En la geometría euclidiana, un círculo es el determinado de todos los puntos en un plano en una distancia fija, llamado el radio, de un punto dado, el centro del .

Los círculos son las curvas cerradas simples que dividen el plano en un interior y un exterior. La circunferencia de un círculo es el perímetro del círculo, y el interior del círculo se llama un disco . Un arco es cualquier porción continua de un círculo.

Un círculo es una elipse especial en la cual los dos focos coinciden (es decir, está el mismo punto). Los círculos son las secciones cónicas logrados cuando un cono circular de la derecha se interseca con un perpendicular del plano al eje del cono.

Resultados analíticos

En un x - el sistema coordinado y, el círculo con el centro ( un, b ) y el r del radio es el sistema de todos los puntos ( x, y ) tales que

$\backslash \; dejó\; (x\; -\; a\; \backslash \; derecho)\; ^2\; +\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; (y\; -\; b\; \backslash \; derecho)\; ^2=r^2.$

La ecuación del círculo sigue del teorema pitagórico aplicado a cualquier punto en el círculo.

Si el círculo se centra en el origen (0, 0), después esta fórmula se puede simplificar a ¡

l $x^2\; +\; y^2\; =\; r^2\; \backslash !\; \backslash$

y su tangente será ¡

$xx\_1+yy\_1=r^2\; del\; \backslash !\; \backslash$ donde están los coordenadas $x\_1$, $y\_1$ del punto común.

Cuando está expresado en las ecuaciones paramétricas, ( x,   el y ) se puede escribir usar el seno y el coseno de las funciones trigonométricas como ¡$x\; del$

l = a+r \, \, \, \! de lechuga romana t¡
de $y\; =\; b+r\; \backslash ,\; \backslash \; pecado\; t\; \backslash ,\; \backslash !$

donde está una variable el t paramétrica, entendida como el ángulo el rayo de (el x,   el y ) hace con el x - eje.

En los coordenadas homogéneos cada sección cónica con la ecuación de un círculo está $\backslash \; ax^2+ay^2+2b\_1xz+2b\_2yz+cz^2\; del$

l = 0.

Puede ser probado que una sección cónica del es un círculo si y solamente si el punto I (1, i, 0) y mentira de J (1, - i, 0) en la sección cónica. Estos puntos se llaman los puntos circulares en el infinito .

En los coordenadas polares la ecuación de un círculo está

$r^2\; -\; 2\; r\; r\_0\; \backslash \; lechuga\; romana\; (\backslash \; -\; \backslash \; varphi\; de\; la\; theta)\; +\; r\_0^2\; =\; a^2.\; \backslash ,$

En el plano complejo, un círculo con un centro en el c y el radio ( r ) tiene el $de\; la\; ecuación|z-c|^2\; =\; r^2$. Desde $|z-c|^2\; =\; z\; \backslash \; el\; overline\; \{z\}\; -\; \backslash \; z-c\; del\; overline\; \{c\}\; \backslash \; el\; overline\; \{z\}\; +c\; \backslash \; overline\; \{c\}$, el $pz\; levemente\; generalizado\; de\; la\; ecuación\; \backslash \; overline\; \{z\}\; +\; +\; \backslash \; overline\; \{gz\}\; del\; gz\; =\; q$ para el verdadero p, el q y el complejo g a veces se llama un círculo generalizado . Es importante observar que no todos los círculos generalizados son realmente círculos.

Cuesta

La cuesta de un círculo en un punto ( x,   el y ) se puede expresar con la fórmula siguiente, asumiendo que el centro está en el origen y (el x,   el y ) está en el círculo:

$y\; =\; -\; \backslash \; frac\; \{x\}\; \{y\}.$

Más generalmente, la cuesta en un punto ( x,   y ) en el $del\; círculo\; (XA)\; ^2\; +\; (y-b)\; ^2\; =\; r^2$, es decir, el círculo centrado en ( un,   el b ) con las unidades del r del radio, se da cerca

$=\; \backslash \; frac\; \{hacha\}\; \{y-b\}\; del\; y,$

a condición de que es $y\; \backslash \; neq\; b$, por supuesto.

pi ($\backslash \; pi$)

El pi o el π es el cociente de la circunferencia de un círculo a su diámetro .

valor numérico del

The del $\backslash \; pi$ nunca changes.

del inglés moderno del

In, es ˈpaɪ (como en empanada de manzana).

