En las matemáticas, un F del campo de número algébrico del (o simplemente el campo de número del ) es un finito, (y por lo tanto el algebraico) la extensión del campo del campo del Q de los números racionales . Así el F es un campo que contiene el Q y tiene dimensión finita, cuando está considerado como espacio de vector sobre el Q .

El estudio de los campos de número algébrico, y, más generalmente, de las extensiones algebraicas del campo de números racionales, es el asunto central de la teoría del número algébrico.

La representación regular, el rastro y el determinante

Suponer que el F es una extensión del campo del campo del Q de los números racionales del finito n del grado . Esto significa que el F es un n - el espacio de vector dimensional sobre el Q, elementos de la forma del F un anillo comutativo bajo operaciones de la adición y de la multiplicación, y todos los elementos diferentes a cero del F es inversible. Elijamos un e ₁ de la base ,…, el n del _{del e para el F, después cualquier x del elemento del F tiene una representación única en el   del x de la forma; =  e i del x i del ∑. Usar la multiplicación en el F, podemos representar los elementos del F del campo por el n por las matrices del n, como sigue:}

$x\; e\_i\; =\; \backslash \; sum\_\; \{j=1\}\; ^n\; a\_\; \{ij\}\; e\_j,\; \backslash \; patio\; a\_\; \{\}\; \backslash \; en\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\; del\; ij.$

Esta manera de asociar una matriz a cualquier elemento del F del campo se llama la representación regular . El   del A de la matriz cuadrada ; =  El A ( x ) con el racional de las entradas un ij del del _{de, donde están índices entre 1 y el el i y el j n, representa el efecto de la multiplicación por el x en el e de la base. Sigue que si el y del elemento del F es representado por un B de la matriz, después el xy del producto es representado por el AB del producto de matriz . El Invariants de matrices, tales como el rastro, el determinante, y el polinomio característico, depende solamente del x del elemento del campo y no de la base. Particularmente, el rastro del A ( x ) de la matriz se llama el rastro del del x y Tr denotado ( x ) del elemento del campo, y el determinante se llama la norma del del x y N denotada ( x ).}

Características

Dejar el λ del ser un número racional, o como es común decir, un escalar, y el x, el y sea dos elementos del F, después el rastro y el determinante tienen las características siguientes:

Tr ( x + y ) = Tr ( x ) + Tr ( y )
Tr (λx del ) = λ Tr ( x ) del
N ( xy) = N ( x ) N ( y )
N (λx del ) = n N ( x ) del ^{del λ del}

Las primeras dos características expresan el hecho de que el rastro es una función linear del x . La tercera característica es el multiplicativity de la norma, y la característica pasada significa que la norma es una función homogénea x del n del grado.

Números enteros algebraicos

Un x del elemento del F del campo de número algébrico se llama un número entero algebraico del si es una raíz de un polinomio de Monic con coeficientes del número entero. Los números enteros algebraicos admiten otro, descripciones equivalentes. Un x del elemento del F es un número entero algebraico si y solamente si el polinómico característico A del _{del p del A de la matriz asociado al x es un polinomio monic con coeficientes del número entero. Suponer que el A de la matriz que representa un x del elemento tiene entradas del número entero en un cierto e de la base. Por el teorema de Cayley-Hamilton,   del A} ( A ) del _{del p ; =  0, y él sigue ese   del A} ( x ) del _{del p ; =  0, de modo que el x sea un número entero algebraico. Inversamente, si el x es un elemento del F que es una raíz de un polinomio monic con coeficientes del número entero entonces los mismos asimientos de la característica para el correspondiente A de la matriz. En este caso puede ser probado que el A es una matriz del número entero en una base conveniente del F . Observar que la característica de ser un número entero algebraico es definido de una manera que sea independiente de una opción de una base en el F .}

El sistema de matrices cuadradas integrales es cerrado bajo la adición y multiplicación, y sigue que los números enteros algebraicos en el F forman un anillo, denotado por el F del _{del O, que es un Subring del F . Un campo no contiene ningún divisor cero y esta característica es heredada subring. Por lo tanto, el anillo de números enteros del F es un dominio integral . El F del campo es el campo de las fracciones del F} del _{del O del dominio integral.}

Características

el anillo del algebraico F del _{del O de los números enteros es un dominio integral que es el integralmente cerrado en su campo del F de las fracciones.
Es un anillo Noetherian .
Cada prima diferente a cero ideal F} del _{del O es el máximo.}

Un anillo comutativo abstracto con estas tres características se llama un anillo de Dedekind del (o el dominio de Dedekind del ), en honor Richard Dedekind, que emprendió un estudio profundo de los anillos de números enteros algebraicos.

