En las matemáticas, específicamente en la teoría de la categoría, una categoría preadditive es una categoría que es enriquecidos sobre la categoría de Monoidal de los grupos abelianos es decir que el C de la categoría es preadditive si cada Hom-fijó Hom ( A, B ) en el C tiene la estructura de un grupo abeliano, y la composición de morphisms es el bilineario sobre los números enteros

Una categoría preadditive también se llama una Ab-categoría, después del Ab de la notación para la categoría de los grupos abelianos . Algunos autores han utilizado la categoría aditiva término para las categorías preadditive, pero Wikipedia sigue la tendencia actual de reservar esta palabra para ciertas categorías preadditive especiales (véase los casos especiales abajo).

Ejemplos

El ejemplo más obvio de una categoría preadditive es el Ab sí mismo de la categoría. Más exacto, el Ab es una categoría monoidal cerrada . (Nota que el Commutativity es crucial aquí; se asegura de que la suma de dos homomorphisms del grupo sea otra vez un homomorfismo. En cambio, la categoría de todos los grupos no es cerrada.) Ver la categoría intermedia .

Otros ejemplos comunes:
La categoría de los módulos (dejados) sobre un R del anillo, particularmente: la categoría de los espacios de vector sobre un K del campo .
La álgebra de las matrices sobre un anillo, pensamiento como de categoría según lo descrito en la categoría aditiva del artículo.
Cualquier anillo, pensamiento como de categoría con solamente un objeto, es una categoría preadditive. Aquí la composición de morphisms es apenas multiplicación del anillo y el único hom-fijó es el grupo abeliano subyacente.

Éstos le darán una idea en qué pensar; por más ejemplos, seguir los acoplamientos a los casos especiales abajo.

Características elementales

Porque cada hom-fijar Hom ( A, B ) es un grupo abeliano, él tiene un elemento 0 cero . Éste es el morphism cero del del A a el B . Porque la composición de morphisms es bilinearia, la composición de un morphism cero y de cualquier otro morphism (de cualquier lado) debe ser otro morphism cero. Si usted piensa en la composición como análogo a la multiplicación, después ésta dice que esa multiplicación por cero da lugar siempre a un producto de cero, que es una intuición familiar. Ampliar esta analogía, el hecho de que la composición es bilinearia en general se convierte en el Distributivity de la multiplicación sobre la adición.

Centrándose en un solo A en una categoría preadditive, estos hechos del objeto decir que el Endomorphism hom-fijó Hom ( A, A ) es un anillo, si definimos la multiplicación en el anillo para ser composición. Este anillo es el anillo del endomorphism del del A . Inversamente, cada anillo (con la identidad ) es el anillo del endomorphism de un cierto objeto en una cierta categoría preadditive. De hecho, dado un R del anillo, podemos definir un preadditive R de la categoría para tener un solo A del objeto, dejamos Hom ( A, A ) seamos el R, y dejar la composición sea multiplicación del anillo. Puesto que el R es un grupo abeliano y la multiplicación en un anillo es bilinearia (distributivo), ésta hace el R una categoría preadditive. Los teóricos de la categoría pensarán a menudo en el R del anillo y el R de la categoría como dos diversas representaciones de la misma cosa, de modo que un teórico perverso de la categoría pudiera definir particularmente un anillo como categoría preadditive con exactamente el objeto uno .

De esta manera, las categorías preadditive se pueden considerar como generalización de anillos. Muchos conceptos de la teoría del anillo, tal como radicales de Jacobson de los ideales y anillos de factor se pueden generalizar de una manera directa a este ajuste. Cuando el intentar anotar estas generalizaciones, una debe pensar en los morphisms en la categoría preadditive como el " elements" del " ring" generalizado;. No entraremos tal profundidad en este artículo.

Functors aditivos

Si el C y el D son categorías preadditive, entonces un F de Functor :     del C ; →  El D es el añadido si es también enriquecido sobre el Ab de la categoría. Es decir, el F es aditivo si y solamente si, dado cuaesquiera objetos el A y el B del C, el F de la función :     de Hom ( A, B ); → Hom ( F ( A ), F ( B )) es un homomorfismo del grupo. La mayoría de los functors estudiaron entre las categorías preadditive son aditivos.

Por un ejemplo simple, si el R de los anillos y el S son representados por el preadditive R de las categorías del uno-objeto y el S, después un homomorfismo del anillo R a el S es representado por un functor aditivo del R a el S, e inversamente.

Si el C y el D es categorías y el D es preadditive, después la diversión de la categoría de Functor ( C, D ) es también preadditive, porque las transformaciones naturales se pueden agregar de una manera natural. Si el C es preadditive también, después la categoría agrega (el C, el D ) de functors aditivos y todas las transformaciones naturales entre ellos son también preadditive.

