Un functor de la traducción del en un D de la categoría es un T del automorfismo (o para algunos autores, una auto-equivalencia) del D a el D . Uno utiliza generalmente la notación $X\; =\; T^n\; X\; \backslash$ y además para los morphisms del X al Y .

Un triángulo ( X, Y, Z, u, v, w ) del es un sistema del X de 3 objetos, del Y, y del Z, junto con el u de los morphisms del X al Y, v del Y a del Z y del w del Z al X . Los triángulos se escriben generalmente en la forma desenredada: $X\; del\; \backslash \; xrightarrow\; \{u\}\; Y\; \backslash \; xrightarrow\; \{v\}\; Z\; \backslash \; xrightarrow\; \{w\}.$ Hay dos maneras al gira el triángulo antedicho: $Y\; del\; \backslash \; xrightarrow\; \{v\}\; Z\; \backslash \; xrightarrow\; \{w\}\; \; de\; X\; \backslash \; del\; xrightarrow\; \{-\; u\}$; o   $Z\; \backslash \; xrightarrow\; \{-\; w\}\; X\; \backslash \; xrightarrow\; \{u\}\; Y\; \backslash \; xrightarrow\; \{v\}.\; \backslash$

¡Signo de menos adentro las rotaciones es importante!

Una categoría triangulada es un aditivo D de la categoría con a el functor de la traducción y una clase de triángulos, llamada distinguieron los triángulos, satisfaciendo las características siguientes:

(el TR 1) cada categoría triangulada contiene los triángulos siguientes:

t-estructuras

Verdier introdujo categorías trianguladas para poner categorías derivadas en un contexto categoría-teórico: para cada abeliano A de la categoría existe un triangulado D de la categoría (A), conteniendo el A como subcategoría completa (el " 0-complexes" concentrado el grado cohomological 0), y en cuál podemos construir functors derivados. Desafortunadamente, diverso abeliano las categorías pueden dar lugar a categorías derivadas equivalentes, de modo que sea imposible para reconstruir el A del triangulado D de la categoría (A) .

Una solución parcial a este problema, es imponer una t-estructura ante el triangulado D de la categoría. Diversas t-estructuras en el D darán lugar a diverso abeliano categorías dentro de él. Esta noción fue presentada en los pervers de Faisceaux del, cerca Beilinson, Bernstein, y Deligne.

El prototipo es la t-estructura en el derivado D de la categoría de un abeliano A de la categoría. Para cada n hay el $D^\; completonaturalde\; las\; subcategorías\; \{\backslash \; geq\; n\}$ y el $D^\; \{\backslash \; leq\; n\}$ que consiste en los complejos cuyo cohomology es " below" limitado; o " above" limitado; n, respectivamente. Puesto que para cualquier complejo X, tenemos $H^n\; (X)\; =\; H^0\; (X)$, éstos se relacionan el uno al otro: $D^\; del\; \{\backslash \; leq\; n\}\; =\; D^\; \{\backslash \; leq\; 0\},\; D^\; \{\backslash \; geq\; n\}\; =\; D^\; \{\backslash \; geq\; 0\}.$ Estas subcategorías también tienen las características siguientes:
$D^\; \{\backslash \; le\; 0\}\; \backslash \; subconjunto\; D^\; \{\backslash \; le\; 1\}$, $D^\}\; \backslash \; subconjunto\; D^\; \{\backslash \; GE\; 1\; \{\backslash \; GE\; 0\};$
$\backslash \; operatorname\; \{Hom\}\; (D^\; \{\backslash \; le\; 0\},\; D^\; \{\backslash \; GE\; 1\})\; =0;$
Cada Y del objeto se puede encajar en un $X\; distinguido\; del\; triángulo\; \backslash \; a\; Y\; \backslash \; a\; Z\; \backslash \; al\; \backslash$ con el $X\; \backslash \; en\; D^\; \{\backslash \; leq\; 0\}$, $Z\; \backslash \; en\; D^\; \{\backslash \; geq\; 1\}.$

Una t-estructura en una categoría triangulada consiste en el $D^\; completo\; de\; las\; subcategorías\; \{\backslash \; le\; n\}$ y el $D^\; \{\backslash \; GE\; m\}$ que satisface las condiciones arriba. En los pervers de Faisceaux del una categoría triangulada equipada de una t-estructura se llama una t-categoría .

