En la topología y las áreas relacionadas de las matemáticas una característica topológica o el invariante topológico es una característica de un espacio topológico que sea el invariante bajo Homeomorphisms es decir, que una característica de espacios es una característica topológica si siempre que un X del espacio posea que la característica cada espacio homeomórfico al X posee esa característica. Informal, una característica topológica es una característica del espacio que se puede expresar usar sistemas abiertos. Este artículo demostrará que las características tales como continuidad de funciones y de la compacticidad - dependiendo de la convergencia - se pueden definir en términos de sistemas abiertos.
Un problema común en topología es decidir a si dos espacios topológicos son el homeomórfico o no. Para probar que dos espacios son el no homeomórfico, es suficiente encontrar una característica topológica cuál no es compartido por ellos.
Características topológicas comunes
Funciones cardinales
La cardinalidad |X| del espacio X.El &tau de la cardinalidad; (x) de la topología del espacio X.
Peso del w (X), la menos cardinalidad de una base de la topología del espacio X.
Densidad del d (X), la menos cardinalidad de un subconjunto de X cuyo encierro es X.
Separación
Para un tratamiento detallado, ver el axioma de separación . Algunos de estos términos se definen diferentemente en una más vieja literatura matemática; ver la historia de los axiomas de separación .
T0 del
o Kolmogorov . Un espacio es Kolmogorov si para cada par del distinto x de los puntos y del y en el espacio, hay por lo menos un que contiene determinado abierto x pero no el y, o un que contiene determinado abierto y pero no el x . . Un espacio es el separable si tiene un subconjunto denso contable . conectado . Un X del espacio es conectado si no es la unión de un par de desune no vacío abre sistemas. Equivalente, un espacio está conectado si los únicos sistemas de Clopen son el espacio entero y el sistema vacío. Metrizable . Un espacio es el metrizable si es homeomórfico a un espacio métrico . Los espacios de Metrizable son siempre Hausdorff y paracompact (y por lo tanto normal y Tychonoff), y primero-contables. Un espacio se llama polaco si es metrizable con un métrico separable y completo. . Un X del espacio es un espacio de Baire si no es pobre en sí mismo. Equivalente, el X es un espacio de Baire si la intersección contable de muchos sistemas abiertos densos es densa. Un X del espacio es homogéneo si para cada x y el y en el X hay un f del homeomorfismo: &rarr del X ; X tales que f ( x ) = y . Intuitivo hablando, esto significa que el espacio mira iguales cada punto. Todos los grupos topológicos son homogéneos. .
T1 o Fréchet . Un espacio es Fréchet si para cada par del distinto x de los puntos y del y en el espacio, hay un que contiene determinado abierto x pero no el y . (Comparar con T0; aquí, a nos se permite especificar qué punto será contenido en el sistema abierto.) Equivalente, un espacio es T1 si todos sus singletons son cerrados. Los espacios de T1 son siempre T0. Un espacio es el sobrio si cada cerrado irreducible C del sistema tiene un genérico único p del punto. Es decir si el C no es (posiblemente la unión del nondisjoint) de dos subconjuntos cerrados más pequeños, después hay un p tales que el encierro de {el p } iguala el C, y el p es el único punto con esta característica.
T2 o Hausdorff . Un espacio es Hausdorff si cada dos puntos distintos tienen desunir vecindades. Los espacios de T2 son siempre T1.
½ T2 o Urysohn . Un espacio es Urysohn si cada dos puntos distintos tienen desunir vecindades cerradas de . T2 los espacios del ½ son siempre T2. Un espacio es el regular si siempre que el C sea un sistema cerrado y el p es un punto no en el C, después el C y el p tienen desunir vecindades.
T3 o Hausdorff regular . Un espacio es Hausdorff regular si es un espacio regular de T0. (El espacio regular de A es Hausdorff si y solamente si es T0, así que la terminología es constante.)
totalmente regular. Un espacio es el totalmente regular si siempre que el C sea un sistema cerrado y el p es un punto no en el C, después el C y {el p } es separado por una función .
½ T3, Tychonoff, Hausdorff totalmente regular o totalmente T3 . Un espacio de Tychonoff es un espacio totalmente regular de T0. (El espacio totalmente regular de A es Hausdorff si y solamente si es T0, así que la terminología es constante.) Los espacios de Tychonoff son siempre Hausdorff regular. Un espacio es el normal eventualmente dos desune sistemas cerrados tiene desunir vecindades. Los espacios normales admiten particiones de la unidad .
T4 o Hausdorff normal . Un espacio normal es Hausdorff si y solamente si es T1. Los espacios de Hausdorff normales son siempre Tychonoff.
Del normal totalmente. Un espacio es totalmente dos sistemas separados del normal eventualmente tiene desunir vecindades.
T5 o Hausdorff totalmente normal . Un espacio totalmente normal es Hausdorff si y solamente si es T1. Los espacios de Hausdorff totalmente normales son siempre Hausdorff normal.
Del normal perfectamente. Un espacio es el normal eventualmente dos desune perfectamente sistemas cerrados es separado exacto por una función . Un espacio perfectamente normal debe también ser totalmente normal.
