En las matemáticas, un Mahlo cardinal es cierta clase de gran número del cardenal . El Paul Mahlo del matemático describieron a los cardenales de Mahlo primero en el 1911 . Como con todos los cardenales grandes, si se asume que el ZFC es el constante, puede ser probado que ningunas de estas variedades de cardenales de Mahlo se pueden demostrar para existir por ZFC.

Un κ del número cardinal se llama de Mahlo del si y solamente si el κ de es el inaccesible y el determinado U = {< del λ; κ: el λ es inaccesible} es el inmóvil en κ.

Un κ cardinal es débil Mahlo si y solamente si el κ es débil inaccesible y el sistema de cardenales débil inaccesibles menos que el κ es inmóvil en κ.

Condición mínima suficiente para un cardenal de Mahlo

si el κ es un ordinal del límite y el sistema de ordinales regulares menos que κ es inmóvil en κ, después κ es débil Mahlo.

La dificultad principal en probar esto es demostrar que el κ es regular. Supondremos que no es asiduo y construir a un club determinado que nos dé un μ tales que: μ del = cf (μ) < cf (κ) < μ < κ que es una contradicción. Si el κ no era regular, entonces los cf (κ) < κ. Podríamos elegir terminantemente un aumento y un cf continuo (κ) - la secuencia que comienza con los cf (κ) +1 y tiene κ como su límite. Los límites de esa secuencia serían club en κ. Tan debe haber un μ regular entre esos límites. El μ es tan un límite de un subsequence inicial de los cf (κ) - secuencia. Así su cofinality es menos que el cofinality del κ y mayor que él al mismo tiempo; cuál es una contradicción. Así la asunción que el κ no es regular debe ser falsa, es decir κ es regular.

Ningún sistema inmóvil puede existir debajo del $\backslash \; aleph\_0$ con la característica required porque {2.4,…} es el club en ω pero no contiene ningún ordinal regular; el κ es tan no numerable. Y es un límite regular de cardenales regulares; es tan débil inaccesible. Entonces uno utiliza el sistema de cardenales no numerables del límite debajo de κ pues un sistema del club para demostrar que el sistema inmóvil se puede asumir para consistir en inaccessibles débiles.

si el κ es débil Mahlo y también un límite fuerte, después κ es Mahlo.

el κ es débil inaccesible y un límite fuerte, así que es fuerte inaccesible.

Demostramos que el sistema de cardenales fuertes no numerables del límite debajo del κ es club en κ. Dejar μ₀ ser el más grande del umbral y del ω₁. Para cada n finita, dejar μ_n+1 = 2^μ_n que sea menos que κ porque es cardenal fuerte del límite. Después su límite es un límite fuerte cardinal y es menos que κ por su regularidad. Los límites de cardenales fuertes no numerables del límite son también cardenales fuertes no numerables del límite. El sistema de ellos es tan club en κ. Intersecarse que sistema del club con el sistema inmóvil de cardenales débil inaccesibles menos que κ para conseguir un sistema inmóvil de cardenales fuerte inaccesibles menos que κ.

Ejemplo: demostrando que los cardenales de Mahlo son hiperactivo-inaccesibles

Suponer que el κ es Mahlo. Procedemos por la inducción transfinite en α a demostrar que el κ es α-inaccesible para cualquier κ del ≤ del α. Puesto que el κ es Mahlo, el κ es inaccesible; y así 0 inaccesible, que es la misma cosa.

Si el κ es α-inaccesible, después hay β-inaccessibles (para el β < el α) arbitrariamente cerca de κ. Considerar el sistema de límites simultáneos de tales β-inaccessibles más grande que un cierto umbral pero menos que κ. Es ilimitado en κ (imaginarse el girar a través de los β-inaccessibles para el β < los α ω-tiempos que eligen a un cardenal más grande cada vez, después tomar el límite que es menos que κ por la regularidad (esto es qué falla si κ del ≥ del α)). Es cerrado, así que es club en κ. Así pues, por el Mahlo-ness de los κ, contiene un inaccesible. Ese inaccesible es realmente un α-inaccesible. El κ es tan α+1-inaccessible.

Si el κ del ≤ del λ es un ordinal del límite y el κ es α-inaccesible para todo el α < λ, después cada β < λ es también menos que el α para cierto α < λ. Este caso es tan trivial. Particularmente, el κ es κ-inaccesible y así hiperactivo-inaccesible.

Para demostrar que el κ es un límite de hiperactivo-inaccessibles y así 1 hiperactivo-inaccesibles, necesitamos demostrar que el sistema diagonal de μ < de κ de los cardenales cuáles son α-inaccesibles para cada α < μ sea club en κ. Elegir un 0 inaccesible sobre el umbral, llamarlo α₀. Entonces escoger un α₀-inaccessible, lo llaman α₁. Mantener la repetición esta y tomando límites en los límites hasta que usted alcance un punto fijo, llamarlo μ. Después el μ tiene la característica required (siendo un límite simultáneo de α-inaccessibles para todo el α < μ) y es menos que κ por regularidad. Los límites de tales cardenales también tienen la característica, así que el sistema de ellos es club en κ. Por el Mahlo-ness del κ, hay un inaccesible en este sistema y es hiperactivo-inaccesible. El κ es tan 1 hiperactivo-inaccesible. Podemos intersecar este mismo sistema del club con el sistema inmóvil menos que κ para conseguir un sistema inmóvil de hiperactivo-inaccessibles menos que κ.

El resto de la prueba que el κ es imitadores α-hiperactivo-inaccesibles la prueba que es α-inaccesible. El κ es tan hiperactivo-hiperactivo-inaccesible, etc….

Más que apenas Mahlo

Un κ cardinal es α-Mahlo para un cierto α ordinal si y solamente si el κ es Mahlo y para cada β<α ordinal, el sistema de cardenales del β-Mahlo debajo de κ es inmóvil en κ. Podemos definir el " hiperactivo-Mahlo", " α-hiperactivo-Mahlo", " débil α-Mahlo", " débil hiperactivo-Mahlo", " débil α-hiperactivo-Mahlo", etc. por analogía con las definiciones para los inaccessibles.

Un κ cardinal es grandemente Mahlo si y solamente si es inaccesible y hay (es decir las intersecciones diagonales inferiores no triviales y cerradas) un filtro κ-completo normal en el sistema de la energía del κ que es cerrado bajo operación de Mahlo, que traza el sistema del S de los ordinales {el S del α$\backslash \; in$: el α tiene cofinality no numerable y S∩α es inmóvil en α}

Las características de ser inaccesibles, de Mahlo, débil de Mahlo, del α-Mahlo, grandemente de Mahlo, del etc. se preservan si substituimos el universo por un modelo interno .

Ver también

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