En varias ramas de las matemáticas, ciertas construcciones son definidas o caracterizadas con frecuencia por una característica abstracta que requiera la existencia de un único Morphism bajo ciertas condiciones. Estas características se llaman las características universales . Las características universales se estudian abstracto usar la lengua de la teoría de la categoría.
Este artículo da un tratamiento general de características universales. Para entender el concepto, es útil estudiar varios ejemplos primero, cuyo hay muchos: Producto directo y suma directa, grupo libre, enrejado libre, grupo de Grothendieck, topología del producto, compactification de la Piedra-Čech, producto de tensor, límite inverso y límite directo, núcleo y Cokernel, retirada, pushout y equalizador .
Motivación
¿Qué uso una característica universal tiene? Una vez que uno reconoce cierta construcción según lo dado por una característica universal, una gana varias ventajas:
Las características universales definen objetos hasta un isomorfismo único; una estrategia para probar que dos objetos son isomorfos es por lo tanto demostrar que satisfacen la misma característica universal.
Los detalles concretos de una construcción dada pueden ser sucios, pero si la construcción satisface una característica universal, uno puede olvidar todos esos detalles: todo allí es saber sobre la construcción se contiene ya en la característica universal. Las pruebas llegan a ser a menudo cortas y elegantes si la característica universal se utiliza algo que los detalles concretos.
Si la construcción universal se puede realizar para cada X en el C, después sabemos que obtenemos un Functor del C a el D . (Tan por ejemplo, la formación de núcleos es functorial: cada morphism (α, β) del f del morphism al g del morphism induce un morphism del núcleo del f al núcleo del g .)
Además, este functor es un adjoint correcto o izquierdo al U . ¡Pero los adjoints correctos conmutan con los límites y los adjoints izquierdos conmutan con los colimits ! Podemos por ejemplo concluir tan inmediatamente que el núcleo de un producto de mapas es igual al producto de los núcleos.
Definición formal
Dejar el U : El C del → del D sea un functor de un D de la categoría a un C de la categoría, y dejar el X sea un objeto del C . Un morphism universal del X al U consiste en un par ( A, φ) donde está un objeto el A del D y del φ: El U ( A ) del → del X es un morphism en el C, tal que la característica universal siguiente es satisfied:
Siempre que el Y sea un objeto del D y del f : El U ( Y ) del → del X es un morphism en el C, después allí existe un único g del morphism del : Y del → del A tales que el siguiente del diagrama conmuta :
La existencia del g del morphism intuitivo expresa el hecho de que el A es " enough" general;, mientras que la unicidad del morphism se asegura de que el A sea " no también general".
Uno puede también considerar el dual categórico de la definición antedicha invirtiendo todas las flechas. Un morphism universal del U al X consiste en un par ( A, φ) donde está un objeto el A del D y del φ: El X del → del U ( A ) es un morphism en el C, tal que la característica universal siguiente es satisfied:
Siempre que el Y sea un objeto del D y del f : El X del → del U ( Y ) es un morphism en el C, después existe un único g del morphism del : A del → del Y tales que el diagrama siguiente conmuta:
Observar que algunos autores pueden llamar la una de estas construcciones un morphism universal del y el otro un morphism co-universal del . Cuál es cuál depende del autor, aunque para ser constante con el nombramiento limite y los colimits la construcción anterior se debe nombrar couniversal y el 3ultimo universal.
Ejemplos
Debajo están algunos ejemplos trabajados, destacar la idea general. El lector puede construir numeroso otros ejemplos consultando los artículos mencionados en la introducción.
Álgebra del tensor
Dejar el C ser la categoría K - Vect de los espacios de vector sobre un K del campo y dejar el D ser la categoría del K del de las álgebra - Alg sobre el K (presunto para ser Unital y el asociativo). Dejar el U del : K - &rarr del de Alg ; K - Vect del ser el functor olvidadizo que asigna a cada álgebra su espacio de vector subyacente.
Dado cualquier V del espacio de vector sobre el K nos podemos construir el T ( V ) de la álgebra del tensor V . La álgebra del tensor es caracterizada por el hecho: el “cualquier mapa linear del V a un A de la álgebra se puede extender únicamente a un homomorfismo de la álgebra T ( V ) al A .” Esta declaración es una característica universal de la álgebra del tensor puesto que expresa el hecho de que los pares ( T ( V ), i ), donde el i : El T ( V ) del → del V es el mapa de la inclusión, es un morphism universal del V del espacio de vector al U del functor.
Desde este las construcciones para cualquier V del espacio de vector, concluimos que el T es un functor del K - Vect al K del - Alg . Este functor es izquierdo-adjoint al functor olvidadizo.