Bases para los campos de número

Base de la energía

Puesto que hay solamente un número finito de subcampos del F, y puesto que éstos corresponden a los subespacios del F como espacio de vector sobre el Q, en general que un elemento del F no pertenece a ningún subcampo apropiado, por lo tanto que genera el F y que tiene un polinomio mínimo irreducible sobre el Q . Tal x del elemento se llama un elemento primitivo, y el teorema del elemento primitivo nos dice que las extensiones de campos característico cero tienen de hecho un elemento primitivo.

Si el x es un elemento primitivo, entonces '' x '', '' x '' ²,…,   '' del ^{'' n '' de '' x; −   1} es una base para el F . Si el polinomio característico para el x tiene coeficientes no íntegros, después podemos encontrar el D del divisor común más grande de los denominadores de los coeficientes, y tomamos en lugar de otro el polinomio para el y = el Dx que podemos obtener substituyendo el y / D para el x en el polinomio para el x . Esto nos da una base integral de la energía, definida en términos de sola raíz de un polinomio de Monic irreducible del grado n sobre el Q con coeficientes del número entero.

Base integral

Una base integral para un campo de número F del grado n es un sistema B = {b₁,…, b_n} de los números enteros algebraicos de n en F tales que cada elemento del anillo del O _F de los números enteros de F se puede escribir únicamente como Z - combinación linear de elementos de B; es decir, para cualquier x en O_F adentro tenemos x = m₁b₁+… +m_nb_n, donde están números enteros los m_i (del ordinario). Es entonces también el caso que cualquier elemento de F se puede escribir únicamente como m₁b₁+… +m_nb_n, donde ahora están números los m_i racionales. Los números enteros algebraicos de F son entonces exacto esos elementos de F donde están todos los números enteros los m_i.

El de trabajo localmente las herramientas de y con tales como el mapa, de Frobenius es siempre posible computar explícitamente tal base, y ahora es estándar para los sistemas de la álgebra de la computadora tal como arce y Mathematica para tener programas incorporados para hacer esto.

Forma del rastro y discriminante

Podemos definir una forma bilinearia en F por medio del rastro, por el T ( y del x ); esto se llama la forma del rastro del . Si el b ₁,…, el b _n es una base integral para el F, después podemos definir una matriz integral simétrica, la forma integral del rastro del, por el t _ij = el T ( b _j del b _i). Entonces el ''' discriminante del ''' F se puede definir como det ( t ). Es un número entero, y es una característica invariante del F del campo, no dependiendo de la opción de la base integral.

Ejemplo

Considerar el F = el Q ( x ), donde el x satisface el x ³  −   11 x ²  +    del x ; +  1 = 0. Entonces una base integral es '' x '', el 1/2 ('' x '' ²  +  1), y la forma integral correspondiente del rastro es el $del$

l \ comienza {bmatrix} 3 y 11 y 61 \ \ 11 y 119 y 653 \ \ 61 y 653 y 3589 \ \ \ extremo {bmatrix}.

El determinante de esto es 1304 = 2³ 163, el campo discriminante; en la comparación la raíz, o discriminante discriminante del polinomio, es 5216 = 2⁵ 163.

Lugares

Los matemáticos del siglo XIX asumieron que los números algébricos eran un tipo de número complejo. Esta situación cambió con el descubrimiento de los números de P-adic por el Hensel en 1897; y es estándar ahora considerar todos los varios embeddings posibles de un campo de número F en sus varias terminaciones topológicas inmediatamente.

