Una caminata al azar, a veces llamada un " caminata, " del borrachín del ; es una formalización en las matemáticas, el de informática, y la física de la idea intuitiva de tomar las medidas sucesivas, cada uno en una dirección al azar . Por ejemplo, la trayectoria remontó por una molécula como viaja en un líquido o un gas es una caminata al azar.
Notablemente, la caminata al azar del borrachín de un poste de la lámpara le lo vuelve otra vez inevitable (véase la caminata al azar de dos dimensiones abajo).
Definición
La caminata al azar más simple es una trayectoria construida según las reglas siguientes:Hay un punto de partida.
La distancia a partir de un punto en la trayectoria al siguiente es un constante.
La dirección a partir de un punto en la trayectoria al siguiente se elige al azar, y no hay dirección más probable que otro.
Caminata al azar unidimensional
Una caminata al azar unidimensional ocurre en una línea. Así pues, usted comienza en cero, y en cada movimiento del paso por una cantidad fija a lo largo de una de las dos direcciones del punto actual, con la dirección que es elegida aleatoriamente.
promedio rectilíneo distancia (cantidad media movida lejos de cero) entre comienzo y final punto de unidimensional al azar caminata de n paso es en orden de , o más exacto, su asíntota converge a . Esto se puede describir con un ejemplo. Decir que usted tiene una moneda. Si aterriza en las cabezas, usted mueve uno a la derecha en la línea de número. Si aterriza en las colas, usted mueve uno a la izquierda. Tan después de que cinco tirones, usted tengan la posibilidad del aterrizaje en 1, -1, 3, -3, 5, o -5. Usted puede aterrizar en 1 moviendo de un tirón tres cabezas y dos colas en cualquier orden. Hay 10 maneras posibles de aterrizaje en 1. Semejantemente, hay 10 maneras de aterrizaje en -1 (moviendo de un tirón tres colas y dos cabezas), 5 maneras de aterrizaje en 3 (moviendo de un tirón cuatro cabezas y una cola), 5 maneras de aterrizaje en -3 (moviendo de un tirón cuatro colas y una cabeza), 1 manera de aterrizaje en 5 (moviendo de un tirón cinco cabezas), y 1 manera de aterrizaje en -5 (moviendo de un tirón cinco colas). Ver la figura abajo para una ilustración de este ejemplo.
Según lo esperado de una caminata al azar con resultados igualmente probables, el valor previsto saldrá a cero. (La distancia media movida.) Esto se puede expresar usar el ejemplo arriba: 1× (10/32) + -1× (10/32) + 3× (5/32) + -3× (5/32) + 5× (1/32) + -5× (1/32) = 0.
Tan si queremos saber que la distancia media movida lejos de pone a cero adentro cualquier dirección, podemos utilizar la raíz cuadrada de los cuadrados. Cuando ajustamos los valores previstos, todo el positivo de la producción de modo que no puedan anularse. Esto se llama la media cuadrada de la raíz. Usar el ejemplo arriba, tenemos la expresión ajustada: (1) el × del ² (10/32) + (- el × del ² del × del ² de 1) (10/32) + (3) (5/32) + (- el × del ² del × del ² de 3) (5/32) + (5) (1/32) + (- el × del ² de 5) (1/32) = 5. que toman la raíz cuadrada de la respuesta, encontramos que la distancia media se movió lejos de cero después de que 5 tirones sean la raíz cuadrada de 5. Esto nos da la generalización que la distancia media después de pasos de n es tiempos del la longitud de paso exactamente.
Suponer que dibujamos una línea una cierta distancia del origen de la caminata. ¿Cuántas veces la caminata al azar cruzará la línea? Lo que sigue, quizás el asombrosamente, teorema es la respuesta: para cualquier caminata al azar en una dimensión, cada punto en el dominio el casi seguramente será cruzado un número infinito de épocas. dos dimensiones, ésta son equivalentes a la declaración que cualquier línea será cruzada un número infinito de épocas. Este problema tiene muchos nombres: el problema de la nivel-travesía del, el problema de la repetición del o el problema de la ruina de jugador del . La fuente del apellido es como sigue: si usted es jugador con una cantidad de dinero finita que juega el un juego justo contra un banco con una cantidad de dinero infinita, usted perderá seguramente. La cantidad de dinero que usted tiene realizará una caminata al azar, y, en algún momento, alcanzará casi seguramente 0 y el juego habrá terminado.