Circunferencia

considera también:

la circunferencia
La longitud de la circunferencia de un círculo es

$c\; =\; \backslash \; pi\; d\; =\; 2\; \backslash \; pi\; \backslash \; cdot\; R.$
Fórmula alterna del

para la circunferencia:

Dado que es el c de la circunferencia del cociente al A del área

$\backslash \; =\; \backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\; r\}\; del\; frac\; \{c\}\; \{A\}\; \{\backslash \; pi\; r^2\}.$

El r y el π se pueden cancelar, yéndose

$\backslash \; =\; \backslash \; frac\; \{2\}\; del\; frac\; \{c\}\; \{A\}\; \{r\}.$

Por lo tanto solucionando para el c :

$c\; =\; \backslash \; frac\; \{2A\}\; \{r\}$

La circunferencia es tan igual a 2 por el área, dividida por el radio. Esto se puede utilizar para calcular la circunferencia cuando un valor para el π no puede ser computado.

Diámetro

considera también:

l diámetro El diámetro de un círculo es una línea recta a través del centro del círculo que toca el círculo en ambos lados.

El diámetro de un círculo es doble su radio.

$d\; =\; 2r=\; 2\; \backslash \; cdot\; \backslash \; raíz\; cuadrado\; \{\backslash \}\; \backslash \; aproximadamente\; del\; frac\; \{A\}\; \{\backslash \; pi\}\; 1\; \{.\}1284\; \backslash \; cdot\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{A\}.$

El área incluyó

considera también: Área de un

l disco

el área incluida por un círculo es el radio ajustado, multiplicado por el $\backslash \; pi$.

$A\; =\; r^2\; \backslash \; cdot\; \backslash \; pi$

Usar un cuadrado con las longitudes laterales iguales al diámetro del círculo, entonces dividiendo el cuadrado en cuatro cuadrados con las longitudes laterales iguales al radio del círculo, tomar el área del cuadrado más pequeño y multiplicarse por el $\backslash \; pi$.

$A\; =\; \backslash \; frac\; \{d^2\; \backslash \; cdot\; \backslash \; pi\}\; \{4\}\; \backslash \; aproximadamente\; 0\; \{.\}7854\; \backslash \; cdot\; d^2,$ es decir, el aproximadamente 79% que circunscribe el cuadrado de .

Características

el círculo es la forma con el área más alta para una longitud dada del perímetro. (Véase el Isoperimetry )
El círculo es una forma alto simétrica: cada línea a través del centro forma una línea de la simetría de la reflexión y tiene simetría rotatoria alrededor del centro para cada ángulo. Su grupo de la simetría es el grupo ortogonal O (2, R ). El grupo de rotaciones solamente es el T del grupo del círculo.
Todos los círculos son el similar. La circunferencia y el radio de un círculo son el proporcional,
El área incluida y el cuadrado de su radio son el proporcional.
Los constantes de la proporcionalidad son el π de 2 y π, respectivamente.
El círculo se centró en el origen con el radio 1 se llama el círculo de unidad .

Características del acorde

Los acordes equidistantes del centro de un círculo son iguales (longitud).
Los acordes del igual (longitud) son equidistantes del centro.
El perpendicular bisectriz de un acorde pasa a través del centro de un círculo; declaraciones equivalentes que provienen la unicidad del bisectriz perpendicular: Una línea perpendicular del centro de un círculo biseca el acorde.
La línea segmento (segmento circular ) a través del centro que biseca un acorde es perpendicular al acorde.
Si un ángulo central y un ángulo inscrito de un círculo es subtendido por el mismo acorde y en el mismo lado del acorde, después el ángulo central es dos veces el ángulo inscrito.
Si dos ángulos están inscritos en el mismo acorde y en el mismo lado del acorde, después son iguales.
Si dos ángulos están inscritos en el mismo acorde y en los lados opuestos del acorde, después son suplementales. Para un cuadrilátero cíclico, el ángulo exterior es igual al interior enfrente de ángulo.
Un ángulo inscrito subtendió por un diámetro es un de ángulo recto.
El diámetro es el acorde más largo del círculo.

Características de Sagitta

El sagitta es una línea perpendicular dibujado del segmento a un acorde, entre el punto mediano de ese acorde y la circunferencia del círculo.
Dado el y de la longitud de un acorde, y el x de la longitud del sagitta, el teorema pitagórico se puede utilizar para calcular el radio del círculo único que cabrá alrededor de las dos líneas: + \ frac {x} {2} del $r=\; \backslash \; del\; frac\; del$

l del
{y^2} {8x}.

