En las matemáticas, la función exponencial del puede ser caracterizado en gran medida. Las caracterizaciones siguientes (definiciones) son las mas comunes. Este artículo discute porqué cada caracterización tiene sentido, y porqué las caracterizaciones son independiente y equivalente de el uno al otro. Como caso especial de estas consideraciones, veremos que las tres definiciones mas comunes dadas para el constante matemático '' e '' son también equivalente el uno al otro.

Caracterizaciones

Las cinco definiciones mas comunes de la función exponencial exp ( x ) = el x del ^{del e son: el}

1. del define el x del ^{del e por el límite = \ lim_ {n \ \ infty} \ (1+ \ frac {x} {n} \ derecho) ^n. dejado del $e^x\; del$}

l del
del
el

2. del define el x del ^{del e como la suma de la serie infinita $e^x\; del$}

l del
del
= \ ^ del sum_ {n=0} \ infty {x^n \ sobre n!} = 1 + x + \ frac {x^2} {2!} + \ frac {x^3} {3!} + \ frac {x^4} {4!} + \ cdots ¡

l del
(aquí, n ! soportes para el factorial del n . La prueba que '' e '' es irracional utiliza esta representación. del define el x del ^{del e para ser el único y del número > 0 tales que}

$\backslash \; int\_\; \{1\}\; ^\; \{\}\; \backslash \; frac\; \{despegue\}\; \{t\}\; de\; y\; =\; x.\; del\; define\; el\; x\; deldel\; e\; para\; ser\; lasoluciónúnica\; al\; problema\; de\; valor\; inicial\; ,\; \backslash \; patio\; y\; (0)\; =1.$ del $y\text{'}=\; y\; del$

l del
del

5. El f ( x ) de la función exponencial = el x del ^{del e es la función mensurable único de Lebesgue- del con el f (1) = el e que satisface: $f\; del\; del$
(x+y) = f (x) f (y) \ texto {para todos} x \ texto {y} y \,
de (Hewitt y Stromberg, 1965, ejercicio 18. Alternativo, es la función continua dondequiera único del con estas características (Rudin, 1976, ejercicio del capítulo 8 6). Como otra alternativa (mientras el dominio se asuma para contener solamente los números verdaderos, es la única función monotónica que satisface esas identidades. (Como contraejemplo, si uno hace el no asumen continuidad o posibilidad de medir, es posible probar la existencia de una función por todas partes-discontinua, no-mensurable con esta característica usando una base de Hamel para los números verdaderos sobre los números racionales, según lo descrito en Hewitt y Stromberg.)}

Estas definiciones no se limitan al exponencial de números verdaderos, y varios de ellos se pueden ampliar a cualquier álgebra de Banach.

Verdadero contra complejo

Las caracterizaciones antedichas son equivalentes si el dominio se toma para ser el sistema de todos los números verdaderos sin embargo, si uno toma el dominio para ser los números complejos entonces las condiciones (1), (2), y (4) es suficiente, pero (3) son problemáticas (a lo largo de qué trayectoria hace uno integrar?) y (5) no es suficiente. Esta última declaración significa que algunas funciones satisfacen la ecuación funcional $f\; del$

l (z + w) = f (z) f (w) \,

para todo el z de los números complejos y el w, y la condición inicial $f\; del$

l (1) = e \,

y ser continuo, pero no obstante no coincidir con la función exponencial natural. Por ejemplo, para el x y el y verdadero, dejar $f\; del$

l (x + iy) = e^x (\ lechuga romana (2y) + i \ pecado (2y)). \,

Que esta función no es diferenciable en el sentido complejo sigue del hecho de que no puede satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Para hacer (5) suficiente, uno puede cualquiera estipular que existe un punto en el cual el f sea un mapa conformal o bien estipular eso = \ lechuga romana del $f\; (i)\; del$

l (1) + i \ pecado (1). \,

Porqué cada caracterización tiene sentido

Cada caracterización requiere una cierta justificación demostrar que tenga sentido. Por ejemplo, cuando el valor de la función es definido por una secuencia o una serie, la convergencia de esta secuencia o serie necesita ser establecida.

Caracterización 1

Puede ser demostrado que la secuencia $a\_n\; del$

l = \ (1+ \ frac {x} {n} \ derecho) ^n dejado

es una secuencia de aumento que se limita arriba. Desde cada haber limitado, la secuencia de aumento de números verdaderos converge a un número verdadero único, esta caracterización tiene sentido.