Hausdorff perfectamente normal, o perfectamente T4 . Un espacio es Hausdorff perfectamente normal, si es ambos perfectamente normal y T1. Un espacio de Hausdorff perfectamente normal debe también ser Hausdorff totalmente normal.
Espacio discreto . Un espacio es el discreto si todos sus puntos se aíslan totalmente, es decir eventualmente el subconjunto está abierto. Condiciones de Countability
separable del
Primero-contable. Un espacio es el primero-contable si cada punto tiene una base contable del local .
Segundo-contable. Un espacio es el segundo-contable si tiene una base contable para su topología. los espacios Segundo-contables son siempre separables, primero-contables y Lindelöf. Conexión
localmente conectado. Un espacio es el localmente conectado si cada punto tiene una base local el consistir en de sistemas conectados.
total disconnected. Un espacio es el total desconectado si no tiene ninguÌn subconjunto conectado con más de un punto.
Trayectoria-conectado . Un X del espacio es Trayectoria-conectado si para cada dos puntos del x, y en el X, hay un p de la trayectoria del x al y, es decir, un continuo p del mapa: → X con el p (0) = x y p (1) = y . los espacios Trayectoria-conectados están conectados siempre.
localmente trayectoria-conectado. Un espacio es el localmente trayectoria-conectado si cada punto tiene una base local el consistir en de sistemas trayectoria-conectados. Un espacio localmente trayectoria-conectado está conectado si y solamente si trayectoria-está conectado.
simplemente conectado. Un X del espacio es el simplemente conectado si trayectoria-está conectado y cada continuo f del mapa: S1 → El X es el homotópico a un mapa constante.
localmente simplemente conectado. Un X del espacio es el localmente simplemente conectado si cada x del punto en el X tiene una base local del U de las vecindades que está conectado simplemente.
Semi-locally simplemente conectado. Un X del espacio es Semi-locally simplemente conectado si cada punto tiene una base local del U de las vecindades tales que el cada lazo de en el U es contractible en el X . la conectividad simple Semi-local, una condición terminantemente más débil que conectividad simple local, es una condición necesaria para la existencia de una cubierta universal . Un X del espacio es contractible si el mapa de la identidad en el X es homotópico a un mapa constante. Los espacios de Contractible siempre están conectados simplemente.
Hiperactivo-conectado . Un espacio es Hiperactivo-conectado si no hay dos sistemas abiertos no vacíos desunen. Cada espacio hiperactivo-conectado está conectado.
Ultra-conectado . Un espacio es Ultra-conectado si no hay dos sistemas cerrados no vacíos desunen. Cada espacio ultra-conectado trayectoria-está conectado.
homogéneo o trivial. Un espacio es el homogéneo si los únicos sistemas abiertos son el espacio entero y el sistema vacío. Tal espacio se dice para tener la topología trivial . Compacticidad
compacto. Un espacio es el compacto si cada cubierta abierta tiene un subcover finito. Algunos autores llaman el quasicompact de estos espacios y el acuerdo de la reserva para los espacios de Hausdorff donde cada cubierta abierta tiene subcover finito. Los espacios compactos son siempre Lindelöf y paracompact. Los espacios de Hausdorff compactos son por lo tanto normal.
secuencialmente compacto. Un espacio es el secuencialmente compacto si cada secuencia tiene un subsequence convergente.
contable compacto. Un espacio es el contable compacto si cada cubierta abierta contable tiene un subcover finito.
Pseudocompact . Un espacio es Pseudocompact si cada función con valores reales en el espacio se limita. Un espacio es el σ-compacto si es la unión contable de muchos subconjuntos compactos. Un espacio es Lindelöf si cada cubierta abierta tiene un subcover contable . Un espacio es Paracompact si cada cubierta abierta tiene localmente un refinamiento finito abierto. Los espacios de Paracompact Hausdorff son normales.
localmente compacto. Un espacio es el localmente compacto si cada punto tiene una base local el consistir en de vecindades compactas. Definiciones levemente diversas también se utilizan. Localmente los espacios de Hausdorff compactos son siempre Tychonoff.
Ultraconnected compacto. En un compacto ultra-conectado X del espacio cada cubierta abierta debe contener el X sí mismo. Los espacios compactos ultra-conectados no vacíos tienen un subconjunto abierto apropiado más grande llamado un monolito . Metrizability
localmente metrizable. Un espacio es localmente metrizable si cada punto tiene una vecindad metrizable. Misceláneo
espacio de Baire del del
El finito generó o el Alexandrov . Un X del espacio es Alexandrov si las intersecciones arbitrarias de sistemas abiertos en el X están abiertas, o equivalente si las uniones arbitrarias de sistemas cerrados son cerradas. Éstos son exacto los miembros finito generados de la categoría de los espacios topológicos y de mapas continuos.
Cero-dimensional. Un espacio es el Cero-dimensional si hace que una base de clopen sistemas. Éstos son exacto los espacios con una dimensión inductiva del pequeño 0 . Un espacio es el casi discreto si cada sistema abierto es cerrado (por lo tanto clopen). Los espacios casi discretos son exacto los espacios cero-dimensionales finito generados. Un espacio es el boleano si es cero-dimensional, compacto y Hausdorff (equivalente, desconectado total, compacto y Hausdorff). Éstos son exacto los espacios que son homeomórficos a los espacios de la piedra de las álgebra boleanas
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