En la geometría, el circunscrito el círculo o el circumcircle de un polígono es un círculo que pasa con todas las cimas del polígono. El centro de este círculo se llama el circumcenter .

Un polígono que tiene un círculo circunscrito se llama un polígono cíclico . Todos los polígonos simples regular todos los triángulos y todos los rectángulos son cíclicos.

Una noción relacionada es la que está de un círculo de limitación del mínimo del, que es el círculo más pequeño que contiene totalmente el polígono dentro de él. No cada polígono tiene un círculo circunscrito, pues las cimas de un polígono no necesitan toda la mentira en un círculo. Con todo cualquier polígono tiene un círculo de limitación mínimo único, que se puede construir por un algoritmo linear del tiempo . Incluso si un polígono tiene un círculo circunscrito, puede no coincidir con su círculo de limitación mínimo; por ejemplo, para un triángulo obtuso, el círculo de limitación mínimo tiene la hipotenusa como diámetro y no pasa con la cima opuesta.

Circumcircles de triángulos

Todos los triángulos son cíclicos, es decir cada triángulo tiene un círculo circunscrito.

El circumcenter de un triángulo se puede encontrar como la intersección tres perpendicular Bisectors (el bisectriz perpendicular de A es una línea que forma un de ángulo recto con uno de los lados del triángulo e interseca ese lado en su punto mediano.) Esto es porque el circumcenter es equidistante de cualquier par de los puntos del triángulo, y todos los puntos en los bisectors perpendiculares son equidistantes de esos puntos del triángulo.

En la navegación costera, el circumcircle de un triángulo se utiliza a veces como manera de obtener una línea de la posición usar un sextante cuando no hay compás disponible. El ángulo horizontal entre dos señales define el circumcircle sobre el cual el observador miente.

La posición de los circumcenter depende del tipo de triángulo:
si y solamente si un triángulo es agudo (todos los ángulos más pequeños que de ángulo recto), el circumcenter miente dentro del triángulo
Si y solamente si es obtuso (tiene un ángulo más grande que de ángulo recto), el circumcenter miente afuera
Si y solamente si es un triángulo correcto, el circumcenter miente en uno de sus lados (a saber, la hipotenusa ). Ésta es una forma del teorema de Thales.

El diámetro del circumcircle se puede computar como la longitud de cualquier lado del triángulo, dividido por el seno del ángulo opuesto . (Como consecuencia de la ley de los senos, no importa se toma qué lado: el resultado será igual.) El círculo del Nueve-punto del triángulo tiene mitad del diámetro del circumcircle. El diámetro del circumcircle es

$\backslash \; comenzar\; \{alinear\}\; \backslash \; texto\; \{diámetro\}\; y\; \{\}\; =\; \backslash \; del\; frac\; \{2abc\}\; \{\backslash raíz\; cuadrada\{(a+b+c)\; (a-b+c)\; (b-c+a)\; (c-a+b)\}\}\; \backslash \; \backslash \; y\; \{\}\; =\; \backslash \; frac\; \{ABC\}\; \{2\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{s\; (s-a)\; (s-b)\; (s-c)\}\}\; \backslash \; extremo\; \{alinear\}$

donde está las longitudes el un, b, c de los lados del   del triángulo y del s ; =  ( un   de ; +    del b ; +  el c ) /2 es el semiperimeter. El radical en el segundo denominador antedicho es el área del triángulo, por la fórmula de la garza.

En cualquier triángulo dado, el circumcenter es siempre colineal con el del centro de figura y el Orthocenter . La línea que pasa con todos se conoce como la línea de Euler.

La conjugación isógona del circumcenter es el Orthocenter .

El círculo de limitación del mínimo útil de tres puntos es definido por el circumcircle (donde están tres puntos en el círculo de limitación mínimo) o por los dos puntos del lado más largo del triángulo (donde los dos puntos definen un diámetro del círculo. Es común confundir el círculo de limitación mínimo con el circumcircle.

El circumcircle de tres puntos colineales es un círculo infinitamente grande. Los puntos casi colineales causan a menudo problemas y errores en el cómputo del circumcircle.

Circumcircles de triángulos tiene una relación íntima con la triangulación de Delaunay de un fijado de puntos.