Caracterización 2

Para demostrar la serie infinita converge en el x = 1, él es bastante a comparar con una serie geométrica :

l $1\; +\; 1\; +\; \{1\; \backslash \; sobre\; 2!\}\; +\; \{1\; \backslash \; sobre\; 3!\}\; +\; \{1\; \backslash \; sobre\; 4!\}\; +\; \backslash \; cdots\; \backslash \; le\; 1\; +\; 1\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; +\; \backslash \; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; del\; frac\; \{1\}\; \{2^2\}\; \{2^3\}\; +\; \backslash \; cdots\; =\; 3.$

Para demostrar que la serie converge para todo el x, utilizamos la prueba de cociente, que demuestra que la serie tiene un radio de convergencia infinito, desde entonces el $del$

l \ el lim_ {n \ \ infty} \ se fueron|\ frac {x^ {n+1}/(n+1)!}{x^n/n!}\ derecho| = \ lim_ {n \ \ infty} \ se fue|\ frac {x} {n+1} \ derecho| = 0 < 1 \ mbox {para todos} x \ mbox {.}

Caracterización 3

En este caso, definimos el ln de la función del logaritmo natural ( x ) primero, y en seguida definimos exp ( x ) como lo contrario del logaritmo natural. Es decir para todo el y > 0, definen

$\backslash \; ln\; (y)\; =\; \backslash \; int\_\; \{1\}\; ^\; \{y\}\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\}\; \backslash ,\; de\; t\; dt.$

Puesto que 1 t son continuos para todo el t > 0, esta función tiene sentido, y puesto que 1 t son positivos para todo el t > 0, esta función es el terminantemente que aumenta (por lo tanto, inyectivo) para el y > 0. (Nota que si el y < 1, entonces ln ( y ) es un número negativo.) Por la prueba integral y la divergencia de la serie armónica, sigue ese ∞ del → del ln ( y ) como ∞ del → del y . Por una discusión similar, un cambio de las variables ( t del $\backslash \; mapsto$ 1 del t ) demuestra ese &minus del → del ln ( y ); ∞ como → 0 del y . Para resumir, el ln ( y ) traza el infinito bijectively del intervalo (0, ∞) sobre la línea verdadera (− ∞, ∞). Por lo tanto, para cualquier x del número verdadero, allí debe existir un único y del número > 0 tales que ln ( y ) = el x .

¡Equivalencia de las caracterizaciones E (constante matemático) -->

La prueba siguiente demuestra la equivalencia de las tres caracterizaciones dadas para el e arriba. La prueba consiste en dos porciones. Primero, la equivalencia de las caracterizaciones 1 y 2 se establece, y entonces la equivalencia de las caracterizaciones 1 y 3 se establece.

Equivalencia de las caracterizaciones 1 y 2

La discusión siguiente se adapta de una prueba en Rudin, teorema 3.

Dejar el x ser un número verdadero fijo. Definir $s\_n\; del$

l = \ ^n del sum_ {k=0} \ frac {x^k} {k!}, \ t_n= \ (1+ \ frac {x} {n} \ derecho) ^n. dejado

Por el teorema binomial,

$t\_n=\; \backslash \; sum\_\; \{k=0\}\; ^n\; \{n\; \backslash \; elige\}\; \backslash \; frac\; \{x^k\}\; \{n^k\}\; =1+x+\; de\; k\; \backslash \; ^n\; del\; sum\_\; \{k=2\}\; \backslash \; frac\; \{n\; (n-1)\; (n-2)\; \backslash \; cdots\; (n\; (k-1))¡x^k\}\; \{k!\; \backslash ,\; n^k\}$

$=1+x+\; \backslash \; frac\; \{x^2\}\; \{2\; del\; !\}\backslash \; (1\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\; \backslash \; derecho)\; +\; dejado\; \backslash \; frac\; \{x^3\}\; \{3!\}\backslash \; (1\; \backslash \; frac\; \{2\}\; \{n\}\; \backslash \; derecho)\; +\; dejado\; (1\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; dejado\; \backslash \; cdots+\; \backslash \; frac\; \{x^n\}\; \{n!\}\backslash \; ido\; (1\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; cdots\; \backslash \; ido\; (1\; \backslash \; frac\; \{n-1\}\; \{n\}\; \backslash )\; derecho\; \backslash \; le\; s\_n$

de modo que $del$

l \ t_n \ le del limsup_ {n \ \ infty} \ s_n del limsup_ {n \ \ infty} = e^x

donde está el x del ^{del e en el sentido de la definición 2. Aquí, debemos utilizar el Limsup 's, porque todavía no sabemos que converge el n del _{del t realmente . Ahora, para la otra dirección, observar que por la expresión antedicha del n} del _{del t, si 2 el n del ≤ del m del ≤, nosotros tiene}}

