En las matemáticas, la cardinalidad de un determinado es una medida del " número de los elementos del set". Hay dos acercamientos al &ndash de la cardinalidad; uno que compara sistemas directo usar el Bijections y las inyecciones y otro que utiliza los números cardinales

Comparar sistemas

El A de dos sistemas y el B tienen la misma cardinalidad si existe un Bijection, es decir, un la función surjective inyectiva del y, del A a el B . Por ejemplo, el E del sistema = {2, 4, 6,…} de números pares positivo tiene la misma cardinalidad que el N del sistema = {1, 2, 3,…} de los números naturales, puesto que el 2 n del f ( n ) de la función = es un bijection del N a el E .

Un A del sistema tiene cardinalidad mayor o igual la cardinalidad del B si existe una función inyectiva del B en el A . El A del sistema tiene cardinalidad terminantemente mayor que la cardinalidad del B si el A tiene cardinalidad mayor o igual la cardinalidad del B, pero el A y el B no tienen la misma cardinalidad. Es decir si hay una función inyectiva del B a el A, solamente ninguna función bijective del B a el A . Por ejemplo, el R del sistema de todos los números verdaderos tiene cardinalidad terminantemente mayor que la cardinalidad del N del sistema de todos los números naturales, porque el i del mapa de la inclusión: El R del → del N es inyectivo, pero puede ser demostrado que no existe una función bijective del N a el R .

Números cardinales

considera también:

l número cardinal

Sobre, " cardinality" fue definido funcionalmente. Es decir, el " cardinality" de un sistema no fue definido como objeto específico sí mismo. Sin embargo, tal objeto se puede definir como sigue.

La relación del tener la misma cardinalidad se llama Equinumerosity, y esto es una relación de equivalencia en la clase de todos los sistemas. La clase de equivalencia de un A del sistema bajo esta relación entonces consiste en todos esos sistemas que tengan la misma cardinalidad que el A . Hay dos maneras de definir el " cardinalidad de un set":

la cardinalidad de un A del sistema se define como su clase de equivalencia debajo del equinumerosity.

Un sistema del representante se señala para cada clase de equivalencia. La opción más común es el ordinal de la inicial en esa clase . Esto se toma generalmente como la definición del número cardinal en la teoría determinada axiomática .

La cardinalidad determinado $S$ es $denotado|S|$. La cardinalidad de su energía determinado es el

notado

de $2^\; Sistemas\; finitos,\; contables\; y\; no\; numerables$

Si el axioma de la opción se sostiene, la ley de la tricotomía se sostiene para la cardinalidad. Así podemos hacer las definiciones siguientes:

cualquie X del sistema con cardinalidad menos que el de los números naturales (| X | < | N |) reputa un sistema finito .
Cualquie X del sistema que tenga la misma cardinalidad que el sistema de los números naturales (| X | = | N | = el $\backslash \; aleph\_0$) reputa un sistema contable infinito .
Cualquie X del sistema con la cardinalidad mayor que la de los números naturales (| X | > | N |, por ejemplo | R | = $\backslash \; mathbf\; \{c\}$ > | N |) reputa el no numerable.

Sistemas infinitos

Nuestra intuición ganada de los sistemas finitos analiza al ocuparse de los sistemas infinitos en el chantre de fines del siglo diecinueve de Jorge del siglo, el Gottlob Frege, el Richard Dedekind y otros rechazaron la opinión Galileo (que derivó Euclid ) que el conjunto no puede ser los mismos tamaños como la partición. Un ejemplo de esto es paradoja de Hilbert del hotel magnífico .

Dedekind definió simplemente un sistema infinito como uno que tenía los mismos tamaños como por lo menos uno de su " " apropiado ; piezas; esta noción del infinito se llama Dedekind infinito.

El chantre introdujo los números cardinales antedicho, y demostró que algunos sistemas infinitos son mayores que otros. La cardinalidad infinita más pequeña es la de los números naturales ($\{\backslash \; aleph\_0\}$).

Cardinalidad de la serie continua

considera también: Cardinalidad la serie continua

Uno de los resultados más importantes del chantre era que la cardinalidad de la serie continua ($\backslash \; mathbf\; c$) es mayor que la de los números naturales ($\{\backslash \; aleph\_0\}$); es decir, hay el R de números más verdaderos que el N de los números enteros. A saber, el chantre demostró que $\backslash \; el\; mathbf\; \{c\}\; =\; 2^\; \{\backslash \; aleph\_0\}\; >\; \{\backslash \; aleph\_0\}$ (véase la discusión diagonal del chantre).