Ecuaciones de Circumcircle

El circumcircle es dado en los coordenadas cartesianos por el $\backslash \; el\; det\; del\; de\; la\; ecuación\; \backslash \; comienza\; \{vmatrix\}\; v^2\; y\; v\_x\; y\; v\_y\; y\; 1\; \backslash \; \backslash \; A^2\; y\; A\_x\; y\; A\_y\; y\; 1\; \backslash \; \backslash \; B^2\; y\; B\_x\; y\; B\_y\; y\; 1\; \backslash \; \backslash \; C^2\; y\; C\_x\; y\; C\_y\; y\; 1\; \backslash \; extremo\; \{vmatrix\}\; =0$ donde están las cimas del triángulo, y la solución el A, el B y el C para el v es el circumcircle. ( A de la nota ² = x del _{del A} ² + y ² del _{del A .)}

Dado el $a=\; \backslash \; el\; det\; del$

l \ comienzan {vmatrix} A_x y A_y y 1 \ \ B_x y B_y y 1 \ \ C_x y C_y y 1 \, \ patio del final {vmatrix} S_x= \ el frac {1} {2} \ det \ comenzar {el vmatrix} A^2 y A_y y 1 \ \ B^2 y B_y y 1 \ \ C^2 y C_y y 1 \, \ patio del final {vmatrix} S_y= \ el frac {1} {2} \ det \ comenzar {el vmatrix} A_x y A^2 y 1 \ \ B_x y B^2 y 1 \ \ C_x y C^2 y 1 \ extremo {vmatrix}, $del\; de$ el b= \ el det \ comienzan {el vmatrix} A_x y A_y y A^2 \ \ B_x y B_y y B^2 \ \ C_x y C_y y C^2 \ extremo {vmatrix} entonces tenemos &minus del v ² del del a; 2 &minus del SV ; el b = 0 y, si se asume que los tres puntos no estaba en una línea (si no el circumcircle es esa línea que se puede también considerar como círculo generalizado con S en el infinito), (&minus del v ; S / un ) ^{2 = b / + S 2/un 2, dando el S / del circumcenter un y el √ del circumradius ( b / + S 2/un 2). Este acercamiento debe también trabajar para el Circumsphere de un tetraedro .}

Una ecuación para el circumcircle en el trilineal x de los coordenadas : y : el z es un /un x + el b / y + el c / z = 0. Una ecuación para el circumcircle en el baricéntrico x de los coordenadas : y : el z es 1 x + 1 y + 1 z = 0.

La conjugación isógona del circumcircle es la línea en el infinito, dado en los coordenadas trilineales por el hacha del + por + el CZ = 0 y en los coordenadas baricéntricos por el x + el y + el z = 0.

Coordenadas del circumcenter

El circumcenter tiene coordenadas trilineales ($\backslash \; alpha$ de lechuga romana, $\backslash \; beta$ de lechuga romana, $\backslash \; gamma$ de lechuga romana) donde están los ángulos el $\backslash \; la\; alfa,\; \backslash ,\; beta\; \backslash \; gamma$ del triángulo. El circumcenter tiene coordenadas baricéntricos $del$

l \ ido (a^2 (- a^2+b^2+c^2), \; b^2 (a^2-b^2+c^2), \; c^2 (a^2+b^2-c^2) \ derecho),

donde está longitudes el $a,\; b,\; c$ del borde ($BC,\; CA,\; AB$ respectivamente) del triángulo.

Los ángulos a los cuales el círculo resuelve los lados

Los ángulos a los cuales la reunión circunscrita del círculo los lados del triángulo coincide con los ángulos a los cuales los lados se encuentran. El lateral enfrente de &alpha del ángulo; resuelve el círculo dos veces: una vez en cada extremo; en cada caso en el &alpha del ángulo; (semejantemente para los otros dos ángulos). El teorema del segmento del suplente indica que el ángulo entre la tangente y el acorde iguala el ángulo en el segmento alterno.

El triángulo se centra en el circumcircle del ABC del triángulo

En esta sección, los ángulos de la cima se etiquetan el A, B, C y todos los coordenadas son los coordenadas trilineales :
punto de Steiner = a. /(&minus del b ²; c ²): Ca /(&minus del c ²; un ²): ab / (&minus de a²; b ²) = el punto del nonvertex de la intersección del circumcircle con la elipse de Steiner. (La elipse de Steiner, con el centro = el centro de figura (ABC del ), es la elipse de menos área que pase a través del A, del B, y del C . Una ecuación para esta elipse es 1 (el hacha del ) + 1 ( por ) + 1 (el CZ ) = 0.)
punto de Tarry = sec ( A + ω): sec ( B + ω): sec ( C + ω) = contrario del punto de Steiner
Foco del

la parábola de Kiepert = csc (&minus del B ; C ): csc (&minus del C ; A ): csc (&minus del A ; B )

Cuadriláteros cíclicos

considera también:

cíclico del cuadrilátero Los cuadriláteros que pueden ser circunscritos tienen características particulares incluyendo el hecho de que enfrente de ángulos están los ángulos suplementarios (que agregan para arriba a 180° o radianes del π).

Ver también

Círculo inscrito
El teorema de Jung, una desigualdad que relacionaba el diámetro de un punto fijó al radio de su círculo de limitación mínimo
Teorema de Lester

.

Zenithic

Hopson Development

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