El 3ultimo ejemplo lleva a una generalización de los módulos sobre los anillos: Si el C es una categoría preadditive, entonces   de la MOD ( C );: = agregar (el C, el Ab ) se llama la categoría del módulo del sobre el C . Cuando el C es la categoría preadditive del uno-objeto que corresponde al R del anillo, éste reduce a la categoría ordinaria del (izquierdo) R - módulos. Una vez más virtualmente todos los conceptos de la teoría de módulos se pueden generalizar a este ajuste.

Biproductos

Cualquier producto finito en una categoría preadditive debe también ser un Coproduct, e inversamente. De hecho, los productos y los coproducts finitos en categorías aditivas se pueden caracterizar por la condición siguiente del biproducto del : el el B del objeto es un biproducto del A ₁ de los objetos,…, A_n si y solamente si allí son los morphisms p_j de la proyección del :     del B ; →  A_j y morphisms i_j de la inyección del :   A_j  →  B, tal que ( i ₁  ^o    del p ₁); + ···  + (  del i_n ; ^o  el p_n ) es el morphism de la identidad del B,   del p_j ; ^o  el i_j es el morphism de la identidad de A_j, y   del p_j ; ^o  el i_k es el morphism cero del A_k al A_j siempre que el j y el k sean el distinto.

Este biproducto se escribe a menudo el A ₁  ⊕ ···  ⊕  A_n, pidiendo prestada la notación para la suma directa . Esto es porque el biproducto en categorías preadditive bien conocidas como del Ab es la suma directa. Sin embargo, aunque las sumas directas infinitas tengan sentido en algunas categorías, como el Ab, biproductos infinitos hacer el no tienen sentido.

La condición del biproducto en el   del n del caso; =  el 0 simplifica drástico; El B es un biproducto nullary del si y solamente si el morphism de la identidad del B es el morphism cero del B a sí mismo, o equivalente si hom-fijar Hom ( B, B ) es el anillo trivial . Observar que porque un biproducto nullary será el terminal (un producto nullary) y Coterminal (un coproduct nullary), él de hecho será un objeto cero del . De hecho, el " del término; object" cero; originado en el estudio de categorías preadditive tener gusto del Ab, donde está el grupo el objeto cero cero.

Una categoría preadditive en la cual cada biproducto existe (objeto cero incluyendo) se llama el añadido . Otros hechos sobre los biproductos que son principalmente útiles en el contexto de categorías aditivas se pueden encontrar bajo ese tema.

Núcleos y cokernels

Porque hom-fijan en una categoría preadditive tener morphisms cero, la noción del núcleo y el Cokernel tiene sentido. Es decir, si f :     del A ; →  El B es un morphism en una categoría preadditive, después el núcleo del f es el equalizador f y del morphism cero del A a el B, mientras que el cokernel del f es el Coequaliser del f y de este morphism cero. Desemejante con de productos y de coproducts, el núcleo y el cokernel del f no son generalmente iguales en una categoría preadditive.

Al especializarse a las categorías preadditive de grupos abelianos o de módulos sobre un anillo, esta noción del núcleo coincide con la noción ordinaria de un núcleo de un homomorfismo, si uno identifica el ordinario K del núcleo del f :     del A ; →  B con su   de encajadura del K ; →  A . Sin embargo, en una categoría preadditive general allí puede existir los morphisms sin núcleos y/o cokernels.

Hay una relación conveniente entre el núcleo y el cokernel y la estructura del grupo abeliano en hom-fijan. El paralelo dado f de los morphisms y el g, el equalizador del f y del g es apenas el núcleo del   de g del ; −   el f, si existe cualquiera, y el hecho análogo es verdades para los coequalisers. El " alternativo del término; kernel" de la diferencia; para los equalizadores binarios deriva de este hecho.

Una categoría preadditive en la cual todos los biproductos, núcleos, y cokernels existen se llama el pre-Abeliano del . Otros hechos sobre núcleos y los cokernels en las categorías preadditive que son principalmente útiles en el contexto de categorías pre-Abelianas se pueden encontrar bajo ese tema.

Casos especiales

La mayor parte de estos casos especiales de categorías preadditive todos se han mencionado anteriormente, pero se recolectan aquí para la referencia.
Un anillo es una categoría preadditive con exactamente un objeto.
Una categoría aditiva es una categoría preadditive con todos los biproductos finitos.
Una categoría Pre-Abeliana es una categoría aditiva con todos los núcleos y cokernels.
Una categoría abeliana es una categoría pre-Abeliana tales que cada monomorfismo y el Epimorphism es el normal . Las categorías preadditive estudiadas lo más comúnmente posible son de hecho categorías abelianas; por ejemplo, el Ab es una categoría abeliana.