En las matemáticas, un el campo pedido es un campo junto con un que ordena total de sus elementos que convenga en cierto sentido con las operaciones de campo. Este concepto fue introducido por el Emilio Artin en 1927.

Definición

Hay dos definiciones equivalentes, dependiendo cuyas de características una toma como la definición para un campo pedido.

Def 1: Una orden total en el F

Un campo ( F, +, *) junto con un ≤ de la orden del total en el F es un campo pedido si la orden satisface las características siguientes:
si un del b del ≤ de entonces + b del ≤ del c + c
si 0 del ≤ un y 0 b del ≤ entonces 0 del ≤ un b

Sigue de estos axiomas que para cada un, b, c, d en el F :
Cualquier − un del ≤ del ≤ 0 de un o un &minus del ≤ del ≤ 0 de ; un .
A nos se permite al " agregar el inequalities": Si un d, entonces del ≤ del b y del c del ≤ de + b del ≤ del c + d
A nos se permite al " multiplicar las desigualdades con el elements" positivo;: Si un b del ≤ de y 0 c, entonces a. del ≤ del ≤ de la CA del .

Def 2: Un que pide en el F

Un que pide de un F del campo es un F del ⊂ del P del subconjunto que tiene las características siguientes:
El F es la unión de la desunión del P, − P, y el elemento 0. Es decir, para cada F, entonces uno del ∈ del x de las condiciones siguientes es exactamente verdad: x = 0, P del ∈ del x o − P del ∈ del x .
Para el x y el y en el P, el x + el y y el xy están en el P . El P del subconjunto se llama los elementos positivos del del F .

Definimos después el x < el y para significar ese   del y ; −   P del ∈ del x (de modo que   del y ; −   x > 0 en cierto modo). Esta relación satisface las características previstas:
Si x < y y y < z, entonces x < z . (transitividad )
Si x < y y z > 0, entonces xz del < yz del .
Si x < y y x, y > 0, entonces 1 y < 1 x El y del ≤ del x de la declaración significará que el x < el y o el x = el y .

Características de campos pedidos

1 es positivo. (Justificación: cualquiera 1 es positivo o − 1 es positivo. Si − 1 es positivo, entonces (− 1) (− 1) es positivo, que es una contradicción)
Un campo pedido tiene característico 0. (Desde 1 > 0, entonces 1 + 1 > 0, y 1 + 1 + 1 > 0, etc. Si el campo tenía característico p > 0, entonces − 1 sería la suma de   del p ; −   1 uno, pero − 1 no es positivo). Particularmente, los campos finitos no pueden ser pedidos.
Los cuadrados son no negativos. 0 del ≤ un ² para todo el un en el F . (Sigue por una discusión similar a 1 a > 0)

Cada subcampo de un campo pedido es también un campo pedido (que hereda ordenar inducida). El subcampo más pequeño es el isomorfo a los números racionales (en cuanto a cualquie otro campo de la característica 0), y la orden en este subcampo racional es igual que la orden de los números racionales ellos mismos. Si cada elemento de un campo pedido miente entre dos elementos de su subcampo racional, después el campo reputa el de Arquímedes del . Por ejemplo, la forma de los números verdaderos un campo de Arquímedes, pero cada campo hyperreal es no-De Arquímedes.

Un campo pedido K es el campo de número verdadero si satisface el axioma de Archimedes y la secuencia de Cauchy de K converge dentro del K.

Topología inducida por la orden

Si el F se equipa de la topología de la orden que se presenta del ≤ total de la orden, después los axiomas garantizan que las operaciones + y * es el continuo, de modo que el F sea un campo topológico .

Ejemplos de campos pedidos

Los ejemplos de campos pedidos son:
los números racionales * los números algébricos verdadero
los números computables * los números verdaderos * el campo del $\backslash \; del\; frac\; verdaderos\; \{p\; (x)\}\; \{q\; (x)\}\; \backslash ,$ de las funciones racionales, donde p (x) y q (x), $q\; (x)\; \backslash \; ne\; 0\; \backslash ,$ es los polinomios con coeficientes verdaderos, se puede hacer en un campo pedido donde el p polinómico (x) = x es mayor que cualquier polinomio constante, definiendo ese $\backslash \; frac\; \{p\; (x)\}\; \{q\; (x)\}\; >\; 0\; \backslash ,$ siempre que $\backslash \; el\; frac\; \{p\_0\}\; \{q\_0\}\; >\; 0\; \backslash ,$, para el $p\; (x)\; =\; del\; x^n\; p\_0\; +\; \backslash cdots\; \backslash \; mbox\; \{y\}\; q\; (x)\; =\; x^m\; q\_0\; +\; \backslash \; cdots\; \backslash ,$. Este campo pedido no es de Arquímedes.
El campo de la serie de Lorenzo formal con el $verdadero\; \backslash \; Bbb\; \{R\}\; ((x))$ de los coeficientes, donde x se toma para ser infinitesimal y positivo
Campos cerrados verdaderos * números ultrarreales * el Hyperreal numera

La forma surrealista de los números una clase apropiada algo que un determinado, pero obedece de otra manera los axiomas de un campo pedido. Cada campo pedido se puede encajar en los números surrealistas.

¿Qué campos pueden ser pedidos?

Cada campo pedido es un campo verdadero formalmente, es decir, 0 no se puede escribir como suma de cuadrados diferentes a cero.

Inversamente, cada campo formalmente verdadero se puede equipar de una orden total compatible, de que le dará vuelta en un campo pedido. (Esta orden no es a menudo únicamente resuelta.)

Los campos finitos no se pueden dar vuelta en campos pedidos, porque no tienen característica 0. Los números complejos también no se pueden dar vuelta en un campo pedido, como − 1 es un cuadrado (del i del número imaginario) y sería así positivo. También, los números de P-adic no pueden ser pedidos, puesto que el Q ₂ contiene una raíz cuadrada del − 7 y Q _p (el p > 2) contiene una raíz cuadrada de 1  −   p .

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