad-derivado, tal del que ¿

$H^2\; f\; del\; del$
(x) = D f (x) = \ frac {d} {dx} f (x) = f'(x) ?

Resulta que hay tal operador, y de hecho para cualquier $a\; >\; 0$, existe un operador $P$ tales que $del$

l del
(^ de P una f) (x) = f'(x) \, ,

o para ponerlo otra manera, $\backslash \; el\; frac\; \{d^ny\}\; \{dx^n\}$ es el bien definido para todos los valores verdaderos del n > 0. Un resultado similar se aplica a la integración.

Para cavar en un pequeño detalle, comienzo con el $de\; lafunción\; gamma\backslash \; la\; gamma\; \backslash ,$, el cual extiende el Factorials a los valores del no-número entero. ¡Esto se define tales que $n\; del\; del$
! = \ gamma (n+1) \, .

Si se asume que un $f\; de\; la\; función\; (x)$ que está bien definido donde del $x\; >\; 0,\; nosotros\; puede\; formar\; elintegraldefinido\; a\; partir\; de\; la\; 0\; al\; x\; .\; Llamemos\; esto$ del$$

l del
(= \ int_0^x f de J f) (x) (t) \; despegue .

La repetición de este proceso da $del$

l del
(= \ int_0^x (= \ int_0^x de J^2 f) (x) de J f) (t) despegue \ se fue (\ int_0^t f \; ds \) derecho \; dt, y esto se puede ampliar arbitrariamente.

La fórmula de Cauchy para la integración repetida, a saber ¡$del$

l del
(J^ N-F) (x) = {1 \ encima (n-1)! ^} \ int_0^x (x-t) {n-1} f (t) \; despegue,

lleva a una manera directa a una generalización para el verdadero n .

¡Simplemente usar la función gamma para quitar la naturaleza discreta de la función factorial (que recuerda que $\backslash \; gamma\; \backslash \; se\; fue\; (n+1\; \backslash )\; derecho\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; n!\; ¡$, o equivalente $\backslash \; gamma\; \backslash \; se\; fue\; (n\; \backslash )\; derecho\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; (n-1)!$) nos da un candidato natural a usos fraccionarios del operador integral.

$(J^\; \backslash \; alfa\; f)\; (x)\; =\; \{1\; \backslash \; sobre\; \backslash \; ^\}\; \backslash \; int\_0^x\; (x-t)\; de\; lagamma(\backslash \; alfa)\; \{\backslash \; alpha-1\}\; f\; (t)\; \backslash ;\; dt$

Esto es de hecho operador bien definido.

Puede ser demostrado que el operador del J es comutativo y aditivo. Es decir,

$(J^\; \backslash \; alfa)\; (J^\; \backslash \; beta)\; f\; =\; (J^\; \backslash \; beta)\; (J^\; \backslash \; alfa)\; f\; =\; (J^\; \{\backslash \; alpha+\; \backslash \; beta\})\; f\; =\; \{1\; \backslash \; sobre\; \backslash \; ^\}\; \backslash \; int\_0^x\; (x-t)\; de\; la\; gamma\; (\backslash \; alfa\; +\; \backslash \; beta)\; \{\backslash \; alpha+\; \backslash \; beta-1\}\; f\; (t)\; \backslash ;\; dt$

Esta característica se llama la característica de semigrupo de los operadores fraccionarios de Differintegral . Desafortunadamente el proceso comparable para el derivado D del operador es más complejo, pero puede ser demostrado que el D es ni el comutativo, ni el añadido en general.

Medio derivado de una función simple

Asumamos que $f\; (x)$ es un monomio de la forma $f\; del$

l del
(x) = x^k \;.