$1+x+\; \backslash \; frac\; \{x^2\}\; \{2\; del\; !\}\backslash \; (1\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\; \backslash \; derecho)\; +\; dejado\; \backslash \; cdots+\; \backslash \; frac\; \{x^m\}\; \{m!\}\backslash \; ido\; (1\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; ido\; (1\; \backslash \; frac\; \{2\}\; \{n\}\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; cdots\; \backslash \; ido\; (1\; \backslash \; frac\; \{m-1\}\; \{n\}\; \backslash )\; derecho\; \backslash \; le\; t\_n.$

Fijar el m, y dejar el infinito del acercamiento del n . Conseguimos $s\_m\; del$

l = 1+x+ \ frac {x^2} {2!}+ \ cdots+ \ frac {x^m} {m!} \ le \ liminf_ {n \ \ infty} t_n

(otra vez, debemos utilizar el Liminf 's porque todavía no sabemos que converge el n del _{del t ). Ahora, tomar la desigualdad antedicha, dejar el infinito del acercamiento del m, y ponerlo junto con la otra desigualdad. Esto se convierte $del$}

l \ t_n del limsup_ {n \ \ infty} \ le e^x \ le \ t_n \ le \ limsup_ {n \ \ infty} t_n del liminf_ {n \ \ infty}

de modo que $del$

l \ t_n del lim_ {n \ \ infty} = e^x.

Equivalencia de las caracterizaciones 1 y 3

Aquí, definimos la función de logaritmo natural en términos de integral definido como arriba. Por el teorema fundamental del cálculo, el $del$

l \ el frac {d} {dx} \ salieron (\ ln x \ derecho) de = \ frac {1} {x}.

Ahora, dejar el x ser cualquier número verdadero fijo, y dejar $y=\; del$

l \ lim_ {n \ \ infty} \ (1+ \ frac {x} {n} \ derecho) ^n. dejado

Demostraremos ese ln ( y ) = el x, que implica ese y = el x del ^{del e, donde está el x} del ^{del e en el sentido de la definición 3. Tenemos}

$\backslash \; ln\; y=\; \backslash \; ln\; \backslash \; lim\_\; \{n\; \backslash \; \backslash \; infty\}\; \backslash \; ido\; (1+\; \backslash \; frac\; \{x\}\; \{n\}\; \backslash \; derecho)\; ^n=\; \backslash \; lim\_\; \{n\; \backslash \; \backslash \}\; infty\; \backslash \; ln\; \backslash \; (1+\; \backslash \; frac\; \{x\}\; \{n\}\; \backslash \; derecho)\; ^n.$ dejado

Aquí, hemos utilizado la continuidad del ln ( y ), que sigue de la continuidad de 1 t :

$\backslash \; ln\; y=\; \backslash \; lim\_\; \{n\; \backslash \; \backslash \; infty\}\; n\; \backslash \; ln\; \backslash \; ido\; (1+\; \backslash \; frac\; \{x\}\; \{n\}\; \backslash \; derecho)\; =\; \backslash \; lim\_\; \{n\; \backslash \; \backslash \}\; infty\; \backslash \; frac\; \{x\; \backslash \; el\; ln\; \backslash \; se\; fueron\; (1+\; (x/n)\; \backslash \; derecho)\}\{(x/n)\}.$

Aquí, hemos utilizado el del ln del resultado un n del ^de = del ln del n un . Este resultado se puede establecer para el n un número natural la inducción, o usando la integración por la substitución. (La extensión a las energías verdaderas debe esperar hasta el ln del y el exp se ha establecido como lo contrario de uno a, para poder definir el un b del ^{de para el verdadero b como del ln del b del del e un .)}

$=x\; \backslash \; cdot\; \backslash \; lim\_\; \{h\; \backslash \; a\; 0\}\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; ln\; \backslash \; se\; fue\; (1+h\; \backslash derechos)\}\{\}\; \backslash \; h=\; del\; patio\; de\; h\; \backslash \; del\; mbox\; \{donde\}\; \backslash \; frac\; \{x\}\; \{n\}$

$=x\; \backslash \; cdot\; \backslash \; frac\; \{d\}\; \{despegue\}\; \backslash \; se\; fue\; (\backslash \; ln\; t\; \backslash )\; derecho\; \backslash \; patio\; \backslash \; mbox\; \{en\}\; t=1$

$=x\; \backslash \; cdot\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\}\; \backslash \; patio\; \backslash \; mbox\; \{en\}\; t=1$ de t ¡$del$

l \! \, = x.

