En la teoría determinada, un número cardinal regular no numerable se llama el débil inaccesible si es un límite débil cardinal, y el fuerte inaccesible, o apenas el inaccesible, si es un límite fuerte cardinal. Algunos autores no requieren a cardenales débil y fuerte inaccesibles a ser no numerables.

Cada cardenal fuerte inaccesible es también débil inaccesible, pues cada cardenal fuerte del límite es también cardenal débil del límite. Si el generalizó asimientos de la hipótesis de la serie continua, después un cardenal es fuerte inaccesible si y solamente si es débil inaccesible.

el $\backslash \; aleph\_0$ ( aleph-nulo) es cardenal fuerte regular del límite. Si se asume que el axioma de la opción, cada otro número cardinal infinito es asiduo o límite (débil) de a. Sin embargo, solamente número cardinal algo grande puede ser ambos y así débil inaccesible.

Un que ordinal es cardenal débil inaccesible si y solamente si es un ordinal regular y él es un límite de ordinales regulares. (Cero, uno, y el $\backslash \; aleph\_0$ es ordinales regulares, pero no límites de ordinales regulares.) Un cardenal que es débil inaccesible y también un cardenal fuerte del límite es fuerte inaccesible.

La asunción de la existencia de un cardenal fuerte inaccesible es a veces aplicada bajo la forma de asunción que una puede trabajar dentro de un universo de Grothendieck, las dos ideas que son conectadas íntimo.

Modelos y consistencia

El ZFC implica que el V _κ es un modelo de ZFC siempre que el κ sea fuerte inaccesible. Y ZF implica que el L _κ del universo de Gödel es un modelo de ZFC siempre que el κ sea débil inaccesible. Así ZF junto con " existe un cardinal" débil inaccesible; implica que ZFC es constante. Por lo tanto, los cardenales inaccesibles son un tipo del cardenal grande .

Suponer que V es un modelo de ZFC. O V no contiene ningún inaccesible fuerte o, tomando el κ para ser el inaccesible fuerte más pequeño de V, el V _κ es un modelo estándar de ZFC que no contenga ningún inaccessibles fuerte. La consistencia de ZFC implica tan la consistencia de ZFC+" no hay inaccessibles" fuerte;. Semejantemente, V no contiene ningún inaccesible débil o, tomando el κ para ser el ordinal más pequeño que es débil inaccesible concerniente a cualquier submodelo estándar de V, después el L _κ es un modelo estándar de ZFC que no contenga ningún inaccessibles débil. La consistencia ZFC implica tan la consistencia de ZFC+" no hay inaccessibles" débil;.

Si el V es un modelo estándar de ZFC y el κ es un inaccesible en el V, entonces: El V _κ es uno de los modelos previstos de la teoría determinada de Zermelo-Fraenkel; y Def ( V _κ) es uno de los modelos previstos de la teoría determinada de Von Neumann-Bernays-Gödel; y el V _κ+1 es uno de los modelos previstos de la teoría determinada de Morse-Kelley. Aquí Def ( X ) es los subconjuntos definibles de Δ₀ del X (véase el universo construible ).

Existencia de una clase apropiada de inaccessibles

Hay muchos axiomas importantes en teoría determinada que afirman la existencia de una clase apropiada de cardenales que satisfagan un predicado del interés. En el caso de la inaccesibilidad, el axioma correspondiente es la aserción que para cada μ cardinal, hay un κ cardinal inaccesible que es terminantemente más grande, μ < κ. Así este axioma garantiza la existencia de una torre infinita de cardenales inaccesibles (y puede ser referido de vez en cuando como el axioma cardinal inaccesible). Al igual que el caso para la existencia de cualquier cardenal inaccesible, el axioma cardinal inaccesible es independiente de los axiomas de ZFC. ZFC presuntuoso, el axioma cardinal inaccesible es equivalente al axioma del universo del Grothendieck y Verdier : cada sistema se contiene en un universo de Grothendieck. Los axiomas de ZFC junto con el axioma del universo (o equivalente el axioma cardinal inaccesible) son ZFCU denotados (que se podrían confundir con ZFC con urelements). Este sistema axiomático es útil para probar por ejemplo que cada categoría tiene un apropiado Yoneda el encajar de .

Esto es un axioma cardinal grande relativamente débil puesto que asciende a decir que el ∞ es 1 inaccesible en la lengua de la sección siguiente, donde el ∞ denota el lo más menos posible ordinal no de V, es decir la clase de todos los ordinales en su modelo.

cardenales α-inaccesibles y cardenales hiperactivo-inaccesibles

Un κ cardinal es el α-inaccesible, para el ordinal del α, si y solamente si el κ es inaccesible y para cada β < α ordinales, el sistema de β-inaccessibles menos que el κ es ilimitado en κ (y así del κ de la cardinalidad, puesto que el κ es regular).

Los cardenales inaccesibles pueden equivalente ser descritos como puntos fijos de las funciones que cuentan los inaccessibles más bajos. Por ejemplo, denotar por ψ₀ (λ) a cardenal inaccesible de λ^th, después los puntos fijos de ψ₀ son los cardenales inaccesibles 1. Entonces dejando ψ_β (λ) ser el cardenal de λ^th β-inaccessible, los puntos fijos de ψ_β son (β+1) - los cardenales inaccesibles (los valores ψ_β+1 (λ)). Si el α es un ordinal del límite, un α-inaccesible es un punto fijo de cada ψ_β para el β < el α (el valor ψ_α (λ) es el λ^th tal cardenal). Este proceso de tomar puntos fijos de las funciones que generan a cardenales sucesivamente más grandes se encuentra comúnmente en el estudio de los grandes números cardinales .

Un κ cardinal es el hiperactivo-inaccesible si y solamente si el κ es κ-inaccesible. (Puede nunca ser κ+1-inaccessible.)

Para cualquier α ordinal, un κ cardinal es el α-hiperactivo-inaccesible si y solamente si el κ es hiperactivo-inaccesible y para cada β < α ordinales, el sistema de β-hiperactivo-inaccessibles menos que el κ es ilimitado en κ.

Usar " débil inaccessible" en vez de " inaccessible", las definiciones similares se pueden hacer para el " débil α-inaccessible", " débil hiperactivo-inaccessible", y " débil α-hiperactivo-inaccessible".

Ver a cardenales de Mahlo

Ver también

Club determinado
Modelo interno
Universo de Von Neumann
Universo construible

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Zenithic

Edge Lane railway station

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