En el cálculo del vector un campo de vector conservador del es un campo de vector que es el gradiente de un potencial escalar . Hay dos conceptos estrechamente vinculados: independencia de la trayectoria del y campos de vector irrotacionales del . Estas tres características son equivalentes en muchos usos “del mundo real”.

Definición

Un $del\; campo\; de\; vector\; \backslash \; un\; mathbf\; \{v\}$ reputa el conservador si existe un $del\; campo\; escalar\; \backslash \; una\; phi$ tales que = \ nabla \ phi del $\backslash \; del\; mathbf\; del$

l {v}.

Aquí el $\backslash \; el\; nabla\; \backslash \; phi$ denota el gradiente del $\backslash \; phi$. Cuando la ecuación antedicha se sostiene, el $\backslash \; phi$ se llama un potencial escalar para el $\backslash \; el\; mathbf\; \{v\}$.

Independencia de la trayectoria

Una característica dominante de un campo de vector conservador es que su integral a lo largo de una trayectoria depende solamente de las puntos finales de esa trayectoria, no la ruta particular tomada. Suponer ese $S\; \backslash \; subseteq\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^3$ es una cierta región de espacio tridimensional, y ese $P$ es una trayectoria en el $S$ con el $A$ del punto del comienzo y el $B$ de la punto final. Si $\backslash \; =\; \backslash \; nabla\; \backslash \; phi$ del mathbf {v} entonces es un campo de vector conservador

$\backslash \; int\_P\; \backslash \; mathbf\; \{\}\; \backslash \; cdot\; d\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; de\; v\; =\; \backslash \; -\; de\; la\; phi\; (A)\; \backslash \; phi\; (B).$

Esto se sostiene como consecuencia de la regla de cadena y del teorema fundamental del cálculo .

Una formulación equivalente de esto es decir eso

$\backslash \; oint\; \backslash \; mathbf\; \{\}\; \backslash \; cdot\; d\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; =0$ de v

para cada lazo cerrado en el $S$.

El inverso de la declaración antedicha es también verdad. Es decir, si la circulación del $\backslash \; del\; mathbf\; \{v\}$ alrededor de cada lazo cerrado en el $S$ es cero, después $\backslash \; el\; mathbf\; \{v\}$ es un campo de vector conservador.

Campos de vector irrotacionales

Un $del\; campo\; de\; vector\; \backslash \; un\; mathbf\; \{v\}$ reputa el irrotacional si su enrollamiento es cero. Es decir, si $\backslash \; nabla\; \backslash \; tiempos\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; del$

l = 0.

Por esta razón, tales campos de vector se refieren a veces como los campos de vector encrespar-libres del .

Es una identidad del cálculo del vector que para cualquie $\backslash \; phi$ del campo escalar: $\backslash \; nabla\; \backslash \; tiempos\; \backslash \; nabla\; \backslash \; phi=0\; del$

l .

Por lo tanto cada campo de vector conservador es también un campo de vector irrotacional.

A condición de que el $S$ es una región Simple-conectada el inverso de esto es verdad: cada el campo de vector irrotacional es también un campo de vector conservador.

La declaración antedicha es el no verdad si el $S$ no es Simple-conectado . Dejar el $S$ ser el espacio de 3 dimensiones generalmente, a menos que con el $z$-axis quitara; ése es $S=\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^3\; \backslash \; setminus\; \backslash \; \{(0.0,\; z)~|~z\; \backslash \; en\; \backslash \; mathbb\; \{\}\; \backslash \}\; de\; R$. Ahora definir un campo de vector cerca = \ dejado (\, \ frac {x} {x^2+y^2}, 0 \ derecho) del $\backslash \; del\; mathbf\; del$

l {v} del frac {- y} {x^2+y^2}.

Entonces el $\backslash \; el\; mathbf\; \{v\}$ existe y tiene enrollamiento cero en cada punto en el $S$; eso es el $\backslash \; el\; mathbf\; \{v\}$ es irrotacionales. Sin embargo la circulación del $\backslash \; del\; mathbf\; \{v\}$ alrededor del círculo de unidad en el $x,\; y$-plane es igual al $2\; \backslash \; pi$. Por lo tanto el $v$ no tiene la característica de la independencia de la trayectoria discutida arriba, y no es conservador.

En un la región Simple-conectada de un campo de vector irrotacional tiene la característica de la independencia de la trayectoria. Esto se puede probar directo usando el alimentó el teorema .

Flujos irrotacionales

El $de\; lavelocidadde\; flujo\; \backslash \; el\; mathbf\; \{u\}$ de un líquido es un campo de vector, y el $de\; la\; vorticidad\; \backslash \; el\; boldsymbol\; \{\backslash \; Omega\}$ del flujo (generalmente) se define cerca = \ nabla \ épocas \ mathbf {u} del $\backslash \; del\; boldsymbol\; del$

l {\ Omega}.

Si el $\backslash \; el\; mathbf\; \{u\}$ es irrotacionales entonces el flujo reputa un flujo irrotacional del . La vorticidad de un flujo irrotacional es cero.

Para un flujo de dos dimensiones la vorticidad actúa como medida de la rotación local del de los elementos flúidos. Observar que la vorticidad hace el no implica cualquier cosa sobre el comportamiento global de un líquido. Es posible para un líquido que viaja en una línea recta para tener vorticidad, y es posible para a líquido que se mueve en un círculo para ser irrotacional. Para más información ver: Vórtice .

Fuerzas conservadoras

Si el campo de vector asociado a un $\backslash \; a\; un\; mathbf\; \{F\}$ de la fuerza es conservador entonces la fuerza reputa un conservador fuerza . El ejemplo más prominente de una fuerza conservadora es fuerza de la gravedad. La fuerza gravitacional en una masa $m$ debido a una masa $M$ que sea una distancia $r$ lejos se puede escribir como $del$

l \ _G=- del mathbf {F} \ frac {GmM \ sombrero {\ mathbf {r}}} {r^2},

donde está el constante gravitacional y $\backslash \; sombrero$ G$\{\backslash \; mathbf\; \{r\}\}$ es un vector de unidad que señala de $M$ hacia $m$. En este caso _G=- del $\backslash \; del\; mathbf\; \{F\}\; \backslash \; nabla\; \backslash \; phi\_G$, donde $\backslash \; phi\_G=-\; \backslash \; frac\; del$

l {GmM} {r}

es el potencial gravitacional .

En el caso de el conservador fuerza, independencia de la trayectoria del puede ser interpretado para significar que el trabajo hecho en ir de un punto $A$ a un punto $B$ es la independiente de la trayectoria elegida, y ése el trabajo hecho en circundar un lazo cerrado es cero. Es decir la energía total de una partícula que se mueve bajo influencia de fuerzas conservadoras se conserva.