El primer derivado está como de costumbre

$f\text{'}(x)\; =\; \{d\; \backslash \; sobre\; dx\}\; f\; (x)\; =\; k\; x^\; \{k-1\}\; \backslash ;.$

La repetición de esto da a resultado más general eso ¡x^k del $del$

l del
{d^a \ sobre dx^a} = {k! ¡\ encima (k - a)! } x^ {} \; de ka,

Cuál, después de substituir el Factorials por la función gamma, nos lleva

$\{d^a\; \backslash \; sobre\; dx^a\}\; x^k\; =\; \{\backslash \; gamma\; (k+1)\; \backslash \; sobre\; \backslash \; gamma\; (k\; -\; a\; +\; 1)\}\; x^\; \{\}\; \backslash ;\; de\; ka.$

Así pues, por ejemplo, el mitad-derivado de $x$ es

$\{d^\; \{1\; \backslash \; sobre\; 2\}\; \backslash \; sobre\; el\; dx^\; \{1\; \backslash \; sobre\; 2\}\}\; x\; =\; \{\backslash \; gamma\; (1\; +\; 1)\; \backslash \; sobre\; \backslash \; gamma\; (1\; -\; \{1\; \backslash \; sobre\; 2\}\; +\; 1)\}\; x^\; \{1\; \{1\; \backslash \; sobre\; 2\}\}\; =\; \{\backslash \; gamma\; (2)\; \backslash \; sobre\; \backslash \; gamma\; (\{3\; \backslash \; sobre\; 2\})\}\; x^\; \{1\; \backslash \; sobre\; 2\}\; =\; \{2\; \backslash \; pi^\; \{-\; \{1\; \backslash \; sobre\; 2\}\}\}\; x^\; \{1\; \backslash \; sobre\; 2\}\; \backslash ;\; =\; \backslash \; frac\; \{2\; \backslash ,\; x^\; \{1\; \backslash \; sobre\; 2\}\}\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{\backslash \; pi\}\}.$

La repetición de este proceso da x^ del $del$

l del
{d^ {1 \ sobre 2} \ sobre el dx^ {1 \ sobre 2}} {2 \ pi^ {- {1 \ sobre 2}}} {1 \ sobre 2} = {2 \ pi^ {- {1 \ sobre 2}}} {\ gamma (1 + {1 \ sobre 2}) \ sobre \ x^ de la gamma ({1 \ sobre 2} - {1 \ sobre 2} + 1)} = {2 \ pi^ {- {1 \ sobre 2}}} {\ gamma ({3 \ sobre 2}) \ sobre \ gamma (1)} x^0 = {1 \ sobre \ gamma (1)} = 1 \;,

cuál está de hecho el resultado previsto

$\backslash \; ido\; (\backslash \; frac\; \{d^\; \{\}\; \backslash \; frac\; \{d^\; \{el\; 1/2\}\}\; \{dx^\; \{el\; 1/2\}\; del\; 1/2\}\}\; \{dx^\; \{el\; 1/2\}\}\; \backslash \; derecho)\; x\; =\; \{d\; \backslash \; sobre\; dx\}\; x\; =\; 1\; \backslash ,$

Esta extensión del operador diferenciado antedicho no necesita ser obligada solamente a las energías verdaderas. Por ejemplo, el derivado del th (1+i) del derivado del th (1-i) rinde el 2do derivado.

Laplace transforma

Podemos también venir en la pregunta vía el Laplace transformamos . Observando que $del\; \backslash \; L\; mathcal\; \backslash \; dejado\; (t\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; int\_0^t\; f)\; \backslash ,\; (\backslash \; tau\; d\; \backslash \; tau\; \backslash \; derecho)\; =\; \backslash \; LJf=s\; \backslash \; mapsto\; mathcal\; \backslash \; frac1s\; (\backslash \; Lf\; mathcal)\; (s)$ y $del\; \backslash \; LJ^2f=s\; \backslash \; mapsto\; mathcal\; \backslash \; frac1s\; (\backslash \; LJf\; mathcal)\; (s)=s\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; frac1\; \{s^2\}\; (\backslash \; Lf\; mathcal)\; (s)$ etc., nosotros afirman