Características de la tangente

La línea perpendicular dibujado a la punto final de un radio es una tangente al círculo.
Una línea perpendicular dibujado a una tangente actualmente contacto con un círculo pasa a través del centro del círculo.
Las tangentes extraídas de un punto fuera del círculo son iguales en longitud.
Dos tangentes se pueden extraer siempre de un punto fuera del círculo.

Teoremas

Energía de un punto
El teorema del acorde indica eso si dos acordes, CD y EF, se intersecan en G, entonces $CG\; \backslash \; épocas\; DG\; =\; EG.\; (Teorema\; del\; acorde)$
Si una tangente de un externo D del punto resuelve el círculo en el C y una secante del externo D del punto resuelve el círculo en el G y el E respectivamente, entonces $DC^2\; =\; DG\; \backslash \; las\; épocas\; DE$. (teorema tangente-secante)
Si dos el DG y el DE de las secantes, también cortaron el círculo en H y F respectivamente, entonces $DH\; \backslash \; las\; épocas\; DG\; =\; DF\; \backslash \; las\; épocas\; DE$. (Corolario del teorema tangente-secante)
El ángulo entre una tangente y un acorde es igual al ángulo subtendido en el lado opuesto del acorde. (Característica del acorde de la tangente)
Si el ángulo subtendido por el acorde en el centro es 90 grados entonces de l = √(2)  ×   el r, donde está la longitud el l del acorde y del r es el radio del círculo.
Si dos secantes están inscritas en el círculo como se muestra en la derecha, después la medida del ángulo A es igual a una mitad de la diferencia de las medidas de los arcos incluidos (DE y A. Éste es el teorema secante-secante.

Ángulos inscritos

Un $inscrito\; \backslash \; psi$ del ángulo es exactamente mitad del $central\; correspondiente\; \backslash \; theta$ del ángulo (véase la figura). Por lo tanto, todos los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco tienen el mismo valor (cf. el $azul\; yverde\backslash \; psi$ de los ángulos en la figura). Los ángulos inscritos en el arco son suplementarios. Particularmente, cada ángulo inscrito que subtiende un diámetro es un de ángulo recto.

¡Una definición alternativa de un circle

El Apollonius de Perga demostró que un círculo se puede también definir como el sistema de puntos que tienen un cociente constante del de distancias a dos focos, A y B.

La prueba está como sigue. Una línea PC del segmento biseca el ángulo interior APB, puesto que los segmentos son similares:

$\backslash \; =\; \backslash \; frac\; \{CA\}\; del\; frac\; \{AP\}\; \{BP\}\; \{A.\}$

Análogo, una línea paladio del segmento biseca el ángulo exterior correspondiente. Desde la suma de los ángulos interiores y exteriores a $180^\; \{\backslash \; circ\}$, el ángulo CPD es exactamente $90^\; \{\backslash \; circ\}$, es decir, un de ángulo recto. El sistema de los puntos P que forman un de ángulo recto con una línea segmento dada forma CD un círculo, cuyo el CD es el diámetro. Como punto de la clarificación, observar que C y D son determinadas por A, B, y el cociente deseado; es decir. A y B no son puntos arbitrarios que mienten en una extensión del diámetro de un círculo existente.

Cálculo de los parámetros de un círculo

Dado tres puntos no-colineales que mienten en el círculo

$\backslash \; el\; mathrm\; \{P\_1\}\; =\; \backslash \; comienza\; \{bmatrix\}\; \backslash \; y\_1\; \backslash \; x\_1\; \backslash \; \backslash \; z\_1\; \backslash \; extremo\; \{el\; bmatrix\},\; \backslash \; el\; mathrm\; \{P\_2\}\; =\; \backslash \; comienza\; \{bmatrix\}\; \backslash \; y\_2\; \backslash \; x\_2\; \backslash \; \backslash \; z\_2\; \backslash \; extremo\; \{el\; bmatrix\},\; \backslash \; el\; mathrm\; \{P\_3\}\; =\; \backslash \; comienza\; \{bmatrix\}\; \backslash \; y\_3\; \backslash \; x\_3\; \backslash \; \backslash \; z\_3\; \backslash \; extremo\; \{el\; bmatrix\}$