El número previsto de pasos hasta una caminata al azar unidimensional sube al b o abajo al - un es . La probabilidad que la caminata al azar subirá al b camina antes de ir abajo de que los pasos de un son ¡
El triángulo de Pascal también aparece en el análisis de las probabilidades de caminatas al azar unidimensionales. Examinar las probabilidades. (Si descomponemos en factores hacia fuera el 1/2N, hay un patrón en estas probabilidades.) En las vueltas cero, sigue habiendo la única posibilidad será en cero. Sin embargo, en una vuelta, usted puede trasladarse o al izquierdo o la derecha de cero, significando allí es una ocasión del aterrizaje en -1 o una ocasiones del aterrizaje en 1. En dos vueltas, usted examina las vueltas de antes. Si usted había estado en 1, usted podría moverse a 2 o de nuevo a cero. Si usted había estado en -1, usted podría moverse a -2 o de nuevo a cero. Tan hay una ocasión del aterrizaje en -2, dos ocasiones del aterrizaje en cero, y una ocasión del aterrizaje en 2. Si usted continúa el análisis de probabilidades, usted puede ver el triángulo de Pascal.
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Dimensiones más altas
Ahora imaginarse a borrachín el caminar aleatoriamente en una ciudad. La ciudad es realista infinita y arreglada en una rejilla cuadrada, y en cada intersección, el borrachín elige una de las cuatro rutas posibles (la incluyendo él vino de) con probabilidad igual. Formalmente, esto es una caminata al azar en el sistema de todos los puntos en el plano con los coordenadas del número entero . ¿El borrachín llegará nunca detrás a su hogar de la barra? Resulta que él (casi seguramente). Éste es el alto equivalente dimensional del problema del paso a nivel discutido arriba. Sin embargo, en las dimensiones 3 y arriba, esto se sostiene no más. Es decir un pájaro borracho pudo vagar por siempre el cielo, nunca encontrando su jerarquía. Los términos formales para describir este fenómeno son que una caminata al azar en las dimensiones 1 y 2 es el recurrente, mientras que en la dimensión 3 y sobre él está el transitorio. Esto fue probada por el Pólya en el 1921, y se discute en una sección de las cadenas de Markov del accesibles en línea.La trayectoria de una caminata al azar es la colección de sitios que visitó, considerado como sistema con indiferencia al cuando la caminata llegó el punto. En una dimensión, la trayectoria es simplemente todos los puntos entre la altura mínima la caminata alcanzada y el máximo (ambas están, en promedio, en la pedido del n del √). En dimensiones más altas el sistema tiene características geométricas interesantes. De hecho, uno consigue un fractal discreto, de que es un sistema que exhibe la Uno mismo-semejanza estocástica en granes escala, pero en pequeñas escalas una puede observar el " jugginess" el resultar de la rejilla en la cual se realiza la caminata. Los dos libros de Lawler referidos abajo son una buena fuente en este asunto.
Caminata al azar en gráficos
Asumir ahora que nuestra ciudad es no más una rejilla del cuadrado perfecto. Cuando nuestro borrachín alcanza cierta ensambladura él escoge entre los varios caminos disponibles con probabilidad igual. Así, si la ensambladura tiene siete salidas el borrachín irá a cada uno con la probabilidad un séptimo. Esto es una caminata al azar en un gráfico. ¿Nuestro borrachín alcanzará su hogar? Resulta eso bajo condiciones algo suaves, la respuesta todavía está sí. Por ejemplo, si las longitudes de todos los bloques son entre el y un b (donde están cualquier dos números el un y el b positivos finitos), después el borrachín, casi seguramente, alcanzar su hogar. Notar que no asumimos que el gráfico es el planar, es decir la ciudad puede contener los túneles y los puentes. Una forma para probar este resultado está utilizando la conexión a las redes eléctricas . Tomar un mapa de la ciudad y colocar un resistor del ohmio de un en cada bloque. Ahora medir el " resistencia entre un punto y un infinity". Es decir elegir un cierto R del número y tomar todos los puntos en la red eléctrica con la distancia más grande que el R de nuestro punto y atarlos con alambre juntos. Esto ahora es una red eléctrica finita y podemos medir la resistencia de nuestro punto a los puntos atados con alambre. R de la toma al infinito. El límite se llama la resistencia del entre un punto y un infinito . Resulta que lo que sigue es verdad:
Teorema del : un gráfico es transitorio si y solamente si la resistencia entre un punto y un infinito es finita. No es importante que el punto se elige.
Es decir en un sistema transitorio, uno necesita solamente superar una resistencia finita para conseguir al infinito de cualquier punto. En un sistema recurrente, la resistencia de cualquier punto al infinito es infinita.
Esta caracterización de la repetición y del transience es muy útil, y permite específicamente que analicemos el caso de una ciudad dibujada en el plano con las distancias limitadas.
Una caminata al azar en un gráfico es un caso muy especial de una cadena de Markov . Desemejante de una cadena de Markov general, la caminata al azar en un gráfico disfruta de una característica llamada la simetría del tiempo del o la reversibilidad del . En línea general, esta característica, también llamó el principio del equilibrio detallado, significa que las probabilidades para atravesar una trayectoria dada en una dirección o en la otra tienen una conexión muy simple entre ellas (si el gráfico es el regular, son apenas iguales). Esta característica tiene consecuencias importantes.