Equivalencia de las caracterizaciones 1 y 5

La prueba siguiente es una versión simplificada de la que está en Hewitt y Stromberg, ejercicio 18. Primero, uno prueba que la posibilidad de medir (o aquí, Lebesgue-integrability) implica la continuidad para un $f\; diferente\; acero\; dela\; función\; ($ f\; satisfying\; de\; x)$(x+y)=f\; (x)\; f\; (y)$, y entonces uno prueba que la continuidad implica el $f\; (x)\; =\; el\; e^\; \{KX\}$ para un cierto k, y finalmente $f\; (1)=e$ implica el k =1.

Primero, probamos algunas características elementales del $f\; ($ f\; satisfying\; de\; x)$(x+y)=f\; (x)\; f\; (y)$ y la asunción que $f\; (x)$ no es idénticamente cero:
Si $f\; (x)$ es diferente a cero dondequiera (decir en el x = el y ), después es diferente a cero por todas partes. Prueba: $f\; (y)\; =\; f\; (x)\; f\; (y\; -\; x)\; \backslash \; neq\; 0$ implica el $f\; (x)\; \backslash \; neq\; 0$.
$f\; (0)\; =1$. Prueba: $f\; (x)=\; f\; (x+0)\; =\; f\; (x)\; f\; (0)$ y $f\; (x)$ es diferente a cero.
$f\; (-\; x)\; =1/f\; (x)$. Prueba: $1\; =\; f\; (0)\; =\; f\; (xx)\; =\; f\; (x)\; f\; (-\; x)$.
Si $f\; (x)$ es continuo dondequiera (decir en el x = el y ), después es continuo por todas partes. Prueba: $f\; (x+\; \backslash \; delta)\; -\; f\; (x)\; =\; f\; f\; (x-y)\; (y+\; \backslash \; delta)\; -\; f\; (y)\; \backslash \; rightarrow\; 0$ como $\backslash \; delta\; \backslash \; rightarrow\; 0$ por continuidad en el y .

Las segundas y terceras características significan que es suficiente probar el $f\; (x)=e^x$ para el positivo x .

Si $f\; (x)$ es una función Lebesgue-integrable, después podemos definir $g\; del$

l (x) = \ int_0^x f (x') \, dx'.

Entonces sigue eso $g\; del$

l (x+y) - g (x) = \ int_x^ {x+y} f (x') \, = del dx \ int_0^y f (x+x') \, dx = f (x) g (y).

Desde $f\; (x)$ es diferente a cero, podemos elegir un cierto y tales que $g\; (y)\; \backslash \; neq\; 0$ y soluciona para el $f\; (x)$ en la expresión antedicha. Por lo tanto: $f\; del$

l (x+ \ delta) - = \ frac de f (\ delta) {-} {g (y)} $=\; \backslash \; frac\; del$

l del
{-} {g (y)} $=\; del$

l del
\ frac {f (x+y) g (\ delta) - f (x) g (\ delta)}{g (y)} =g (\) \ frac {f (x+y) - f del delta (x)} {g (y)}.

La expresión final debe ir a cero como $\backslash \; delta\; \backslash \; rightarrow\; 0$ desde el $g\; (0)\; =0$ y el $g\; (x)$ es continuo. Sigue que $f\; (x)$ es continuo.

Ahora, probamos ese $f\; (q)\; =\; e^\; \{kq\}$, para un cierto k, para todo el positivo q de los números racionales. Dejar el q = el n / m para el positivo n de los números enteros y el m . Entonces + \ cdots+ \ frac {1} {m} \ derecho) del $f\; del\; \backslash \; (\backslash \; frac\; \{n\}\; \{m\}\; \backslash \; derecho)\; del\; =f\; dejado\; \backslash \; dejado\; (\backslash \; del\; frac\; \{1\}\; \{m\}\; =f\; \backslash \; (\backslash \; frac\; \{1\}\; \{m\}\; \backslash \; derecho)\; ^\; dejado\; \{n\}$ por la inducción elemental en el n . Por lo tanto, $f\; (=f\; 1/m)^\; \{m\}\; (1)$ y así $f\; del$

l \ (\ frac {n} {m} \ derecho) =f dejado (=e^ 1)^ {n/m} {k (n/m)}.

para = \ ln del $k\; \backslash ,$. Observar que si nos estamos restringiendo al $f\; con\; valores\; reales\; (x)$, después a $f\; (x)\; =\; f\; (x/2)^2$ está por todas partes positivo y así que el k es verdadero.

Finalmente, por continuidad, desde $f\; (x)\; =\; el\; e^\; \{KX\}$ para todo el racional x, debe ser verdad para todo el verdadero x puesto que el encierro de los números racionales es los reals (es decir, podemos escribir cualquier verdadero x como el límite de una secuencia de números racionales). Si $f\; (1)\; =\; k\; de\; e$ entonces = 1. Esto es equivalente a la caracterización 1 (o 2, o 3), dependiendo de el cual la definición equivalente e uno utiliza.