Radio

El radio del círculo se da cerca

$\backslash \; =\; \backslash \; frac\; del\; mathrm\; \{r\}\; \{\backslash \; se\; fue|P\_1-P\_2\; \backslash \; derecho|\; \backslash \; se\; fue|P\_2-P\_3\; \backslash \; derecho|\backslash \; se\; fue|P\_3-P\_1\; \backslash \; derecho|\}\; \{2\; \backslash \; se\; fueron|\backslash \; se\; fue\; (P\_1-P\_2\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; las\; épocas\; \backslash \; se\; fue\; (P\_2-P\_3\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; derecho|\}$

Centro

El centro del círculo se da cerca

$\backslash \; =\; \backslash \; alfa\; \backslash ,\; P\_1\; +\; \backslash \; beta\; \backslash ,\; P\_2\; del\; mathrm\; \{P\_c\}\; +\; \backslash \; gamma\; \backslash ,\; P\_3$

$\backslash \; =\; \backslash \; frac\; de\; la\; alfa\; \{\backslash \; se\; fue|P\_2-P\_3\; \backslash \; derecho|^2\; \backslash \; ido\; (P\_1-P\_2\; \backslash )\; derecho\; \backslash \; cdot\; \backslash \; se\; fue\; (P\_1-P\_3\; \backslash \; derechos)\}\; \{2\; \backslash \; se\; fueron|\backslash \; se\; fue\; (P\_1-P\_2\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; las\; épocas\; \backslash \; se\; fue\; (P\_2-P\_3\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; derecho|^2\}$

$\backslash \; =\; beta\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; se\; fue|P\_1-P\_3\; \backslash \; derecho|^2\; \backslash \; ido\; (P\_2-P\_1\; \backslash )\; derecho\; \backslash \; cdot\; \backslash \; se\; fue\; (P\_2-P\_3\; \backslash \; derechos)\}\; \{2\; \backslash \; se\; fueron|\backslash \; se\; fue\; (P\_1-P\_2\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; las\; épocas\; \backslash \; se\; fue\; (P\_2-P\_3\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; derecho|^2\}$

$\backslash \; =\; \backslash \; frac\; de\; la\; gamma\; \{\backslash \; se\; fue|P\_1-P\_2\; \backslash \; derecho|^2\; \backslash \; ido\; (P\_3-P\_1\; \backslash )\; derecho\; \backslash \; cdot\; \backslash \; se\; fue\; (P\_3-P\_2\; \backslash \; derechos)\}\; \{2\; \backslash \; se\; fueron|\backslash \; se\; fue\; (P\_1-P\_2\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; las\; épocas\; \backslash \; se\; fue\; (P\_2-P\_3\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; derecho|^2\}$

Normal plano de la unidad

Un normal de la unidad del plano que contiene el círculo se da cerca

$\backslash \; =\; \backslash \; frac\; delsombrero\{n\}\; \{\backslash \; dejado\; (P\_2\; -\; P\_1\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; épocas\; \backslash \; se\; fue\; (P\_3-P\_1\; \backslash \; derechos)\}\; \{\backslash \; se\; fue|\; \backslash \; se\; fue\; (P\_2\; -\; P\_1\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; las\; épocas\; \backslash \; se\; fue\; (P\_3-P\_1\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; derecho|\}$

Ecuación paramétrica

Dado el radio, el $\backslash \; el\; mathrm\; \{r\}$, el centro, el $\backslash \; el\; mathrm\; \{P\_c\}$, un punto en el círculo, el $\backslash \; el\; mathrm\; \{P\_0\}$ y un normal de la unidad del plano que contiene el círculo, $\backslash \; sombrero\; \{n\}$, una ecuación paramétrica del círculo a partir de el $\backslash \; el\; mathrm\; \{P\_0\}$ del punto y procediendo a la izquierda es la siguiente:

$\backslash \; el\; mathrm\; \{R\}\; \backslash \; salió\; (s\; \backslash \; derecho)\; de\; =\; \backslash \; mathrm\; \{P\_c\}\; +\; \backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; ido\; (\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{s\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{r\}\}\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; se\; fue\; (P\_0\; -\; P\_c\; \backslash \; derecho)\; +\; \backslash \; pecado\; \backslash \; ido\; (\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{s\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{r\}\}\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; se\; fue\; \backslash \; el\; sombrero\; \{n\}\; \backslash \; las\; épocas\; \backslash \; se\; fue\; (P\_0\; -\; P\_c\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; derecho$

.

Zenithic

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