La base o corazón (la palabra francesa original es " coeur") de t-estructura es categoría $D^\}\; \backslash \; casquillo\; D^\; \{\backslash \; GE\; 0\}$ {\ le 0. Es una categoría abeliana, mientras que una categoría triangulada es aditiva pero casi nunca abeliana. La base de una t-estructura en la categoría derivada del A se puede pensar en como clase de versión twisted del A, que tiene a veces mejores características. Por ejemplo, la categoría de las gavillas perversas del es la base de cierta t-estructura (absolutamente complicada) en la categoría derivada de la categoría de gavillas. Sobre un espacio con singularidades, la categoría de gavillas perversas es similar a la categoría de gavillas pero el se comporta un mejor .

Un ejemplo básico de una t-estructura es el " natural" uno en el derivó el D de la categoría de una cierta categoría abeliana, donde está las subcategorías el $D^\; \{\backslash \; geq\; 0\},\; D^\; \{\backslash \; leq\; 0\}$ completas de los complejos cuyos cohomologies desaparecen grados menos que o mayor de 0. Esta t-estructura tiene las características siguientes:

el $de\; los\; functors\; del\; truncamiento\; \backslash ,\; \backslash \; tau\_\; \{\backslash \; leq\; 0\}$ del tau_ {\ geq 0}, o de hecho, \ tau_ {\ leq n} del $\backslash \; del\; tau\_\; \{\backslash \; geq\; n\}\; para\; cualquie\; n,\; que\; son\; obtenidos\; traduciendola\; discusiónde\; los\; dos\; functors\; originales.\; Abstracto,\; éstos\; son\; el\; dejado\; el\; adjoint\; y\; el\; adjoint\; correcto,\; respectivamente,\; a\; los\; functors\; de\; la\; inclusión\; del$ D^\; \{\backslash \; geq\; 0\},\; D^\; \{\backslash \; leq\; 0\}$en\; el\; D\; .\; Además,\; los\; functors\; deltruncamientocabidos\; en\; un\; triángulo,\; y\; éste\; son\; de\; hecho\; el\; triángulo\; único\; que\; satisface\; el\; tercer\; axioma\; arriba:$ de\; \backslash \; tau\_\; \{\backslash \; leq\; 0\}\; A\; \backslash \; A\; \backslash \; a\; \backslash \; tau\_\; \{\backslash \; geq\; 1\}\; A\; \backslash \; a.\; \backslash $$

el functor $H^0$ del cohomology, o de hecho $H^n$, que es obtenido traduciendo su discusión: $H^n\; (A)\; =\; H^0\; (A)$. Su relación a los functors del truncamiento es que definirlos para para cualquier complejo A, $H^i\; (\backslash \; tau\_\; \{\backslash \; geq\; 0\}\; A)\; =\; 0$ para el y es sin cambios para el $i\; \backslash \; el\; geq\; 0$; asimismo para el $\backslash \; el\; tau\_\; \{\backslash \; leq\; 0\}$; particularmente, $H^0$ es no independiente de ellos, pero de hecho $H^0\; =\; \backslash \; tau\_\; \{\backslash \; leq\; 0\}\; \backslash \; tau\_\; \{\backslash \; geq\; 0\}\; =\; \backslash \; tau\_\; \{\backslash \}\; \backslash \; tau\_\; \{\backslash \; leq\; 0\}$ del geq 0. Además, el cohomology es un functor cohomological: para cualquier $X\; del\; triángulo\; \backslash \; a\; Y\; \backslash \; a\; Z\; \backslash \; a\; to$ obtenemos un
largo del
de la secuencia exacta $de\; \backslash \; cdots\; \backslash \; a\; H^i\; (X)\; \backslash \; a\; H^i\; (Y)\; \backslash \; a\; H^i\; (Z)\; \backslash \; a\; H^\; \{i\; +\; 1\}\; (x)\; \backslash \; \backslash \; cdots.\; \backslash$ Estas características transportan sin cambio a cualquier t-estructura, en eso si el D son una t-categoría, después existen los functors del truncamiento en su base, de la cual obtenemos un functor del cohomology que toma valores en la base, y las características antedichas son satisfied para ambos.