Comenzando en los años 80, mucha investigación ha entrado las características de conexión del gráfico a las caminatas al azar. Además de la conexión de red eléctrica descrita arriba, hay conexiones importantes a las desigualdades isoperimétricas, ve más aquí, las desigualdades funcionales tales como Sobolev y las desigualdades de Poincaré y las características de soluciones de la ecuación de Laplace. Las partes significativas de esta investigación fueron centradas en los gráficos de Cayley de los grupos finito generados . Por ejemplo, la prueba Dave Bayer y Persi Diaconis que 7 barajaduras del rápido son bastantes para mezclar un paquete de tarjetas (véase más detalles bajo mezclar ) son en efecto un resultado sobre caminata al azar en el '' Sn '' del grupo, y la prueba utiliza la estructura del grupo en una manera esencial. En muchos casos estos resultados discretos transportan a, o se derivan de los múltiples y de los grupos de mentira
Una buena referencia para la caminata al azar en gráficos es el libro en línea al lado de Aldous y de terraplén. Para los grupos ver el libro de Woess. Si el gráfico sí mismo es al azar, este asunto se llama " caminata al azar en environment" al azar; — ver el libro de Hughes.
Relación al movimiento browniano
El movimiento browniano es el límite del escalamiento de caminata al azar en la dimensión 1. Esto significa que si usted toma una caminata al azar con pasos muy pequeños usted consigue una aproximación al movimiento browniano. Para ser, si el tamaño de paso es ε, el más exacto necesita tomar una caminata del L ² de la longitud de /ε para aproximar un movimiento browniano del L de la longitud. Como el tamaño de paso tiende a 0 (y al número de pasos crecientes comparativamente) la caminata al azar converge al movimiento browniano en un apropiado detecta. Formalmente, si el B es el espacio de todas las trayectorias del L de la longitud con la topología máxima, y si el M es el espacio de la medida sobre el B con la topología de la norma, después la convergencia está en el M del espacio. Semejantemente, el movimiento browniano en varias dimensiones es el límite del escalamiento de caminata al azar en el mismo número de dimensiones. Observar que el movimiento browniano en el actual artículo refiere a la definición matemática del término, algo que el fenómeno físico real de una partícula minuciosa que difunde en un líquido.
Una caminata al azar es un fractal discreto, pero el movimiento browniano es un fractal verdadero, y hay una conexión entre los dos. Por ejemplo, tomar una caminata al azar hasta que golpee un círculo de los tiempos del r del radio la longitud de paso. El número medio de pasos que se realiza es ² del r . Este hecho es la versión discreta hecho de que el movimiento browniano es un fractal de la dimensión 2 de Hausdorff . En dos dimensiones, el número medio de puntos que la misma caminata al azar tiene en el límite del de su trayectoria es el . Esto corresponde al hecho de que el límite de la trayectoria del movimiento browniano es un fractal de la dimensión 4/3, un hecho previsto por el Mandelbrot usar simulaciones pero probado solamente en el 2000 (ciencia, 2000).
El movimiento browniano disfruta muchos de la caminata al azar de las simetrías no hace. Por ejemplo, el movimiento browniano es invariante a las rotaciones, pero la caminata al azar no es, puesto que no es la rejilla subyacente (la caminata al azar es invariante a las rotaciones por 90 grados, pero el movimiento browniano es invariante a las rotaciones cerca, por ejemplo, 17 grados también). Esto significa eso en muchos casos, los problemas en caminata al azar es más fácil de solucionar traduciéndolos al movimiento browniano, solucionando el problema allí, y después traduciéndolo detrás. Por una parte, algunos problemas son más fáciles de solucionar con las caminatas al azar debido a su naturaleza discreta.
La caminata al azar y el movimiento browniano pueden ser el '' juntado '', a saber manifestado en el mismo espacio de probabilidad de una manera dependiente que los fuerce para estar absolutamente cercanos. El más simple tal acoplador es el Skorokhod que encaja, pero otro, acopladores más exactos existe también.
La convergencia de una caminata al azar hacia el movimiento browniano es controlada por el teorema de límite central . Para una partícula en un de posición fija sabida en el t=0, el teorema nos dice eso después de una gran cantidad de pasos independientes en la caminata al azar, la posición del caminante se distribuye según un de distribución normal de la variación total :
del delta t, donde está el tiempo el t transcurrió puesto que el comienzo de la caminata al azar, es el tamaño de un paso de la caminata al azar, y es el tiempo transcurrió entre dos pasos sucesivos.
Esto corresponde a la función verde de la ecuación de la difusión que controla el movimiento browniano, que demuestra que, después de una gran cantidad de pasos, la caminata al azar converge hacia un movimiento browniano.
En 3D, la variación que corresponde a la función de Green de la ecuación de la difusión está:
Igualando esta cantidad con la variación se asoció a la posición del caminante al azar, uno obtiene el coeficiente de difusión equivalente que se considerará para el movimiento browniano asintótico hacia el cual la caminata al azar converge después de una gran cantidad de pasos: = \ frac {\ epsilon^2} {6 \ delta t} (válido solamente en 3D) del