$J^\; \backslash \; alfa\; f=\; \backslash \; mathcal\; L^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; (s^\; de\; s\; \backslash \; del\; mapsto\; \{-\; \backslash \; alfa\}\; (\backslash \; Lf\; mathcal)\; (s)\; \backslash \; derecho)$. Por ejemplo $J^\; del\; \backslash \; (t^k\; de\; t\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; derecho)$$alfa\; \backslash \; dejado$

\ mathcal L^ {- 1 $\}\; \backslash \; dejado\; (s\; \backslash \; mapsto\; \{\backslash \; gamma\; (k+1)\; \backslash \; sobre\; s^\; \{\backslash \; alpha+k+1\}\}\; \backslash \; derecho)$

t \ mapsto {\ gamma (k+1) \ sobre \ (\ alpha+k+1)} t^ gamma {\ alpha+k}

según lo esperado. De hecho, dado el $\backslash \; el\; L\; mathcal\; (f*g)=\; (\backslash \; Lf\; mathcal)\; de\; la\; regla\; de\; lacircunvolución(\backslash \; Lg\; mathcal)$ (y $p\; shorthanding\; (x)=x^\; \{\backslash \; alpha-1\}$ para mayor clareza) encontramos ese $J^\; \backslash \; f=\; alfa\; \backslash \; frac1\; del\; \{\backslash \; gamma\; (\backslash \; la\; alfa)\}\backslash \; L^\; mathcal\; \{-\; 1\}\; \backslash \; derecho\; (\backslash \; dejado\; (\backslash \; mathcal\; Lp\; \backslash )\; (\backslash \; Lf\; mathcal)\; \backslash \; derecho)$$dejado$

\ frac1 {\ gamma (\ alfa)}(p*f)$$

x \ mapsto \ frac1 {\ gamma (\ alfa)}\ int_0^xp (x-t) f (t) \, dt$$

x \ mapsto \ frac1 {\ gamma (\ alfa)}\ int_0^x (x-t) ^ {\ alpha-1} f (t) \, dt

cuál es sobre lo que nos dio Cauchy.

Laplace transforma el " work" en relativamente pocas funciones, pero ellos el es a menudo útil para solucionar ecuaciones diferenciales fraccionarias.

Riemann-Liouville differintegral

La forma clásica de cálculo fraccionario es dada por el Riemann-Liouville differintegral, esencialmente qué se ha descrito arriba. La teoría para las funciones periódicas por lo tanto incluyendo la “condición de límite” de la repetición después de un período, es el Weyl differintegral. Se define en la serie de Fourier Del, y requiere el coeficiente constante de Fourier desaparecer (así pues, se aplica a las funciones en el círculo de unidad que integra a 0).

Por el contrario el Grunwald-Letnikov differintegral comienza con el derivado.

Cálculo funcional

En el contexto del análisis funcional, f de las funciones (D) más generales que energías se estudian en el cálculo funcional de la teoría espectral . La teoría de los operadores del Pseudo-diferencial también permite que uno considere energías del D . El surgimiento de los operadores es ejemplos de los operadores integrales singulares y la generalización de la teoría clásica a dimensiones más altas se llama la teoría de los potenciales de Riesz que tan allí son un número de teorías contemporáneas disponibles, dentro de las cuales el cálculo fraccionario del puede ser discutido. Ver también a operador de Erdélyi-Kober, importante en teoría de la función especial .

Para la interpretación geométrica y física posible de la integración de la fraccionario-orden y de la diferenciación de la fraccionario-orden, ver:
Interpretación de Podlubny, del I., geométrica y física de la integración fraccionaria y de la diferenciación fraccionaria. Cálculo fraccionario y análisis aplicado, vol.  4, 2002, 367– 386. (disponible como el artículo original, o prueba preliminar en Arxiv.org)

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Zenithic

Joe Paterson

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