Lugares de Arquímedes

Dado un polinómico irreducible f sobre el Q que define un x del elemento primitivo de un F del campo de número, y por lo tanto de una base de la energía para el F, podemos descomponer en factores el f en factores irreducibles sobre el R de los números verdaderos. Estos factores son cualquier del grado uno o dos, y puesto que no hay raíces repetidas, allí no es factores repetidos. Cada factor del grado uno da una raíz verdadera, y substituyendo el x por el r de la raíz verdadera, obtenemos una encajadura en los números verdaderos; el número de tales embeddings es igual al número de raíces verdaderas. Esto permite que definamos un valor absoluto en los elementos del F, puesto que ahora son elementos del R ; un valor tan absoluto se llama un lugar verdadero del del F del campo de número. Semejantemente, porque cada factor del grado dos obtenemos un par de números complejos conyugal, que tiene en cuenta dos embeddings conyugal en el C . Cualquiera uno de este par de embeddings se puede utilizar para definir un valor absoluto en el F, que es igual para ambos embeddings puesto que él es conyugal. Este valor absoluto se llama un lugar complejo del F . Éstos son los lugares de Arquímedes del F, correspondiendo a los valores absolutos de Arquímedes

Lugares de Ultrametric

Los números verdaderos son una terminación topológica de los números racionales, pero no la única. Dado el valor absoluto generalmente, podemos definir una secuencia de Cauchy en términos de | n   del _{del x ; −   m} del _{del x |, y una secuencia de la falta de información del como secuencia con el valor absoluto que tiende hacia cero. Las secuencias nulas son un ideal máximo en el anillo de las secuencias de Cauchy, y tomando al anillo de cociente obtenemos un campo, el campo de números verdaderos. Por el teorema de Ostrowski, los valores absolutos no triviales en el Q son, hasta equivalencia, el valor absoluto verdadero generalmente, y los valores absolutos adic '' p '' - definidos para cada p del número primero. Dado un primero p, podemos definir el p - valor absoluto adic en el q de los números racionales = del n del ^{del p un /un b, donde están números enteros el un y el b no divisibles por el p, como | q | p del = &minus del p ; n . Podemos ahora definir el p - secuencias de Cauchy adic y secuencias nulas en términos de este valor absoluto, y tomando el anillo de cociente obtener otra terminación de los números racionales, el p - los números adic.}}

Descomponiendo en factores el polinómico f del n del grado satisfecho por el x del elemento primitivo, ahora podemos obtener factores de varios grados, de ningunos cuyo se repiten, y de los grados cuyo agregar para arriba al n . Para cada uno de estos el p - adically irreducible t de los factores, podemos suponer que el x satisface el t y obtenemos una encajadura del F en una extensión algebraica del grado finito sobre el Q _p. Un campo tan local se comporta en gran medida como un campo de número, y el p - los números adic pueden desempeñar semejantemente el papel de los números racionales; particularmente, podemos definir la norma y remontar exactamente de la misma manera, ahora dando funciona trazando al p del _{del Q . Usando este p - adic t} del _{del N del mapa de la norma para el t del lugar, podemos definir un valor absoluto que corresponde a un dado p - adically irreducible t del factor del m del grado cerca |θ| t del = | t} (θ) del _{del N | m del p} ^{1/del _{. Un valor tan absoluto se llama un Ultrametric, no-De Arquímedes o el p - lugar adic del F .}}

Un ejemplo

Por un ejemplo, considerar la facturización del polinomio $f\; del\; =\; x^3\; -\; x\; -\; 1\; \backslash ,$

sobre el adic Q ₂₃ de 23 números. Hasta el $529\; =\; esta\; facturización\; 23^2$ está $del$

l f = (x+181) (x^2 - 181x - 38) = f_1 f_2 \,

Mientras que esto corresponde a menos de tres dígitos de exactitud, la facturización se levanta fácilmente mucho las más exactas que implican energías más altas de 23, y en todo caso es suficiente ya. Si consideramos el y del elemento =   del x ; −   10 del Q ₂₃, entonces substituyendo el x = el y + 10 en el primer modulo 529 del f ₁ del factor, obtenemos el y + 191, tan la valuación | y |el f ₁ del _{para el y dado por el f 1 es |− 191|23 = 1. por una parte si substituimos el x = el y + 10 en el f 2, obtenemos el y ²  −   161   del y ; −   161 modulo 529. Desde 161 = 7× 23, encontramos eso $del\; |y|$}

