En las matemáticas, un campo $F$ reputa el algebraico cerrado si cada polinómico en un variable del grado por lo menos $1$, con los coeficientes en $F$, tiene un cero (raíz ) en $F$.

Ejemplos

Como ejemplo, el campo de los números verdaderos no es algebraico cerrado, porque la ecuación polinómica $x^2+1=0$ no tiene ninguna solución en números verdaderos, aunque todos sus coeficientes (1, 0 y 1) es verdaderos. La misma discusión prueba que no hay subcampo del campo verdadero algebraico cerrado; particularmente, el campo de los números racionales no es algebraico cerrado. También, no hay campo finito $F$ algebraico cerrado, porque si $a\_1$, $a\_2$,…, el $a\_n$ son los elementos de $F$, entonces el polinomio $del$

l (x-a_1) (x-a_2) \ cdots (x-a_n) +1 \,

tiene ningún poner a cero adentro $F$. Por el contrario, el campo de los números complejos es algebraico cerrado: esto es indicada por el teorema fundamental de la álgebra . Otro ejemplo de un campo algebraico cerrado es el campo de los números algébricos (del complejo)

Características equivalentes

Dado un campo $F$, la aserción “$F$ es algebraico cerrada” es equivalente a cada uno del siguiente:

los polinomios irreducibles del único en el anillo $F$ es los del grado uno.

cada $p\; del\; polinomio\; (x)$ del grado $n$  ≥  $1$, con los coeficientes en $F$, parte en los factores lineares . Es decir hay los elementos $k$,   $x\_1$,   $x\_2$,   …,   $x\_n$ del campo $F$ tales que $p\; del$

l del
(x)=k (x-x_1) (x-x_2) \ cdots (x-x_n). \,

el campo $F$ no tiene ninguna extensión algebraica apropiado.

para cada número natural $n$, cada mapa linear de $F^n$ en sí mismo tiene cierto vector propio .

cada función racional en un $x$ variable, con coeficientes en $F$, se puede escribir como la suma de una función polinómica con las funciones racionales de la forma $a/(x-b)\; ^n$, donde está un número $n$ natural, y $a$ y $b$ son elementos de $F$.

Otras características

Si $F$ es un campo algebraico cerrado y $n$ es un número natural, después $F$ contiene todas las raíces de $n$^th de la unidad, porque éstos son (por definición) los ceros de $n$ (no no necesario distinto) del $x^n-1$ polinómico. Una extensión del campo que se contiene en una extensión generada por las raíces de la unidad es una extensión ciclotómica del, y la extensión de un campo generado por todas las raíces de la unidad a veces se llama su el encierro ciclotómico . Así los campos algebraico cerrados son cyclotomically cerrados. El inverso no es verdad. Incluso si se asume que cada polinomio de las fracturas de la forma $x^n-a$ en factores lineares no es bastante a asegurar que el campo es algebraico cerrado.

Si un asunto que se puede expresar en la lengua de la lógica de primer orden es verdad para un campo algebraico cerrado, después es verdad para cada campo algebraico cerrado con el mismo característico. Además, si tal asunto es válido para un campo algebraico cerrado con el characteristic  0, entonces no sólo es válido para el resto del campo algebraico cerrado con el characteristic  0 pues hay un cierto número natural $N$ tales que el asunto es válido para cada campo algebraico cerrado con el characteristic  $p$ cuando $p>N$.

Cada campo $F$ tiene cierta extensión que sea algebraico cerrada. Entre todas tales extensiones hay uno y ( hasta el isomorfismo ) solamente uno que es una extensión algebraica de $F$; se llama el encierro algebraico de $F$.

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