Núcleos
Suponer que el D es una categoría con los morphisms cero (tal como la categoría de los grupos ) y el f : El Y del → del X es un morphism en el D . Un núcleo del f es cualquier k del morphism: X del → del K tales que
el FK es el morphism cero del K a el Y ;
dado cualquie &prime del k del morphism de ;: &prime del K ; X del → tales que &prime de las FK del ; es el morphism cero, hay un único u del morphism : &prime del K ; K del → tales que ku del = &prime del k ;.
Para entender esto en el marco del ajuste general arriba, definimos el C de la categoría de morphisms en el D . Los objetos del C son el f de los morphisms: Y del → del X en el D, y un morphism del f : Y del → del X a g : El T del → del S es dado por un par (α, β) de α de los morphisms: S y β del → del X : T del → del Y tales que β f = gα.
Definir un F del functor: C del → del D que traza un K del objeto del D al cero KK del morphism 0: K del → del K y un r del morphism: L del → del K a los pares ( r, r ). Ahora, dado un f del morphism: El Y del → del X en el D de la categoría (pensado en como objeto en el C de la categoría) y un K del objeto del D, un morphism del F ( K ) al f es dado por un par ( k, l ) tales que el FK = el l KK de 0 = 0 el KY , que es exactamente qué aparece en la característica universal de los núcleos dados arriba. El “morphism universal abstracto del F a el f ” no es nada sino la característica universal de un núcleo. Los límites y los colimits son casos especiales importantes de construcciones universales. Dejar el J y el C ser categorías con el pequeño del J (el J se piensa en como categoría del índice) y dejó el J del del C sea la categoría correspondiente de Functor. El functor diagonal Δ del : El J del del C del → del C es el functor que traza cada N del objeto en el C al functor constante Δ ( N ): C del → del J a N (es decir, (Δ ( N ))( X ) = N para cada X en el J ). Dado un F del functor: El C del → del J (pensado en como objeto en el J La definición de una cantidad no garantiza su existencia. Dado un U del functor y un X del objeto como arriba, allí mayo o mayo no existir un morphism universal del X al U (o del U al X ). Si, sin embargo, lo hace existe un morphism universal ( A, φ) entonces él es único hasta al isomorfismo único . Es decir, si (&prime del A ;, φ′) es otro tal par, después existe un único g del isomorfismo: &PRIME DEL A DEL → DEL A ; tales que φ′ = φ del U ( g ). Esto es vista fácilmente substituyendo (&prime del A ;, φ′) para ( Y, f ) en la definición de la característica universal. La definición de un morphism universal se puede reformular de una variedad de maneras. Dejar el U ser un functor del D a el C, y dejar el X ser un objeto del C . Entonces las declaraciones siguientes son equivalentes: Las declaraciones duales son también equivalente: Suponer que ( A 1, φ1) es un morphism universal del X 1 a el U y (el A 2, φ2) es un morphism universal del X 2 a el U . Por la característica universal, dada cualquie h del morphism: El X 2 del → del X 1 allí existe un único g del morphism: A 2 del → del A 1 tales que el diagrama siguiente conmuta: Si el cada i Las declaraciones similares se aplican a la situación dual de morphisms del U . Si tales morphisms existen para cada X en el C uno obtienen un V del functor: El D del → del C que es derecho-adjoint al U (así que al U es izquierdo-adjoint al V ). De hecho, todos los pares de functors del adjoint se presentan de construcciones universales de este modo. Dejar el F y el G ser un par de functors del adjoint con el η de la unidad y el ε de la co-unidad (véase el artículo sobre los functors de Adjoint para las definiciones). Entonces tenemos un morphism universal para cada objeto en el C y el D : Las construcciones universales son más generales que pares del functor del adjoint: una construcción universal es como un problema de la optimización; da lugar a un par del adjoint si y solamente si este problema tiene una solución para cada objeto del C (equivalente, cada objeto del D ). .
Límites y colimits
Características
Existencia y unicidad
Formulaciones equivalentes
( A, φ) está un morphism universal del X al U
( A, φ) es un objeto de la inicial de la categoría ( U de la coma del ↓ del X )
( A, φ) es una representación C
( A, φ) está un morphism universal del U al X
( A, φ) es un objeto terminal de la categoría de la coma ( X del ↓ del U )
( A, φ) es una representación del C Relación a los functors del adjoint
Para cada X del objeto en el C, (el F ( X ), el X
Para cada Y del objeto en el D, (el G ( Y ), el Y del ε) está un morphism universal del F a el Y . Es decir, para todo el g : El Y del → del F ( X ) allí existe un único f : G ( Y ) del → del X para el cual los diagramas siguientes conmutan. Historia
Las características universales de varias construcciones topológicas fueron presentadas por el Pedro Samuel en el 1948 . Fueron utilizadas más adelante extensivamente por el Bourbaki . El concepto estrechamente vinculado de functors del adjoint fue introducido independiente por el Daniel Kan en el 1958 . Ver también
Objeto libre
Mónada (teoría) de la categoría
Variedad de las álgebra
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