= \ raíz cuadrada del _ {f_2} Teorema discriminante de Dedekind

Mucha de la significación de las mentiras discriminantes en el hecho de que los lugares ultrametric ramified sean todos los lugares obtuvo de facturizaciones en el p del _{del Q donde el p divide el discriminante. Esto es incluso verdad del polinomio discriminante; no obstante el inverso es también verdad, eso si un primero p divide el discriminante, después allí es un p - el lugar que ramifies. Para este inverso el campo disciminant es necesario. Éste es el teorema discriminante de Dedekind. En el ejemplo arriba, el discriminante del Q ( x ) del campo de número con el x ³  −     del x ; −   1 = 0 es − 23, y como hemos visto el lugar adic 23 ramifies. El Dedekind discriminante nos dice que es el único lugar ultrametric cuál hace. El otro lugar ramified viene del valor absoluto en la encajadura compleja del F .}

Ideales primeros

Para cualquier ultrametric t del lugar tenemos eso | x |≤ 1 del t del _{para cualquie x en el F} del _{del O, puesto que el polinomio mínimo para el x tiene factores del número entero, y por lo tanto su p - la facturización adic tiene factores en el p} del _{del Z . Por lo tanto, el término de la norma (término constante) para cada factor es un p - el número entero adic, y uno de éstos es el número entero usado para definir el valor absoluto para el t .}

Si tomamos el subconjunto del F del _{del O definido cerca | x |el t del < 1, entonces obtenemos un ideal P del F} del _{del O . Esto es porque por el propery ultrametric la suma de cualquier dos elementos del P está en el P, y si el x está en el F} del _{del O y el y está en el P, entonces | xy | t del = | x | t} del _{|y| t del < 1. Si | xy | t del < 1 con ambos | x |≤ 1 del t} del _{y | x |el ≤ 1, entonces por lo menos uno del t} del _{del x y del y debe estar en el P . Por lo tanto, el P es una prima ideal F} del _{del O .}

Localización

Se da un ultrametric t del lugar en un campo de número F, el anillo local correspondiente, o la localización, el el subring T del F de todo el x de los elementos tales que | x |≤ 1. del t del _{. Por el ultrametric T del propery es un anillo, y puesto que cada x del número entero del F satisface | x |el ≤ 1, F} del t del _{del del O se contiene en el T . Para cada x del elemento del F, por lo menos uno del ^{&minus del x o del x ; 1} se contiene en el T . Por lo tanto el T es un anillo de la valuación.}

El grupo de la valuación del T, T ^* del F ^*/, es isomorfo a los números enteros, y así que el T es un anillo discreto de la valuación. El t del lugar es el definido p - adically para un cierto p, y se dice al " over" de la mentira; p . El ν de trazado a los números enteros por el mapa de la valuación traza el p a un cierto ν positivo del número entero ( p ) = el e, que es el índice de la ramificación. Desde entonces | p |el t del = 1 p, podemos relacionamos los dos por el ajuste

$|x|\_\; \{\backslash \; mathbf\; t\}\; =\; p^\; \{\backslash \; frac\; \{-\; \backslash \; NU\; (x)\}\; \{e\}\}.$

Dado un ideal primero P, podemos también construir la localización del F en el P tomando a todo el de los cocientes un /un b tales que el un es cualquier elemento del F del _{del O y el b es cualquier elemento del F} del _{del O que no pertenece al P . Por lo tanto podemos definir una equivalencia de tres vías entre los valores absolutos ultrametric, los ideales primeros, y las localizaciones en un campo de número, y a partir de cualesquiera de ellos podemos construir los otros dos.}

Ver también

campo cuadrático
Campo ciclotómico
discriminante de un campo de número algébrico
Grupo ideal de la clase
Teorema de la unidad de Dirichlet
Campo local
Campo global
Extensión abeliana
Extensión de Kummer
ley de la reciprocidad
Teoría de campo de clase
Grupo de Brauer
Teoría de Iwasawa
Función de zeta de Dedekind .

Zenithic

FK Zlatibor Voda

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