La hipótesis de la serie continua indica que no hay número cardinal entre la cardinalidad de los reals y la cardinalidad de los números naturales, = \ aleph_1 es decir, del $\backslash \; del\; mathbf\; \{c\}.\; Sin\; embargo,\; estahipótesisse\; puede\; ni\; probar\; ni\; refutar\; dentro\; de\; la\; teoría\; determinada\; axiomática\; extensamente\; aceptada\; ZFC,\; si\; ZFC\; es\; constante.$

La aritmética cardinal se puede utilizar para demostrar no sólo que el número de puntos en una línea de número verdadero es igual al número de puntos en cualquier segmento de esa línea, pero que éste es igual al número de puntos en un plano y, de hecho, en cualquier espacio finito-dimensional. Estos resultados son alto antiintuitivos, porque implican que existen los subconjuntos apropiados y los sobreconjuntos apropiados de un infinito S del sistema que tengan los mismos tamaños como S, aunque el S contenga los elementos que no pertenecen a sus subconjuntos, y los sobreconjuntos del S contiene los elementos que no se incluyen en él.

El primer de estos resultados es evidente considerando, por ejemplo, la función de la tangente, que proporciona una correspondencia una por entre el intervalo 0.5π y el R (véase también la paradoja de Hilbert del hotel magnífico ).

El segundo resultado primero fue demostrado por Cantor en 1878, pero llegó a ser más evidente en 1890, cuando el José Peano introdujo las líneas curvadas de compilación de las curvas que torcedura y vuelta bastante para llenar el conjunto de cualquie cuadrado, o cubo, o Hypercube, o espacio finito-dimensional. Estas curvas no son una prueba directa que una línea tiene el mismo número de puntos que un espacio finito-dimensional, pero pueden ser utilizadas fácilmente para obtener el tal prueba .

La igualdad cardinal $c^2=c$ se puede demostrar usar la aritmética cardinal : $\backslash \; mathbf\; \{c\}\; ^2\; =\; (2^\; \{\backslash \; aleph\_0\})\; ^2\; =\; 2^\; \{2\; \backslash \; épocas\; \{\backslash \; aleph\_0\}\}\; =\; \{\backslash \; aleph\_0\}\; =\; 2^\; \backslash \; mathbf\; \{c\}.$ Esta discusión es una versión condensada de la noción de las secuencias binarias de la interpolación dos: dejar $0.a\_0a\_1a\_2\; \backslash \; ldots$ ser la extensión binaria de $x$ y dejar $0.b\_0b\_1b\_2\; \backslash \; ldots$ ser la extensión binaria de $y$.a_0b_0a_1b_1 \ ldots, la interpolación de las extensiones binarias, es una función bien definida cuando $x$ y $y$ tienen extensiones binarias únicas. Solamente contable muchos reals tienen extensiones binarias non-unique.

Chantre generalizado diagonal discusión demuestra ese cuál implica . Aquí $P\; (\backslash \; mathbf\; c)\; \backslash \; 2^\; equivalente\; \{\backslash \; mathbf\; c\}$ denota la energía determinado del $\backslash \; del\; mathbf\; c$, el sistema de todos los subconjuntos del $\backslash \; del\; mathbf\; c$, y el c^ del $\backslash \; del\; mathbf\; \{\backslash \; mathbf\; c\}$ denota el sistema de funciones del $\backslash \; del\; mathbf\; c$ al $\backslash \; al\; mathbf\; c$. ^ además del $\backslash \; del\; mathbf\; c\; \{\backslash \; mathbf\; c\}\; =\; (2^\; \{\backslash \; aleph\_0\})\; ^\; \{\backslash \; mathbf\; c\}\; =\; 2^\; \{\backslash \; mathbf\; c\; \backslash \; épocas\; \backslash \; aleph\_0\}\; =\; \{\backslash \; mathbf\; c\}\; =\; 2^\; \backslash \; beth\_2$. Ver el number#Beth dos de Beth.

Ejemplos y características

Si $X$ = {a, b, c} y $Y$ = {manzanas, naranjas, melocotones} , entonces $|X|\; =\; |Y|,$ porque el $\backslash \; \{\backslash \; langle\; a,\; \backslash \; mbox\; \{manzanas\}\; \backslash rangle,\; \backslash \; langle\; b,\; \backslash \; mbox\; \{naranjas\}\; \backslash \; rangle,\; \backslash \; langle\; c,\; \backslash \; mbox\; \{\}\; \backslash \; rangle\; de\; los\; melocotones\; \backslash \}$ es un bijection entre ellos. Su cardinalidad es 3.

si $|X|\; \backslash \; leq\; |Y|$, entonces allí existe $Z\; \backslash ,$ tales que $|X|\; =\; |Z|\backslash ,$, y $Z\; \backslash \; subseteq\; Y.$

fija con el $\backslash \; el\; mathbf\; c$ de la cardinalidad

Ver también

Número de Aleph
Número de Beth

.

Zenithic

Carratraca

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